יחס ההיקפים ויחס השטחים במשולשים דומים

מבוא

מטרות השיעור

להבין מדוע יחס ההיקפים של משולשים דומים שווה ליחס הדמיון k
להבין מדוע יחס השטחים של משולשים דומים שווה ל- $k^{2}$
לעבור מ-k אל יחסי ההיקפים והשטחים
לעבוד בכיוון ההפוך: מיחס היקפים או שטחים בחזרה אל יחס הדמיון

הרעיון המרכזי

הקשר בין k, היקף ושטח

אם שני משולשים דומים ביחס דמיון k (כל צלע במשולש השני היא פי k מהצלע המתאימה בראשון), אז:

יחס ההיקפים: $\frac{P _{2}}{P _{1}} = k$

ההיקף הוא סכום של צלעות, וכל צלע גדלה פי k, ולכן גם הסכום גדל פי k.

יחס השטחים: $\frac{S _{2}}{S _{1}} = k^{2}$

השטח תלוי בשתי מידות (בסיס וגובה), וכל אחת גדלה פי k, ולכן השטח גדל פי $k \cdot k = k^{2}$ .

הכיוון ההפוך

אפשר לעבוד גם הפוך:

אם יחס ההיקפים נתון, אז יחס הדמיון שווה לו: $k = \frac{P _{2}}{P _{1}}$ .
אם יחס השטחים נתון, אז יחס הדמיון הוא השורש הריבועי: $k = \frac{S _{2}}{S _{1}}$ .

זכרו: היקף "הולך יחד עם" k (חזקה 1), שטח "הולך יחד עם" $k^{2}$ (חזקה 2).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: יחס ההיקפים של שני עפיפונים

שני עפיפונים בצורת משולש שווה צלעות: הקטן בעל צלע 1 מ', הגדול בעל צלע 3 מ'. מה יחס ההיקפים?

\frac{P _{גדול}}{P _{קטן}} = k = 3

שלב 1 — יחס הדמיון

k = 3 \div 1 = 3

דוגמה 2: יחס השטחים של אותם עפיפונים

לאותם עפיפונים $(k=3):$ פי כמה גדול שטח העפיפון הגדול משטח הקטן?

\frac{S _{גדול}}{S _{קטן}} = k^{2} = 3^{2} = 9

שימו לב: ההיקף גדל פי 3, אך השטח גדל פי 9!

שלב 1 — יחס השטחים $= k^{2}$

k^{2} = 3^{2} = 9

דוגמה 3: כיוון הפוך - מיחס שטחים אל יחס הדמיון

שני משולשים דומים. שטח האחד גדול פי 16 משטח השני. מה יחס הדמיון ומה יחס ההיקפים?

k = 16 = 4, \frac{P _{2}}{P _{1}} = k = 4

מיחס שטחים חוזרים ל-k בעזרת שורש ריבועי.

שלב 1 — מיחס השטחים אל k

יחס השטחים

= k^{2}

, לכן

k = \sqrt{16} = 4

דוגמה 4: כמה אריחים נדרשים לחדר זהה

לריצוף חדר השתמשו ב-400 אריחים משולשים ישרי זווית עם ניצבים 30 ס״מ ו-20 ס״מ. בחדר זהה בגודלו מרצפים באריחים דומים עם ניצבים 15 ס״מ ו-10 ס״מ. כמה אריחים נדרשים?

k = \frac{1}{2}, k^{2} = \frac{1}{4}, 400 \cdot 4 = 1600

אריחים קטנים פי 2 בצלע מכסים רבע מהשטח, ולכן דרושים פי 4 אריחים.

שלב 1 — יחס הדמיון בין האריחים

k = 15 \div 30 = \frac{1}{2} (

האריח החדש קטן פי 2 בכל צלע)

בדיקה מהירה

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: יחס השטחים של שני משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון $(k^{2})$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

שני עפיפונים משולשיים דומים, יחס הדמיון $k = 3$ . לבניית מסגרת העפיפון הקטן (היקפו) עלה החומר 15 ₪. מהי עלות החומר למסגרת העפיפון הגדול, בשקלים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

לריצוף חדר השתמשו ב-400 אריחים משולשים ישרי זווית עם ניצבים 30 ס"מ ו-20 ס"מ. בחדר זהה בגודלו מרצפים באריחים דומים עם ניצבים 15 ס"מ ו-10 ס"מ. בכמה אריחים ישתמשו לריצוף החדר השני?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: יחס השטחים שווה ל-k במקום ל- $k^{2}$

$\frac{S _{2}}{S _{1}} = k^{2}$ , לדוגמה $k = 3 \Rightarrow k^{2} = 9$ .

