פתרון משולש ישר-זווית

מבוא

מטרות השיעור

לזהות את הפונקציה הטריגונומטרית המתאימה לפי הנתונים והנעלם
לחשב צלע חסרה: ניצב או יתר, מתוך זווית וצלע נתונה
לחשב זווית חדה מתוך שתי צלעות
לחשב היקף ושטח של משולש ישר-זווית
לשלב את משפט פיתגורס כשנתונות שתי צלעות

הרעיון המרכזי

איך בוחרים פונקציה?

מסמנים את הזווית החדה הנתונה ובודקים אילו צלעות מעורבות (הנתונה והנעלמת):

ניצב מול + יתר ← סינוס: $sin α = \frac{ניצב מול}{יתר}$
ניצב ליד + יתר ← קוסינוס: $cos α = \frac{ניצב ליד}{יתר}$
שני ניצבים ← טנגנס: $tan α = \frac{ניצב מול}{ניצב ליד}$

שתי צלעות נתונות ← אפשר גם משפט פיתגורס: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ (c הוא היתר).

שטח משולש ישר-זווית: $S = \frac{ניצב _{1} \cdot ניצב _{2}}{2}$ . היקף: סכום שלוש הצלעות.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: צלע מתוך יתר וזווית

היתר 10 ס״מ, זווית חדה $30^{\circ}$ . מצאו את הניצב שמולה.

ניצב מול = 10 \cdot sin 3 0^{\circ} = 10 \cdot 0.5 = 5

שלב 1 — מזהים

נתון: יתר וזווית. נעלם: ניצב מול → סינוס.

תשובה מספרית

במשולש ישר-זווית היתר אורכו 10 ס"מ והזווית החדה היא $30^{\circ}$ . חשבו את אורך הניצב שמול הזווית (בס"מ).

סטייה מותרת: ±0.05

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: צלע במצב אורייני (טפסת קיר)

קיר אנכי בגובה 5 מ', מוט אלכסוני יוצר עם הקיר זווית $40^{\circ}$ . מצאו את אורך המוט.

מוט = \frac{5}{cos 4 0 ^{\circ}} \approx 6.53

שלב 1 — מזהים

הזווית

40^{\circ}

בקצה העליון, בין הקיר (ניצב ליד

= 5)

לבין המוט (יתר).

תשובה מספרית

לחיזוק טפסת קיר בגובה 5 מ' מניחים מוט אלכסוני כך שבינו לבין הקיר נוצרת זווית של $40^{\circ}$ . הקיר אנכי, והמוט נשען מקצהו העליון של הקיר אל הקרקע, כך שהקיר הוא הניצב שליד הזווית $40^{\circ}$ . חשבו את אורך המוט (היתר) במטרים, בעיגול לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.05

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: זווית משתי צלעות + שטח

ניצבים 5 ס״מ ו-12 ס״מ. מצאו את הזווית שמול ה-5 ואת השטח.

tan α = \frac{5}{12}, α \approx 2 3^{\circ}, S = \frac{5 \cdot 12}{2} = 30

שלב 1 — בוחרים פונקציה

שני ניצבים → טנגנס:

\tan \alpha = \frac{5}{12} = 0.4167

תשובה מספרית

במשולש ישר-זווית שני הניצבים אורכם 5 ס"מ ו-12 ס"מ. חשבו את הזווית החדה שמול הניצב בן 5 ס"מ (במעלות), בעיגול למעלה שלמה.

סטייה מותרת: ±0.6

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: פיתגורס + היקף (מרכז שולחן ביליארד לפינה)

שולחן $292 \times 158$ ס״מ. מרחק מהמרכז לפינה.

d = 14 6^{2} + 7 9^{2} = 27557 \approx 166

שלב 1 — ניצבים

מהמרכז לפינה: מחצית כל מידה — 146 ו-79.

תשובה מספרית

שולחן ביליארד מלבני שמידותיו 292 ס"מ על 158 ס"מ. כדור מונח במרכז השולחן ונבעט אל אחת הפינות. חשבו את המרחק מהמרכז אל הפינה (בס"מ), בעיגול למספר שלם. (רמז: השתמשו במחצית של כל מידה ובמשפט פיתגורס.)

סטייה מותרת: ±1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בחירת פונקציה שגויה

שני ניצבים נתונים → $tan$ , לא $sin$ .

למה זה קורה?

תלמידים בוחרים פונקציה מההרגל בלי לבדוק אילו צלעות מעורבות.

איך מתקנים?

סמנו את הזווית, סמנו את הצלע הנתונה והנעלמת, ובחרו את הפונקציה שמחברת ביניהן (מול+יתר

=\sin

, ליד+יתר

=\cos

, שני ניצבים

=\tan )

טעות נפוצה: כפל במקום חילוק בבידוד צלע

cos 4 0^{\circ} = \frac{5}{מוט} \Rightarrow מוט = \frac{5}{cos 4 0 ^{\circ}}

למה זה קורה?

