חישוב צלעות וזוויות במשולשים דומים (כולל פיתגורס)

מבוא

מטרות השיעור

לכתוב פרופורציה נכונה בין צלעות מתאימות של משולשים דומים ולפתור אותה
לחשב צלע חסרה בעזרת יחס הדמיון k בשני הכיוונים
למצוא זוויות חסרות בעזרת שוויון זוויות מתאימות וסכום הזוויות $18 0^{\circ}$
להשתמש במשפט פיתגורס כדי להשלים צלע במשולש ישר זווית

הרעיון המרכזי

צלעות מתאימות ופרופורציה

במשולשים דומים, הצלעות המתאימות (אלו שמול זוויות שוות) פרופורציוניות:

\frac{a ^{'}}{a} = \frac{b ^{'}}{b} = \frac{c ^{'}}{c} = k

כאן k הוא יחס הדמיון. כדי לחשב צלע חסרה כותבים פרופורציה בין שני זוגות של צלעות מתאימות ופותרים במכפלה צולבת:

\frac{צלע במשולש 1}{צלע מתאימה במשולש 2} = \frac{צלע אחרת במשולש 1}{צלע מתאימה במשולש 2}

זוויות: זוויות מתאימות במשולשים דומים שוות. זווית חסרה אחרת מחושבים מ- $18 0^{\circ}$ פחות שתי הזוויות הידועות.

משפט פיתגורס ככלי עזר

במשולש ישר זווית עם ניצבים a, b ויתר c:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

משתמשים בו כשחסרה צלע במשולש ישר זווית, למשל לאחר שמצאנו שתי צלעות בעזרת יחס הדמיון. שימו לב: היתר הוא הצלע מול הזווית הישרה, והוא תמיד הארוך ביותר.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: גובה דקל לפי הצל

אדם שגובהו 1.72 מ' מטיל צל באורך 2.15 מ'. באותו רגע צל הדקל הוא 12 מ'. מה גובה הדקל?

\frac{h}{1.72} = \frac{12}{2.15} \Rightarrow h = \frac{1.72 \cdot 12}{2.15} = \frac{20.64}{2.15} \approx 9.6 מ’

שלב 1 — מזהים דמיון

שני משולשי גובה-צל ישרי זווית עם זווית קרני שמש שווה, ולכן דומים (ז.ז.)

דוגמה 2: רוחב נהר בעזרת משולשים דומים

כדי להעריך רוחב נהר מסמנים שני משולשים דומים. במשולש הקטן הצלעות הן 2 מ' ו-3 מ', ובמשולש הגדול הצלע המתאימה ל-3 מ' היא 30 מ'. מה רוחב הנהר (הצלע המתאימה ל-2 מ')?

\frac{w}{2} = \frac{30}{3} = 10 \Rightarrow w = 2 \cdot 10 = 20 מ’

שלב 1 — יחס הדמיון

k = 30 \div 3 = 10 (

המשולש הגדול גדול פי 10)

דוגמה 3: שימוש במשפט פיתגורס בתוך דמיון

מפרש קטן הוא משולש ישר זווית עם ניצבים 6 מ' ו-8 מ'. המפרש הגדול דומה לו, ואורך היתר שלו 15 מ'. מה אורכי הניצבים של המפרש הגדול?

6^{2} + 8^{2} = 1 0^{2}, k = \frac{15}{10} = 1.5, 6 \cdot 1.5 = 9, 8 \cdot 1.5 = 12

שלב 1 — יתר המפרש הקטן (פיתגורס)

c^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100

, לכן

c = 10

מ'

דוגמה 4: מציאת זווית חסרה

משולש ABC דומה למשולש DEF. ידוע שזווית $A = 90^{\circ}$ וזווית $B = 35^{\circ}$ . מה גודל זווית F?

∠ C = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 5 5^{\circ}, ∠ F = ∠ C = 5 5^{\circ}

שלב 1 — זוויות מתאימות שוות

במשולשים דומים A↔D, B↔E, C↔F. לכן זווית F שווה לזווית C

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

בסירת מפרש שני מפרשים דומים בצורת משולש ישר זווית. היחס בין התורן הראשי לתורן המשני הוא 4:3. אורך התורן הראשי הוא 8 מ'. מה אורך התורן המשני, במטרים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

אדם שגובהו 1.72 מ' מטיל צל באורך 2.15 מ'. באותו רגע צל של דקל הוא 12 מ'. מה גובה הדקל, במטרים? (עגלו לדיוק של 0.1 מ')

סטייה מותרת: ±0.1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מפרש קטן הוא משולש ישר זווית עם ניצבים 6 מ' ו-8 מ'. המפרש הגדול דומה לו, ואורך היתר שלו 15 מ'. מה אורך הניצב הארוך של המפרש הגדול, במטרים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: התאמת צלעות שגויה בפרופורציה

אם $∠ A = ∠ D$ אז הצלע מול A מתאימה לצלע מול D, וכותבים $\frac{a ^{'}}{a}$ ולא $\frac{a ^{'}}{b}$ .

