פרופורציה — חישוב הערך החסר

מבוא

מטרות השיעור

להבין מהי פרופורציה — שוויון בין שני יחסים
לפתור פרופורציה ולמצוא ערך חסר באמצעות מכפלה צולבת
לזהות פרופורציה במצבים אורייניים (מתכונים, צריכת דלק, הגדלת תמונות)
להבחין בין הגדלה כפלית (פי כמה) לבין הפרש חיבורי (כמה יותר)

הרעיון המרכזי

פרופורציה ומכפלה צולבת

פרופורציה היא שוויון בין שני יחסים: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

כאשר אחד הערכים חסר, פותרים בעזרת מכפלה צולבת — מכפילים באלכסון: $a \cdot d = b \cdot c$

לדוגמה, אם $\frac{2}{5} = \frac{50}{x}$ , אז $2 x = 5 \cdot 50 = 250$ ולכן x = 125.

שמרו על עקביות בסדר: אם בצד אחד כתבתם גובה/רוחב, גם בצד השני חייב להיות גובה/רוחב.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מכפלה צולבת בסיסית

בלוח מלבני היחס גובה:רוחב הוא 2 : 5. הגובה 80 ס״מ. מהו הרוחב?

\frac{80}{x} = \frac{2}{5} \Rightarrow 2 x = 400 \Rightarrow x = 200

שלב 1 — כותבים פרופורציה עקבית

גובה/רוחב:

\frac{80}{x} = \frac{2}{5}

תשובה מספרית

בלוח כתיבה מלבני היחס בין הגובה לרוחב הוא 2 : 5. הגובה הוא 80 ס"מ. מהו הרוחב (בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

כדי לייצר בובת בבושקה דרוש שהיחס בין גובה הבובה לקוטר הבסיס שלה יהיה 2.2 : 1. אומן מייצר בובה שגובהה 66 מ"מ. מה צריך להיות קוטר הבסיס?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: יחס כקצב (צריכת דלק)

מכונית צורכת 12 ק״מ לליטר. כמה ק״מ אפשר לנסוע ב-18 ליטר?

\frac{12}{1} = \frac{x}{18} \Rightarrow x = 216

שלב 1 — מזהים את הקצב כיחס

12 ק״מ לכל 1 ליטר

דוגמה 3: שמירת יחס בהגדלה (כפלי, לא חיבורי)

תמונה $40 \times 60$ ס״מ הוגדלה כך שהצלע 60 הפכה ל-150. מה אורך הצלע הקצרה?

40 \times 2.5 = 100

שלב 1 — מוצאים גורם הגדלה

150 \div 60 = 2.5

תשובה מספרית

תמונה מלבנית בגודל 40 ס"מ על 60 ס"מ הוגדלה כך שהצלע הארוכה $(60$ ס"מ) הפכה ל-150 ס"מ, תוך שמירה על היחס. מה אורך הצלע הקצרה לאחר ההגדלה (בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מתכון (פרופורציה בכמויות)

מתכון: 200 מ״ל חלב על 3 כפות קקאו. כמה חלב דרוש ל-45 כפות?

\frac{3}{200} = \frac{45}{x} \Rightarrow x = 3000 מ״ל = 3 ליטר

שלב 1 — פרופורציה

3 כפות

/ 200

מ״ל

= 45

כפות

/ x

מ״ל

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: כתיבת פרופורציה לא עקבית

טעות: $\frac{גובה}{רוחב} = \frac{רוחב}{גובה}$

נכון: $\frac{גובה _{1}}{רוחב _{1}} = \frac{גובה _{2}}{רוחב _{2}}$

למה זה קורה?

מערבבים את הסדר — גובה/רוחב בצד אחד ורוחב/גובה בצד השני.

איך מתקנים?

שמרו על אותו סדר בשני הצדדים. אם משמאל גובה/רוחב, גם מימין גובה/רוחב.

טעות נפוצה: מכפלה צולבת שגויה

טעות: מ- $\frac{2}{5} = \frac{50}{x}$ כותבים $2 \cdot 50 = 5 x$ .

נכון: $2 \cdot x = 5 \cdot 50$ , ולכן x = 125.

למה זה קורה?

מכפילים מונה במונה ומכנה במכנה במקום באלכסון.

איך מתקנים?

במכפלה צולבת מכפילים את ה'אלכסונים':

a \cdot d = b \cdot c

בדיקה מהירה

בתמונה מלבנית היחס בין הצלעות 2 : 5. הצלע הקצרה אורכה 50 ס"מ. מהו אורך הצלע הארוכה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: הגדלה חיבורית במקום כפלית

טעות: 60 → 150 (פלוס 90), לכן 40 → 130 (פלוס 90).

נכון: 60 → 150 הוא פי 2.5, לכן 40 → 40 × 2.5 = 100.

למה זה קורה?

חושבים שאם צלע אחת גדלה ב-90 ס״מ, גם השנייה גדלה ב-90 ס״מ.

איך מתקנים?

שמירת יחס היא כפלית: מוצאים את גורם ההגדלה ומכפילים בו את כל המידות.

סיכום

מה למדנו?

פרופורציה היא שוויון בין שני יחסים: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .
פותרים ערך חסר במכפלה צולבת: $a \cdot d = b \cdot c$ , ואז מבודדים את הנעלם.
כתבו את הפרופורציה בסדר עקבי בשני הצדדים, ובדקו את התשובה בהצבה חזרה.
שמירת יחס בהגדלה היא כפלית — מצאו גורם הגדלה והכפילו בו את כל המידות.

בשיעור הבא נרחיב ליחס בין שלושה גדלים או יותר, ולחלוקת שלם לפי יחס.

פרופורציה — חישוב הערך החסר

פרופורציה — חישוב הערך החסר

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מכפלה צולבת בסיסית

בלוח מלבני היחס גובה:רוחב הוא 2 : 5. הגובה 80 ס״מ. מהו הרוחב?

דוגמה 2: יחס כקצב (צריכת דלק)

מכונית צורכת 12 ק״מ לליטר. כמה ק״מ אפשר לנסוע ב-18 ליטר?

דוגמה 3: שמירת יחס בהגדלה (כפלי, לא חיבורי)

תמונה 40×6040 \times 6040×60 ס״מ הוגדלה כך שהצלע 60 הפכה ל-150. מה אורך הצלע הקצרה?

דוגמה 4: מתכון (פרופורציה בכמויות)

מתכון: 200 מ״ל חלב על 3 כפות קקאו. כמה חלב דרוש ל-45 כפות?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: כתיבת פרופורציה לא עקבית

טעות נפוצה: מכפלה צולבת שגויה

טעות נפוצה: הגדלה חיבורית במקום כפלית

סיכום

תמונה $40 \times 60$ ס״מ הוגדלה כך שהצלע 60 הפכה ל-150. מה אורך הצלע הקצרה?