משמעות וחישוב סטיית התקן

מבוא

מדדי המיקום היחסי מספרים היכן ממוקם ערך. סטיית התקן עונה על שאלה אחרת לגמרי: עד כמה הנתונים מפוזרים? שני ענפים יכולים לשלם שכר ממוצע זהה, אבל באחד כולם מרוויחים כמעט אותו דבר ובשני יש פערים עצומים. סטיית התקן היא הכלי שמבדיל ביניהם.

מטרות השיעור

להבין שסטיית התקן מודדת פיזור סביב הממוצע.
לחשב סטיית תקן בעזרת הנוסחה $σ = \frac{\sum ( x - μ ) ^{2}}{n}$ מתוך רשימה.
לחשב סטיית תקן מתוך טבלת שכיחויות.
למצוא סטיית תקן בעזרת מחשבון או אקסל, ולזכור שהיחידות זהות ליחידות המשתנה.

הרעיון המרכזי

נוסחת סטיית התקן

עבור n נתונים עם ממוצע $μ$ :

σ = \frac{\sum ( x - μ ) ^{2}}{n}

שלבי החישוב:

חשבו את הממוצע $μ$ .
לכל נתון חשבו את הסטייה מהממוצע, $(x - μ)$ , והעלו אותה בריבוע.
סכמו את הריבועים וחלקו ב-n — זו השונות.
הוציאו שורש ריבועי — זו סטיית התקן.

עבור טבלת שכיחויות מכפילים כל $(x - μ)^{2}$ בשכיחות שלו:

σ = \frac{\sum f ( x - μ ) ^{2}}{\sum f}

יחידות וטכנולוגיה

יחידות: סטיית התקן נמדדת באותן יחידות של המשתנה (₪, חדרים) — כמו הממוצע. השונות נמדדת ביחידות בריבוע, ולכן מוציאים שורש בסוף.
מחשבון: במצב סטטיסטי (SD / STAT) מזינים את הנתונים ובוחרים בערך $σ_{n}$ (סטיית תקן של אוכלוסייה).
אקסל: הפונקציה ‎=STDEV.P(טווח)‎ מחשבת את סטיית התקן של אוכלוסייה.

בדיקה מהירה

מה מודדת סטיית התקן של קבוצת נתונים פיננסיים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סטיית תקן מרשימה

הוצאה חודשית (₪): 4300, 4500, 4500, 4700. חשבו $\sigma$ .

σ = \frac{80000}{4} = 20000 \approx 141.42

שלב 1 — ממוצע

\mu = \frac{4300+4500+4500+4700}{4} = \frac{18000}{4} = 4500 ₪

תשובה מספרית

ההוצאה החודשית (ב-₪) של משפחה בארבעה חודשים: 4300, 4500, 4500, 4700. חשבו את סטיית התקן (ב-₪).

סטייה מותרת: ±0.5

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: שכר עובדים

שכר (אלפי ₪): 3, 5, 7, 9, 11. חשבו $\sigma$ .

σ = \frac{40}{5} = 8 \approx 2.83

שלב 1 — ממוצע

\mu = \frac{35}{5} = 7

תשובה מספרית

שכר חודשי (באלפי ₪) של 5 עובדים: 3, 5, 7, 9, 11. חשבו את סטיית התקן (באלפי ₪).

סטייה מותרת: ±0.02

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: צריכת חשמל לפי עונות

תשלום חשמל (₪) בארבע עונות: 400, 600, 800, 1200. חשבו $\sigma$ .

σ = \frac{350000}{4} \approx 295.8

שלב 1 — ממוצע

\mu = \frac{3000}{4} = 750 ₪

דוגמה 4: סטיית תקן מטבלת שכיחויות

ציונים: $70 ( \times 2), 80 ( \times 3), 90 ( \times 3), 100 ( \times 2)$ . חשבו $\sigma$ .

