משפט הדמיון זווית-זווית (ז.ז.)

מבוא

מטרות השיעור

להבין מהו דמיון משולשים: התאמה בין קודקודים שבה הזוויות שוות והצלעות פרופורציוניות
להכיר את משפט הדמיון זווית-זווית (ז.ז.) ולהבין מדוע שתי זוויות מספיקות
לזהות זוויות שוות מובנות: זווית משותפת, זוויות קודקודיות וזוויות בין ישרים מקבילים
לכתוב נכון את טענת הדמיון בסדר הקודקודים המתאים

הרעיון המרכזי

דמיון משולשים ומשפט ז.ז.

שני משולשים הם דומים אם יש התאמה בין קודקודיהם כך שכל הזוויות המתאימות שוות וכל הצלעות המתאימות פרופורציוניות (ביחס קבוע k).

משפט הדמיון זווית-זווית (ז.ז.):

אם שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש אחר - המשולשים דומים.

מדוע שתי זוויות מספיקות? סכום הזוויות בכל משולש הוא $18 0^{\circ}$ . אם שתיים שוות, גם השלישית נקבעת אוטומטית ( $18 0^{\circ}$ פחות שתי הזוויות), ולכן כל שלוש הזוויות שוות.

הערה חשובה: בתכנית זו ז.ז. הוא משפט הדמיון היחיד שבו משתמשים. אין צורך בנתוני צלעות כדי לקבוע דמיון - די בשתי זוויות שוות.

היכן מוצאים זוויות שוות?

זווית ישרה משותפת: שני משולשים ישרי זווית כבר חולקים זווית של $9 0^{\circ}$ .
זווית משותפת: כשמשולש קטן יושב בתוך משולש גדול הם חולקים את אותה זווית בקודקוד המשותף.
זוויות קודקודיות: שתי קרניים הנחתכות יוצרות זוויות קודקודיות שוות (למשל בהשתקפות באור).
ישרים מקבילים: קו רוחב המקביל לבסיס יוצר זוויות מתאימות שוות.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שני משולשים ישרי זווית עם זווית חדה שווה

מדידת גובה דקל לפי הצל: זווית קרני השמש זהה לאדם ולדקל. הסבירו מדוע המשולשים דומים.

זווית של $9 0^{\circ}$ משותפת, וזווית קרני השמש שווה. שתי זוויות שוות מספיקות - ז.ז.

שלב 1 — הזווית הראשונה

גם האדם וגם הדקל ניצבים לקרקע, ולכן בכל אחד מהמשולשים יש זווית של

90^{\circ}

בין הגובה לצל

דוגמה 2: מדוע שתי זוויות מספיקות

במשולש אחד שתי זוויות הן $50^{\circ}$ ו- $70^{\circ}$ , ובמשולש אחר שתי זוויות הן $70^{\circ}$ ו- $60^{\circ}$ . האם הם דומים?

מספיק היה לראות שתי זוויות שוות (70° וגם 60° או 50°) כדי לקבוע דמיון לפי ז.ז.

שלב 1 — הזווית השלישית במשולש הראשון

180^{\circ} - 50^{\circ} - 70^{\circ} = 60^{\circ}

. הזוויות:

50^{\circ}, 70^{\circ}, 60^{\circ}

דוגמה 3: זווית משותפת עם קו מקביל לבסיס

במסגרת מתכת משולשת מותחים מוט חיזוק DE המקביל לבסיס BC. הסבירו מדוע משולש ADE דומה למשולש ABC.

זווית משותפת ב-A, וזוג זוויות מתאימות שוות בזכות הקו המקביל - שתי זוויות, ז.ז.

שלב 1 — זווית משותפת

הזווית בקודקוד A משותפת לשני המשולשים ADE ו-ABC

דוגמה 4: השתקפות במים - זוויות קודקודיות

מתבונן רואה את השתקפות צמרת המגדל במים. זווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה. הסבירו את הדמיון.

שיטת ההשתקפות מבוססת על שתי זוויות שוות: $9 0^{\circ}$ משותפת, וזווית הפגיעה השווה לזווית ההחזרה.

שלב 1 — זווית ישרה

גם המגדל וגם המתבונן ניצבים לקרקע, ולכן בכל משולש יש זווית של

90^{\circ}

אל פני המים

בדיקה מהירה

לפי משפט הדמיון זווית-זווית (ז.ז.), מה צריך להתקיים כדי לקבוע ששני משולשים דומים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

אדם עומד ליד דקל באותו רגע. הצל של האדם והצל של הדקל נמדדים. שני המשולשים שנוצרים (גובה-צל) הם ישרי זווית. מהן שתי הזוויות השוות שמוכיחות לפי ז.ז. שהמשולשים דומים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: כל שני המשולשים שווי הצלעות דומים זה לזה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שצריך שלוש זוויות שוות

אם שתיים שוות אז גם $18 0^{\circ} -$ שתיהן שווה, ולכן השלישית שווה גם היא.

