חישוב ערך טריגונומטרי וזווית במחשבון

מבוא

מטרות השיעור

לחשב את $sin α$ , $cos α$ , $tan α$ של זווית נתונה במעלות בעזרת מחשבון
לוודא שהמחשבון נמצא במצב מעלות (DEG) ולא ברדיאנים
לעבוד בכיוון ההפוך: מתוך ערך נתון של sin/cos/tan למצוא את הזווית בעזרת $sin^{- 1}$ , $cos^{- 1}$ , $tan^{- 1}$
להבין שעבור זווית חדה $0 < sin α < 1$ וגם $0 < cos α < 1$

הרעיון המרכזי

שני כיוונים

מזווית לערך: מקישים את שם הפונקציה ואז את הזווית — למשל $sin 3 0^{\circ} = 0.5$ .

מערך לזווית (כיוון הפוך): מקישים את הפונקציה ההפוכה ואז את הערך:

α = sin^{- 1} (0.5) = 3 0^{\circ}

α = cos^{- 1} (0.8) \approx 36.8 7^{\circ}

α = tan^{- 1} (1) = 4 5^{\circ}

חשוב מאוד: ודאו שהמחשבון במצב DEG (מעלות). מצב RAD (רדיאנים) ייתן תוצאות שגויות לחלוטין.

ערכים שכדאי לזכור: $sin 3 0^{\circ} = 0.5$ , $cos 6 0^{\circ} = 0.5$ , $tan 4 5^{\circ} = 1$ .

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מזווית לערך

חשבו את $\sin 30^{\circ}$ ואת $\cos 40^{\circ}$ .

sin 3 0^{\circ} = 0.5, cos 4 0^{\circ} \approx 0.7660

שלב 1 — מצב מעלות

ודאו שהמחשבון מציג DEG.

תשובה מספרית

בעזרת מחשבון, חשבו את $\cos 40^{\circ}$ ועגלו לארבע ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מערך לזווית בעזרת sin⁻¹

התקבל $\sin \alpha = 0.5$ . מצאו את $\alpha$ .

α = sin^{- 1} (0.5) = 3 0^{\circ}

שלב 1 — בוחרים פונקציה הפוכה

כדי למצוא זווית מסינוס משתמשים ב-

\sin ^{-1}

תשובה מספרית

בעזרת מחשבון (במצב מעלות), חשבו את $\sin 30^{\circ}$ .

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

במשולש ישר-זווית חישבו והתקבל $\sin \alpha = 0.5$ . מצאו את הזווית $\alpha ($ במעלות) בעזרת $\sin ^{-1}$ במחשבון.

סטייה מותרת: ±0.5

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מערך לזווית בעזרת cos⁻¹

התקבל $\cos \alpha = 0.8$ . מצאו את $\alpha ($ עיגול למעלה שלמה).

α = cos^{- 1} (0.8) \approx 36.8 7^{\circ} \approx 3 7^{\circ}

שלב 1 — פונקציה הפוכה

\alpha = \cos ^{-1}(0.8)

תשובה מספרית

במשולש ישר-זווית התקבל $\cos \alpha = 0.8$ . מצאו את הזווית $\alpha ($ במעלות) ועגלו למעלה שלמה.

סטייה מותרת: ±0.6

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: tan⁻¹

התקבל $\tan \alpha = 1$ . מצאו את $\alpha$ .

α = tan^{- 1} (1) = 4 5^{\circ}

שלב 1 — פונקציה הפוכה

\alpha = \tan ^{-1}(1)

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: המחשבון במצב רדיאנים

אם $sin 3 0^{\circ}$ אינו יוצא 0.5 — המחשבון כנראה ברדיאנים.

למה זה קורה?

ברירת המחדל של חלק מהמחשבונים היא RAD, והתלמיד אינו שם לב.

איך מתקנים?