σ = \frac{1050}{10} = 105 \approx 10.25

שלב 1 — ממוצע משוקלל

\mu = \frac{70 \cdot 2+80 \cdot 3+90 \cdot 3+100 \cdot 2}{10} = \frac{850}{10} = 85

תשובה מספרית

ציוני 10 תלמידים בחינוך פיננסי נתונים בטבלת שכיחויות: 70 — 2 תלמידים; 80 — 3; 90 — 3; 100 — 2. חשבו את סטיית התקן (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

סטייה מותרת: ±0.05

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מדווחים את השונות במקום סטיית התקן

טעות: $σ = 8$ כאשר $\frac{\sum ( x - μ ) ^{2}}{n} = 8$ .

נכון: $σ = 8 \approx 2.83$

למה זה קורה?

תלמידים עוצרים אחרי שלב חלוקת סכום הריבועים ב-n ושוכחים את השורש.

איך מתקנים?

סטיית התקן היא השורש הריבועי של השונות. אם השונות 8 — סטיית התקן היא

\sqrt{8} ≈ 2.83

, לא 8.

טעות נפוצה: בלבול ביחידות של סטיית התקן

שכר בשקלים ⟶ $σ$ בשקלים. השונות בלבד היא בשקלים בריבוע.

למה זה קורה?

התלמיד חושב שהיחידות הן בריבוע (כי העלינו בריבוע) או שאין יחידות.

איך מתקנים?

סטיית התקן נמדדת באותן יחידות של המשתנה — בדיוק כמו הממוצע. השורש מחזיר אותנו ליחידות המקוריות.

טעות נפוצה: שוכחים להעלות בריבוע או מחלקים שגוי

טעות: $\sum (x - μ) = 0$ — סכום הסטיות עצמן תמיד אפס!

נכון: מסכמים את $(x - μ)^{2}$ , ומחלקים ב-n.

למה זה קורה?

מסכמים את הסטיות (שסכומן תמיד 0) במקום את ריבועיהן, או מחלקים ב-

n-1

איך מתקנים?

תמיד מעלים את הסטיות בריבוע לפני הסכימה, ומחלקים ב-n (מספר הנתונים).

סיכום

מה למדנו?

סטיית התקן מודדת פיזור סביב הממוצע:

$σ = \frac{\sum ( x - μ ) ^{2}}{n}$ (ולטבלת שכיחויות: $σ = \frac{\sum f ( x - μ ) ^{2}}{\sum f}$ )

זכרו:

חשבו ממוצע → סטיות בריבוע → שונות → שורש.
היחידות זהות ליחידות המשתנה (₪, חדרים).
מחשבון/אקסל (STDEV.P) חוסכים חישוב ידני.

בשיעור הבא נבחן כיצד שינוי או הוספת נתונים משפיעים על סטיית התקן — לעיתים אפילו בלי לחשב.

משמעות וחישוב סטיית התקן

משמעות וחישוב סטיית התקן

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סטיית תקן מרשימה

הוצאה חודשית (₪): 4300, 4500, 4500, 4700. חשבו σ\sigmaσ.

דוגמה 2: שכר עובדים

שכר (אלפי ₪): 3, 5, 7, 9, 11. חשבו σ\sigmaσ.

דוגמה 3: צריכת חשמל לפי עונות

תשלום חשמל (₪) בארבע עונות: 400, 600, 800, 1200. חשבו σ\sigmaσ.

דוגמה 4: סטיית תקן מטבלת שכיחויות

ציונים: 70(×2),80(×3),90(×3),100(×2)70 ( \times 2), 80 ( \times 3), 90 ( \times 3), 100 ( \times 2)70(×2),80(×3),90(×3),100(×2). חשבו σ\sigmaσ.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מדווחים את השונות במקום סטיית התקן

טעות נפוצה: בלבול ביחידות של סטיית התקן

טעות נפוצה: שוכחים להעלות בריבוע או מחלקים שגוי

סיכום

הוצאה חודשית (₪): 4300, 4500, 4500, 4700. חשבו $\sigma$ .

שכר (אלפי ₪): 3, 5, 7, 9, 11. חשבו $\sigma$ .

תשלום חשמל (₪) בארבע עונות: 400, 600, 800, 1200. חשבו $\sigma$ .

ציונים: $70 ( \times 2), 80 ( \times 3), 90 ( \times 3), 100 ( \times 2)$ . חשבו $\sigma$ .