למה זה קורה?

תלמידים סבורים שכדי לקבוע דמיון צריך לבדוק את כל שלוש הזוויות.

איך מתקנים?

די בשתי זוויות שוות. הזווית השלישית נקבעת אוטומטית כי סכום הזוויות הוא

180^{\circ}

טעות נפוצה: התאמת קודקודים שגויה

אם $∠ A = ∠ D$ ו- $∠ B = ∠ E$ אז כותבים $△ A BC \sim △ D EF$ , ולא בסדר אחר.

למה זה קורה?

תלמידים מתאימים זוויות לא מתאימות וכותבים את הדמיון בסדר לא נכון.

איך מתקנים?

התאימו זווית לזווית שוות לה, וכתבו את שמות המשולשים כך שקודקודים מתאימים יופיעו באותו מקום בטענה.

טעות נפוצה: פספוס זוויות שוות מובנות

בשיטת הצללים הזווית הישרה אל הקרקע משותפת - אל תשכחו אותה.

למה זה קורה?

תלמידים לא שמים לב לזווית משותפת, לזוויות קודקודיות או לזוויות בין מקבילים.

איך מתקנים?

חפשו תמיד: זווית ישרה

(90^{\circ})

, זווית משותפת בקודקוד, זוויות קודקודיות בחיתוך קרניים, וזוויות מתאימות או מתחלפות כשיש ישר מקביל.

טעות נפוצה: בלבול בין דמיון לחפיפה

שני משולשים דומים יכולים להיות בגדלים שונים לחלוטין כל עוד הזוויות שוות.

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שדמיון מחייב גם גודל שווה.

איך מתקנים?

חפיפה היא מקרה פרטי של דמיון שבו

k=1

. בדמיון הצורה זהה אך הגודל יכול להשתנות.

סיכום

מה למדנו?

דמיון משולשים הוא התאמה שבה הזוויות שוות והצלעות פרופורציוניות.
משפט ז.ז.: שתי זוויות שוות בין שני משולשים מספיקות כדי לקבוע דמיון.
הסיבה: הזווית השלישית נקבעת מסכום הזוויות $18 0^{\circ}$ .
מקורות נפוצים לזוויות שוות: זווית ישרה, זווית משותפת, זוויות קודקודיות, זוויות בין ישרים מקבילים.
כותבים את טענת הדמיון בסדר הקודקודים המתאים.

מצוין! עכשיו אתם יכולים לקבוע מתי שני משולשים דומים בעזרת משפט ז.ז.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על קביעת דמיון משולשים לפי משפט ז.ז.!

משפט הדמיון זווית-זווית (ז.ז.)

משפט הדמיון זווית-זווית (ז.ז.)

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שני משולשים ישרי זווית עם זווית חדה שווה

מדידת גובה דקל לפי הצל: זווית קרני השמש זהה לאדם ולדקל. הסבירו מדוע המשולשים דומים.

דוגמה 2: מדוע שתי זוויות מספיקות

במשולש אחד שתי זוויות הן 50∘50^{\circ}50∘ ו-70∘70^{\circ}70∘, ובמשולש אחר שתי זוויות הן 70∘70^{\circ}70∘ ו-60∘60^{\circ}60∘. האם הם דומים?

דוגמה 3: זווית משותפת עם קו מקביל לבסיס

במסגרת מתכת משולשת מותחים מוט חיזוק DE המקביל לבסיס BC. הסבירו מדוע משולש ADE דומה למשולש ABC.

דוגמה 4: השתקפות במים - זוויות קודקודיות

מתבונן רואה את השתקפות צמרת המגדל במים. זווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה. הסבירו את הדמיון.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שצריך שלוש זוויות שוות

טעות נפוצה: התאמת קודקודים שגויה

טעות נפוצה: פספוס זוויות שוות מובנות

טעות נפוצה: בלבול בין דמיון לחפיפה

סיכום

תרגול נוסף

במשולש אחד שתי זוויות הן $50^{\circ}$ ו- $70^{\circ}$ , ובמשולש אחר שתי זוויות הן $70^{\circ}$ ו- $60^{\circ}$ . האם הם דומים?