פירוק צורות גאומטריות למשולשים ישרי-זווית

מבוא

מטרות השיעור

לפרק מעוין, טרפז שווה-שוקיים, משושה ומתומן משוכללים למשולשים ישרי-זווית
לבחור את הקו המתאים (גובה, אלכסון, או רדיוס מהמרכז) שיוצר משולש ישר-זווית
לחשב אורכי צלעות, אלכסונים, גבהים, שטחים והיקפים בעזרת sin/cos/tan ומשפט פיתגורס
להיזהר: להשתמש במחצית הזווית כשנדרש, ולהכפיל במספר המשולשים הנכון

הרעיון המרכזי

אסטרטגיית הפירוק

מעוין: האלכסונים חוצים זה את זה בניצב וחוצים כל זווית לשתי זוויות שוות — נוצרים 4 משולשים ישרי-זווית זהים. שטח מעוין: $S = a^{2} sin α$ או $S = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2}$ .

טרפז שווה-שוקיים: מורידים שני גבהים מקצות הבסיס הקטן — נוצרים מלבן באמצע ושני משולשים ישרי-זווית זהים בקצוות. ה'מתל' בכל צד הוא $\frac{בסיס גדול - בסיס קטן}{2}$ .

משושה משוכלל: מחברים מרכז לקודקודים — 6 משולשים שווי-צלעות זהים. גובה כל אחד $= a sin 6 0^{\circ}$ .

מתומן משוכלל (8 צלעות): מחברים מרכז לקודקודים — 8 משולשים שווי-שוקיים זהים, הזווית במרכז $\frac{36 0 ^{\circ}}{8} = 4 5^{\circ}$ .

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שטח משושה משוכלל

משושה משוכלל שצלעו 20 ס״מ. מצאו את שטחו.

S = 6 \cdot \frac{20 \cdot 20 sin 6 0 ^{\circ}}{2} \approx 1039

שלב 1 — פירוק

6 משולשים שווי-צלעות שצלעם 20.

תשובה מספרית

מראת קיר בצורת משושה משוכלל שאורך צלעו 20 ס"מ. חשבו את שטח המראה (בסמ"ר), בעיגול למספר שלם. (רמז: המשושה מורכב מ-6 משולשים שווי-צלעות שצלעם 20.)

סטייה מותרת: ±2

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: אלכסון מעוין

מעוין שצלעו 30 ס״מ, זווית $62^{\circ}$ . מצאו את האלכסון הקצר.

d_{קצר} = 2 \cdot 30 sin 3 1^{\circ} \approx 30.90

שלב 1 — מחצית הזווית

האלכסון חוצה את הזווית:

\frac{62^{\circ}}{2} = 31^{\circ}

תשובה מספרית

עפיפון בצורת מעוין שצלעו 30 ס"מ. אחת מזוויות המעוין היא $62^{\circ}$ . האלכסונים חוצים זה את זה בניצב ומחלקים כל זווית לשתי זוויות שוות. חשבו את אורך האלכסון הקצר (היוצא מהזווית בת $62^{\circ})$ , בס"מ, בעיגול לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: גובה טרפז שווה-שוקיים

טרפז שווה-שוקיים: בסיסים 10 ו-16 ס״מ, זווית חדה $60^{\circ}$ . מצאו את הגובה.

h = 3 \cdot tan 6 0^{\circ} \approx 5.20

שלב 1 — מתל

\frac{16 - 10}{2} = 3

ס״מ (ניצב ליד הזווית).

תשובה מספרית

משטח עליון של שולחן הוא טרפז שווה-שוקיים. הבסיס הקטן 10 ס"מ, הבסיס הגדול 16 ס"מ, והזווית החדה של הטרפז $60^{\circ}$ . חשבו את גובה הטרפז (בס"מ), בעיגול לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שטח מתומן משוכלל

מתומן משוכלל שצלעו 20 ס״מ. מצאו את שטחו.

S = 8 \cdot \frac{20 \cdot \frac{10}{t a n 22. 5 ^{\circ}}}{2} \approx 1931

שלב 1 — פירוק

8 משולשים שווי-שוקיים, זווית במרכז

\frac{360^{\circ}}{8} = 45^{\circ}

תשובה מספרית

קופסת תכשיטים בצורת מתומן (אוקטגון) משוכלל שאורך צלעו 20 ס"מ. חשבו את שטח התחתית (בסמ"ר), בעיגול למספר שלם. (רמז: השתמשו בשמונה משולשים זהים מהמרכז, שבכל אחד הזווית במרכז $45^{\circ}.)$

סטייה מותרת: ±3

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הורדת גובה שאינו יוצר משולש ישר-זווית

ודאו שהקו שהורדתם מאונך לבסיס — רק אז נוצר משולש ישר-זווית.