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים שהשטח תלוי בשתי מידות, ולכן גדל פי k בריבוע.

איך מתקנים?

יחס הדמיון k משפיע על השטח פעמיים (בסיס וגובה), ולכן יחס השטחים הוא

k^{2}

. אם

k=3

, השטח גדל פי 9, לא פי 3.

טעות נפוצה: העלאת יחס ההיקפים בריבוע

$\frac{P _{2}}{P _{1}} = k$ (חזקה 1), בעוד $\frac{S _{2}}{S _{1}} = k^{2}$ (חזקה 2).

למה זה קורה?

תלמידים מיישמים את כלל השטח גם על ההיקף.

איך מתקנים?

ההיקף הוא סכום צלעות (מידה אחת), ולכן יחס ההיקפים שווה ל-k בדיוק, ללא ריבוע.

טעות נפוצה: שכחת השורש בכיוון ההפוך

יחס שטחים 25 נותן $k = 25 = 5$ , ולא 25.

למה זה קורה?

כשנתון יחס שטחים, תלמידים משתמשים בו ישירות כיחס דמיון.

איך מתקנים?

יחס שטחים הוא

k^{2}

, ולכן כדי לחזור ל-k מוציאים שורש ריבועי:

k = √(

יחס השטחים).

טעות נפוצה: ערבוב בין כיוון ההגדלה לכיוון ההקטנה

אריח קטן פי 2 ( $k = \frac{1}{2}$ ) מכסה רבע שטח, ולכן צריך פי 4 אריחים.

למה זה קורה?

לא קובעים אם עוברים מהקטן לגדול או להיפך.

איך מתקנים?

קבעו תחילה איזה משולש בכינוי

k>1

ואיזה

k<1

. אריח קטן יותר נותן

k<1

ולכן צריך יותר אריחים.

סיכום

מה למדנו?

יחס ההיקפים של משולשים דומים שווה ליחס הדמיון: $\frac{P _{2}}{P _{1}} = k$ .
יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון: $\frac{S _{2}}{S _{1}} = k^{2}$ .
כיוון הפוך: מיחס היקפים מקבלים k ישירות; מיחס שטחים מוציאים שורש: $k = S_{2} / S_{1}$ .
היקף הולך עם k (חזקה 1), שטח הולך עם $k^{2}$ (חזקה 2).

מצוין! עכשיו אתם שולטים בקשר בין יחס הדמיון, ההיקפים והשטחים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על יחסי ההיקפים והשטחים במשולשים דומים!

יחס ההיקפים ויחס השטחים במשולשים דומים

יחס ההיקפים ויחס השטחים במשולשים דומים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: יחס ההיקפים של שני עפיפונים

שני עפיפונים בצורת משולש שווה צלעות: הקטן בעל צלע 1 מ', הגדול בעל צלע 3 מ'. מה יחס ההיקפים?

דוגמה 2: יחס השטחים של אותם עפיפונים

לאותם עפיפונים (k=3):(k=3):(k=3): פי כמה גדול שטח העפיפון הגדול משטח הקטן?

דוגמה 3: כיוון הפוך - מיחס שטחים אל יחס הדמיון

שני משולשים דומים. שטח האחד גדול פי 16 משטח השני. מה יחס הדמיון ומה יחס ההיקפים?

דוגמה 4: כמה אריחים נדרשים לחדר זהה

לריצוף חדר השתמשו ב-400 אריחים משולשים ישרי זווית עם ניצבים 30 ס״מ ו-20 ס״מ. בחדר זהה בגודלו מרצפים באריחים דומים עם ניצבים 15 ס״מ ו-10 ס״מ. כמה אריחים נדרשים?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: יחס השטחים שווה ל-k במקום ל-k2k^{2}k2

טעות נפוצה: העלאת יחס ההיקפים בריבוע

טעות נפוצה: שכחת השורש בכיוון ההפוך

טעות נפוצה: ערבוב בין כיוון ההגדלה לכיוון ההקטנה

סיכום

תרגול נוסף

לאותם עפיפונים $(k=3):$ פי כמה גדול שטח העפיפון הגדול משטח הקטן?

טעות נפוצה: יחס השטחים שווה ל-k במקום ל- $k^{2}$