למה זה קורה?

תלמידים מחלקים צלע מול זווית אחת בצלע מול זווית אחרת.

איך מתקנים?

התאימו צלע לצלע שמולה זווית שווה. במשולשים דומים הצלע מול הזווית הקטנה היא הקטנה ביותר בשניהם.

טעות נפוצה: כיוון יחס הדמיון הפוך

אם המפרש הגדול גדול פי 1.5, להגיע אליו מכפילים ב-1.5, ולא מחלקים.

למה זה קורה?

תלמידים מכפילים כשצריך לחלק, או להיפך.

איך מתקנים?

קבעו תחילה מי המשולש הגדול ומי הקטן. ממשולש קטן לגדול מכפילים ב-

k>1

, מגדול לקטן מחלקים.

טעות נפוצה: בלבול בין ניצב ליתר בפיתגורס

אם נתון יתר 13 וניצב 5, הניצב השני הוא $1 3^{2} - 5^{2} = 144 = 12$ , ולא $1 3^{2} + 5^{2}$ .

למה זה קורה?

תלמידים מציבים את היתר במקום ניצב או להיפך.

איך מתקנים?

היתר הוא הצלע מול הזווית הישרה והוא הארוך ביותר. בנוסחה

a^{2}+b^{2}=c^{2}

האות c היא תמיד היתר.

טעות נפוצה: שכחת המרת יחידות בפרופורציה

3 מ' ו-48 ס״מ אינם 3 ו-48. תחילה ממירים: 3 מ' = 300 ס״מ, ואז מחברים: 348 ס״מ.

למה זה קורה?

מציבים מטרים מול ס״מ באותה פרופורציה.

איך מתקנים?

לפני פתרון הפרופורציה ודאו שכל הצלעות נמצאות באותה יחידת מידה.

סיכום

מה למדנו?

במשולשים דומים הצלעות המתאימות פרופורציוניות: $\frac{a ^{'}}{a} = \frac{b ^{'}}{b} = k$ .
כותבים פרופורציה בין צלעות מתאימות ופותרים במכפלה צולבת.
זוויות מתאימות שוות; זווית חסרה מחשבים מ- $18 0^{\circ}$ פחות שתי הזוויות הידועות.
משפט פיתגורס $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ משלים צלע חסרה במשולש ישר זווית.
שומרים על אותה יחידת מידה ועל הכיוון הנכון של יחס הדמיון.

כל הכבוד! עכשיו אתם יכולים לחשב צלעות וזוויות חסרות במשולשים דומים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב צלעות וזוויות במשולשים דומים!

חישוב צלעות וזוויות במשולשים דומים (כולל פיתגורס)

חישוב צלעות וזוויות במשולשים דומים (כולל פיתגורס)

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: גובה דקל לפי הצל

אדם שגובהו 1.72 מ' מטיל צל באורך 2.15 מ'. באותו רגע צל הדקל הוא 12 מ'. מה גובה הדקל?

דוגמה 2: רוחב נהר בעזרת משולשים דומים

כדי להעריך רוחב נהר מסמנים שני משולשים דומים. במשולש הקטן הצלעות הן 2 מ' ו-3 מ', ובמשולש הגדול הצלע המתאימה ל-3 מ' היא 30 מ'. מה רוחב הנהר (הצלע המתאימה ל-2 מ')?

דוגמה 3: שימוש במשפט פיתגורס בתוך דמיון

מפרש קטן הוא משולש ישר זווית עם ניצבים 6 מ' ו-8 מ'. המפרש הגדול דומה לו, ואורך היתר שלו 15 מ'. מה אורכי הניצבים של המפרש הגדול?

דוגמה 4: מציאת זווית חסרה

משולש ABC דומה למשולש DEF. ידוע שזווית A=90∘A = 90^{\circ}A=90∘ וזווית B=35∘B = 35^{\circ}B=35∘. מה גודל זווית F?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: התאמת צלעות שגויה בפרופורציה

טעות נפוצה: כיוון יחס הדמיון הפוך

טעות נפוצה: בלבול בין ניצב ליתר בפיתגורס

טעות נפוצה: שכחת המרת יחידות בפרופורציה

סיכום

תרגול נוסף

משולש ABC דומה למשולש DEF. ידוע שזווית $A = 90^{\circ}$ וזווית $B = 35^{\circ}$ . מה גודל זווית F?