למה זה קורה?

תלמידים מציירים קו אלכסוני שאינו מאונך לבסיס.

איך מתקנים?

הגובה חייב להיות מאונך לבסיס כדי שייווצר משולש ישר-זווית שעליו אפשר להפעיל טריגונומטריה.

טעות נפוצה: שימוש בזווית המלאה במקום במחציתה

מעוין בזווית $6 2^{\circ}$ : במשולש ישר-הזווית משתמשים ב- $3 1^{\circ}$ .

למה זה קורה?

האלכסון/הגובה חוצה את זווית הקודקוד, אך תלמידים מציבים את הזווית המלאה.

איך מתקנים?

כשהאלכסון או הגובה חוצה זווית, השתמשו במחצית: מעוין

62^{\circ} → 31^{\circ}

, מתומן

45^{\circ} → 22.5^{\circ}

טעות נפוצה: שכחת הכפלה במספר המשולשים

שטח משושה $= 6 \times$ (שטח משולש אחד), לא שטח משולש אחד בלבד.

למה זה קורה?

מחשבים שטח של משולש אחד ושוכחים שזה רק חלק מהצורה.

איך מתקנים?

הכפילו את שטח/אורך המשולש היחיד במספר המשולשים: משושה

\times 6

, מתומן

\times 8

, מעוין

\times 4 (

או

\times 2

לחצי).

טעות נפוצה: הנחה שהגובה פוגע באמצע גם בצורה לא סימטרית

ה'מתל' שווה בשני הצדדים $(\frac{B - b}{2})$ רק כשהטרפז שווה-שוקיים.

למה זה קורה?

מעבירים את ההרגל מטרפז שווה-שוקיים לכל מרובע.

איך מתקנים?

רק בצורה סימטרית (טרפז שווה-שוקיים, מעוין) הגובה/האלכסון פוגע באמצע. בדקו את הסימטריה.

סיכום

מה למדנו?

מעוין: 4 משולשים ישרי-זווית מהאלכסונים; $S = a^{2} sin α = \frac{d _{1} d _{2}}{2}$ .
טרפז שווה-שוקיים: מלבן + שני משולשים; מתל $= \frac{B - b}{2}$ .
משושה: 6 משולשים שווי-צלעות; גובה $= a sin 6 0^{\circ}$ .
מתומן: 8 משולשים, זווית מרכז $4 5^{\circ}$ .
השתמשו במחצית הזווית כשהקו חוצה אותה, והכפילו במספר המשולשים.

כל הכבוד! סיימתם את היחידה — עכשיו אתם יכולים לפרק כל צורה אוריינית ולחשב בה אורכים, שטחים וזוויות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על פירוק צורות מורכבות בהקשרים אמיתיים!

פירוק צורות גאומטריות למשולשים ישרי-זווית

פירוק צורות גאומטריות למשולשים ישרי-זווית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שטח משושה משוכלל

משושה משוכלל שצלעו 20 ס״מ. מצאו את שטחו.

דוגמה 2: אלכסון מעוין

מעוין שצלעו 30 ס״מ, זווית 62∘62^{\circ}62∘. מצאו את האלכסון הקצר.

דוגמה 3: גובה טרפז שווה-שוקיים

טרפז שווה-שוקיים: בסיסים 10 ו-16 ס״מ, זווית חדה 60∘60^{\circ}60∘. מצאו את הגובה.

דוגמה 4: שטח מתומן משוכלל

מתומן משוכלל שצלעו 20 ס״מ. מצאו את שטחו.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הורדת גובה שאינו יוצר משולש ישר-זווית

טעות נפוצה: שימוש בזווית המלאה במקום במחציתה

טעות נפוצה: שכחת הכפלה במספר המשולשים

טעות נפוצה: הנחה שהגובה פוגע באמצע גם בצורה לא סימטרית

סיכום

תרגול נוסף

מעוין שצלעו 30 ס״מ, זווית $62^{\circ}$ . מצאו את האלכסון הקצר.

טרפז שווה-שוקיים: בסיסים 10 ו-16 ס״מ, זווית חדה $60^{\circ}$ . מצאו את הגובה.