ודאו תמיד שמופיע DEG על הצג. בדיקה מהירה:

\sin 30^{\circ}

חייב לצאת 0.5 בדיוק.

טעות נפוצה: בלבול בין פונקציה לפונקציה ההפוכה

מערך 0.5 לזווית: $sin^{- 1} (0.5) = 3 0^{\circ}$ — לא $sin (0.5)$ .

למה זה קורה?

כדי למצוא זווית, תלמידים מקישים

\sin

במקום

\sin ^{-1}

איך מתקנים?

מזווית לערך —

\frac{\frac{\sin }{\cos }}{\tan }

. מערך לזווית —

\frac{\sin ^{-1}}{\cos ^{-1}}/\tan ^{-1}

טעות נפוצה: חושבים ש- $\sin$ או $\cos$ יכולים להיות גדולים מ-1

$0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1$ (זווית חדה).

למה זה קורה?

לא זוכרים שהיתר ארוך מכל ניצב.

איך מתקנים?

עבור זווית חדה:

0 < \sin \alpha < 1

וגם

0 < \cos \alpha < 1

. רק

\tan

יכול להיות גדול מ-1.

טעות נפוצה: עיגול מוקדם מדי

חשבו עם הערך המלא $cos 4 0^{\circ} = 0.76604 \dots$ ועגלו רק בתוצאה הסופית.

למה זה קורה?

מעגלים ערך ביניים ואז ממשיכים לחשב — מצטברת שגיאה.

איך מתקנים?

שמרו ספרות רבות בחישוב הביניים, ועגלו רק בסוף לפי הנדרש.

סיכום

מה למדנו?

מזווית לערך: הקישו sin/cos/tan ואז את הזווית (במצב DEG).
מערך לזווית: הקישו $sin^{- 1}$ , $cos^{- 1}$ או $tan^{- 1}$ ואז את הערך.
ודאו תמיד מצב מעלות; בדיקה: $sin 3 0^{\circ} = 0.5$ .
עבור זווית חדה הסינוס והקוסינוס תמיד בין 0 ל-1.

מעולה! עכשיו תוכלו לחשב כל ערך טריגונומטרי וכל זווית — ולעבור לפתרון משולשים שלמים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על שני הכיוונים: מזווית לערך ומערך לזווית!

חישוב ערך טריגונומטרי וזווית במחשבון

חישוב ערך טריגונומטרי וזווית במחשבון

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מזווית לערך

חשבו את sin⁡30∘\sin 30^{\circ}sin30∘ ואת cos⁡40∘\cos 40^{\circ}cos40∘.

דוגמה 2: מערך לזווית בעזרת sin⁻¹

התקבל sin⁡α=0.5\sin \alpha = 0.5sinα=0.5. מצאו את α\alphaα.

דוגמה 3: מערך לזווית בעזרת cos⁻¹

התקבל cos⁡α=0.8\cos \alpha = 0.8cosα=0.8. מצאו את α(\alpha (α(עיגול למעלה שלמה).

דוגמה 4: tan⁻¹

התקבל tan⁡α=1\tan \alpha = 1tanα=1. מצאו את α\alphaα.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: המחשבון במצב רדיאנים

טעות נפוצה: בלבול בין פונקציה לפונקציה ההפוכה

טעות נפוצה: חושבים ש-sin⁡\sinsin או cos⁡\coscos יכולים להיות גדולים מ-1

טעות נפוצה: עיגול מוקדם מדי

סיכום

תרגול נוסף

חשבו את $\sin 30^{\circ}$ ואת $\cos 40^{\circ}$ .

התקבל $\sin \alpha = 0.5$ . מצאו את $\alpha$ .

התקבל $\cos \alpha = 0.8$ . מצאו את $\alpha ($ עיגול למעלה שלמה).

התקבל $\tan \alpha = 1$ . מצאו את $\alpha$ .

טעות נפוצה: חושבים ש- $\sin$ או $\cos$ יכולים להיות גדולים מ-1