זווית גובה וזווית עומק

מבוא

מטרות השיעור

להבין מהי זווית גובה ומהי זווית עומק ביחס לקו האופק
לבנות משולש ישר-זווית מתוך מצב אורייני: מגדל, מטוס, מגדלור, כבאית
לחשב גבהים, מרחקים אופקיים, מרחקים אוויריים וזוויות חסרים
להבין שזווית העומק של נקודה שווה לזווית הגובה שלה (זוויות מתחלפות)

הרעיון המרכזי

גובה מול עומק

זווית גובה — הזווית שבין קו המבט אל נקודה גבוהה לבין קו האופק האופקי (מביטים למעלה).

זווית עומק — הזווית שבין קו המבט אל נקודה נמוכה לבין קו האופק האופקי (מביטים למטה).

שתי הזוויות נמדדות מקו האופק, לא מהקו האנכי.

מכיוון ששני קווי האופק (אצל הצופה ואצל המטרה) מקבילים, מתקיים תמיד:

זווית עומק (A \to B) = זווית גובה (B \to A)

(זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.)

בכל מצב: ההפרש האנכי הוא הניצב שמול הזווית, המרחק האופקי הוא הניצב שליד, וקו המבט הוא היתר.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: גובה מגדל מזווית גובה

מרחק אופקי 360 מ' ממגדל אייפל, זווית גובה $42^{\circ}$ . מצאו את הגובה.

גובה = 360 \cdot tan 4 2^{\circ} \approx 324

שלב 1 — בונים משולש

ניצב ליד

= 360 (

אופקי), ניצב מול = גובה, זווית

= 42^{\circ}

תשובה מספרית

מנקודה על הקרקע, במרחק אופקי של 50 מ' ממגדל תצפית, נמדדת זווית גובה של $35^{\circ}$ אל ראש המגדל. הצופה מודד מגובה הקרקע. חשבו את גובה המגדל (במ'), בעיגול למספר שלם.

סטייה מותרת: ±0.5

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מנקודה A במרחק 360 מ' מבסיס מגדל אייפל נמדדת זווית גובה של $42^{\circ}$ אל ראש המגדל. חשבו את גובה המגדל (במ'), בעיגול למספר שלם.

סטייה מותרת: ±1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מרחק אווירי בנחיתה (זווית ירידה)

מטוס בגובה 1.8 ק״מ, זווית ירידה $7^{\circ}$ . מצאו את המרחק האווירי עד המסלול.

מרחק אווירי = \frac{1.8}{sin 7 ^{\circ}} \approx 14.77

שלב 1 — מזהים

גובה

(1.8) =

ניצב מול, מרחק אווירי = יתר.

דוגמה 3: זווית עומק → מרחק אופקי

מראש מגדל בגובה 30 מ' רואים מכונית בזווית עומק $40^{\circ}$ . מצאו את המרחק האופקי.

מרחק = \frac{30}{tan 4 0 ^{\circ}} \approx 36

שלב 1 — מתחלפות

זווית העומק

40^{\circ}

שווה לזווית הגובה מהמכונית למעלה.

תשובה מספרית

מראש מגדל תצפית שגובהו 30 מ' רואים מכונית על הקרקע בזווית עומק של $40^{\circ}$ . חשבו את המרחק האופקי של המכונית מבסיס המגדל (במ'), בעיגול למספר שלם.

סטייה מותרת: ±0.6

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מציאת זווית (חילוץ בכבאית)

סולם 37 מ' מותקן בגובה 4 מ'. באיזו זווית יגיע הקצה לגובה 10 מ'?

α = sin^{- 1} (\frac{10 - 4}{37}) \approx 9^{\circ}

שלב 1 — עלייה אנכית

הסולם צריך לעלות

10 - 4 = 6

מ' (ניצב מול).

תשובה מספרית

סולם של כבאית באורך 37 מ' מותקן על גג הכבאית בגובה 4 מ' מהקרקע. כדי לחלץ אדם משעינים את הסולם בגובה מרבי. חשבו את הזווית בין הסולם לאופק (במעלות) הדרושה כדי שקצה הסולם יגיע לגובה 10 מ' מהקרקע, בעיגול למעלה שלמה.