כשהנעלם במכנה, צריך לחלק — וקל לטעות ולכפול.

איך מתקנים?

אם

\cos 40^{\circ} = 5 /

מוט, אז מוט

= \frac{5}{\cos } 40^{\circ} (

חילוק). אם הנעלם במונה — כופלים.

טעות נפוצה: חישוב שטח עם היתר

$S = \frac{ניצב _{1} \cdot ניצב _{2}}{2}$ — לא עם היתר.

למה זה קורה?

תלמידים מציבים את היתר במקום אחד הניצבים.

איך מתקנים?

שטח משולש ישר-זווית = חצי ממכפלת שני הניצבים. היתר אינו גובה אל בסיס שהוא ניצב.

טעות נפוצה: שכחה שסכום הזוויות החדות הוא $90^{\circ}$

אם זווית אחת $2 3^{\circ}$ , השנייה $9 0^{\circ} - 2 3^{\circ} = 6 7^{\circ}$ .

למה זה קורה?

מחשבים זווית אחת ואז שוב טורחים על השנייה.

איך מתקנים?

במשולש ישר-זווית הזווית החדה השנייה היא פשוט

90^{\circ}

פחות הראשונה.

סיכום

מה למדנו?

בוחרים פונקציה לפי הצלעות המעורבות: מול+יתר=sin, ליד+יתר=cos, שני ניצבים=tan.
צלע במונה — כופלים; צלע במכנה — מחלקים.
שתי צלעות נתונות → אפשר משפט פיתגורס.
שטח $= \frac{ניצב _{1} \cdot ניצב _{2}}{2}$ , היקף = סכום שלוש הצלעות.
הזווית החדה השנייה = $9 0^{\circ} - α$ .

יופי! עכשיו אתם יכולים לפתור כל משולש ישר-זווית. בהמשך ניישם זאת על זוויות גובה ועומק.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על פתרון משולשים ישרי-זווית בהקשרים אמיתיים!

פתרון משולש ישר-זווית: צלעות, זוויות, היקף ושטח

פתרון משולש ישר-זווית: צלעות, זוויות, היקף ושטח

פתרון משולש ישר-זווית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: צלע מתוך יתר וזווית

היתר 10 ס״מ, זווית חדה $30^{\circ}$ . מצאו את הניצב שמולה.

דוגמה 2: צלע במצב אורייני (טפסת קיר)

קיר אנכי בגובה 5 מ', מוט אלכסוני יוצר עם הקיר זווית $40^{\circ}$ . מצאו את אורך המוט.

דוגמה 3: זווית משתי צלעות + שטח

ניצבים 5 ס״מ ו-12 ס״מ. מצאו את הזווית שמול ה-5 ואת השטח.

דוגמה 4: פיתגורס + היקף (מרכז שולחן ביליארד לפינה)

שולחן $292 \times 158$ ס״מ. מרחק מהמרכז לפינה.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בחירת פונקציה שגויה

טעות נפוצה: כפל במקום חילוק בבידוד צלע

טעות נפוצה: חישוב שטח עם היתר

טעות נפוצה: שכחה שסכום הזוויות החדות הוא $90^{\circ}$

סיכום

תרגול נוסף

פתרון משולש ישר-זווית: צלעות, זוויות, היקף ושטח

פתרון משולש ישר-זווית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: צלע מתוך יתר וזווית

היתר 10 ס״מ, זווית חדה 30∘30^{\circ}30∘. מצאו את הניצב שמולה.

דוגמה 2: צלע במצב אורייני (טפסת קיר)

קיר אנכי בגובה 5 מ', מוט אלכסוני יוצר עם הקיר זווית 40∘40^{\circ}40∘. מצאו את אורך המוט.

דוגמה 3: זווית משתי צלעות + שטח

ניצבים 5 ס״מ ו-12 ס״מ. מצאו את הזווית שמול ה-5 ואת השטח.

דוגמה 4: פיתגורס + היקף (מרכז שולחן ביליארד לפינה)

שולחן 292×158292 \times 158292×158 ס״מ. מרחק מהמרכז לפינה.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בחירת פונקציה שגויה

טעות נפוצה: כפל במקום חילוק בבידוד צלע

טעות נפוצה: חישוב שטח עם היתר

טעות נפוצה: שכחה שסכום הזוויות החדות הוא 90∘90^{\circ}90∘

סיכום

תרגול נוסף

היתר 10 ס״מ, זווית חדה $30^{\circ}$ . מצאו את הניצב שמולה.

קיר אנכי בגובה 5 מ', מוט אלכסוני יוצר עם הקיר זווית $40^{\circ}$ . מצאו את אורך המוט.

שולחן $292 \times 158$ ס״מ. מרחק מהמרכז לפינה.

טעות נפוצה: שכחה שסכום הזוויות החדות הוא $90^{\circ}$