סטייה מותרת: ±0.6

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מדידת הזווית מהקו האנכי

זווית הגובה היא בין קו המבט לקו האופק — לא לקו האנכי.

למה זה קורה?

תלמידים מודדים את הזווית מהמגדל האנכי במקום מקו האופק.

איך מתקנים?

זווית גובה/עומק נמדדת תמיד מקו האופק האופקי. אם מדדתם מהאנך — הזווית המשלימה

(90^{\circ}

פחות) היא הנכונה.

טעות נפוצה: שכחת גובה הצופה

גובה מלא = (מרחק · tan α) + גובה הצופה.

למה זה קורה?

במצבים שבהם הצופה מודד מגובה העין, מקבלים רק את החלק שמעל קו המבט.

איך מתקנים?

הוסיפו את גובה העין/המכשיר לגובה שחושב מעל קו המבט כדי לקבל את הגובה המלא מהקרקע.

טעות נפוצה: בלבול בין זווית גובה לזווית עומק

עומק (A \to B) = גובה (B \to A)

למה זה קורה?

חושבים שצריך לחשב כל אחת בנפרד.

איך מתקנים?

זווית העומק מ-A ל-B שווה לזווית הגובה מ-B ל-A (זוויות מתחלפות). אפשר 'להזיז' את הזווית למשולש הנוח.

טעות נפוצה: כפל במקום חילוק כשהנעלם הוא מרחק/יתר

tan 4 0^{\circ} = \frac{30}{מרחק} \Rightarrow מרחק = \frac{30}{tan 4 0 ^{\circ}}

למה זה קורה?

כשהנעלם במכנה צריך לחלק.

איך מתקנים?

אם

\tan 40^{\circ} = 30 /

מרחק, אז מרחק

= \frac{30}{\tan } 40^{\circ}

. בדקו תמיד היכן הנעלם — במונה כופלים, במכנה מחלקים.

סיכום

מה למדנו?

זווית גובה — מביטים למעלה מקו האופק; זווית עומק — מביטים למטה מקו האופק.
שתיהן נמדדות מקו האופק האופקי.
ההפרש האנכי = ניצב מול, המרחק האופקי = ניצב ליד, קו המבט = יתר.
$עומק (A \to B) = גובה (B \to A)$ — אפשר להזיז את הזווית.
אם הצופה מודד מגובה העין — מוסיפים אותו לגובה שחושב.

נהדר! עכשיו אתם שולטים בזוויות גובה ועומק. נמשיך לפירוק צורות מורכבות למשולשים ישרי-זווית.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על זוויות גובה ועומק בבעיות התמצאות וניווט!

זווית גובה וזווית עומק

זווית גובה וזווית עומק

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: גובה מגדל מזווית גובה

מרחק אופקי 360 מ' ממגדל אייפל, זווית גובה 42∘42^{\circ}42∘. מצאו את הגובה.

דוגמה 2: מרחק אווירי בנחיתה (זווית ירידה)

מטוס בגובה 1.8 ק״מ, זווית ירידה 7∘7^{\circ}7∘. מצאו את המרחק האווירי עד המסלול.

דוגמה 3: זווית עומק → מרחק אופקי

מראש מגדל בגובה 30 מ' רואים מכונית בזווית עומק 40∘40^{\circ}40∘. מצאו את המרחק האופקי.

דוגמה 4: מציאת זווית (חילוץ בכבאית)

סולם 37 מ' מותקן בגובה 4 מ'. באיזו זווית יגיע הקצה לגובה 10 מ'?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מדידת הזווית מהקו האנכי

טעות נפוצה: שכחת גובה הצופה

טעות נפוצה: בלבול בין זווית גובה לזווית עומק

טעות נפוצה: כפל במקום חילוק כשהנעלם הוא מרחק/יתר

סיכום

תרגול נוסף

מרחק אופקי 360 מ' ממגדל אייפל, זווית גובה $42^{\circ}$ . מצאו את הגובה.

מטוס בגובה 1.8 ק״מ, זווית ירידה $7^{\circ}$ . מצאו את המרחק האווירי עד המסלול.

מראש מגדל בגובה 30 מ' רואים מכונית בזווית עומק $40^{\circ}$ . מצאו את המרחק האופקי.