סינוס, קוסינוס וטנגנס כיחס קבוע במשולשים דומים

מבוא

מטרות השיעור

להבין מדוע במשולשים ישרי-זווית דומים היחס בין כל שתי צלעות מתאימות הוא קבוע
לזהות במשולש ישר-זווית את היתר, את הניצב שמול הזווית ואת הניצב שליד הזווית
להגדיר את שלוש הפונקציות הטריגונומטריות: $sin α$ , $cos α$ , $tan α$
להבין שהיחסים הללו תלויים רק בזווית ולא בגודל המשולש

הרעיון המרכזי

נתבונן בכל המשולשים ישרי-הזווית שיש להם אותה זווית חדה $α$ . על פי משפט הדמיון זווית-זווית (ז.ז.) — כולם דומים זה לזה (יש להם זווית ישרה משותפת והזווית $α$ משותפת). במשולשים דומים יחס הצלעות המתאימות שווה, ולכן היחס בין כל שתי צלעות נקבע רק על ידי הזווית $α$ — לא על ידי גודל המשולש. זה בדיוק מה שמאפשר להגדיר פונקציה.

שמות הצלעות ושלוש הפונקציות

במשולש ישר-זווית עם זווית חדה $α$ :

היתר — הצלע הארוכה ביותר, מול הזווית הישרה.
הניצב שמול הזווית $α$ — הניצב שאינו נוגע בקודקוד הזווית.
הניצב שליד הזווית $α$ — הניצב הצמוד לזווית (לא היתר).

ההגדרות:

sin α = \frac{ניצב מול}{יתר}

cos α = \frac{ניצב ליד}{יתר}

tan α = \frac{ניצב מול}{ניצב ליד}

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: משולש 3-4-5

במשולש ישר-זווית הניצב מול $\alpha$ הוא 3, הניצב לידה 4, היתר 5. חשבו את שלוש הפונקציות.

sin α = \frac{3}{5} = 0.6, cos α = \frac{4}{5} = 0.8, tan α = \frac{3}{4} = 0.75

שלב 1 — זיהוי הצלעות

ניצב מול

\alpha = 3

, ניצב ליד

\alpha = 4

, יתר

= 5

תשובה מספרית

במשולש ישר-זווית הניצב שמול הזווית $\alpha$ הוא 3 ס"מ, הניצב שלידה 4 ס"מ, והיתר 5 ס"מ. חשבו את $\sin \alpha ($ כעשרוני).

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

במשולש ישר-זווית הניצב שמול הזווית $\alpha$ הוא 3 ס"מ והניצב שלידה 4 ס"מ. חשבו את $\tan \alpha ($ כעשרוני).

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: היחס קבוע גם במשולש גדול יותר

משולש דומה עם ניצבים 6 ו-8 ויתר 10 (פי 2 מהקודם). חשבו את $\sin \alpha$ ו- $\cos \alpha$ .

sin α = \frac{6}{10} = 0.6, cos α = \frac{8}{10} = 0.8

שלב 1 — זיהוי

ניצב מול

\alpha = 6

, ניצב ליד

\alpha = 8

, יתר

= 10

תשובה מספרית

בעיצוב שלט פרסומת שורטט משולש ישר-זווית שניצביו 6 ס"מ ו-8 ס"מ והיתר 10 ס"מ. הזווית $\alpha$ נמצאת מול הניצב בן 6 ס"מ. חשבו את $\cos \alpha ($ כעשרוני).

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהנדס מגדיל שרטוט של גג משולש ישר-זווית פי 3 (כל הצלעות גדלות פי 3). מה קורה לערך $\sin \alpha$ של אותה זווית חדה $\alpha$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: זיהוי הצלעות ביחס לזווית

במשולש ישר-זווית ABC, הזווית הישרה ב-C. מהם הצלעות ביחס לזווית A?

sin A = \frac{BC}{A B}, cos A = \frac{A C}{A B}, tan A = \frac{BC}{A C}

שלב 1 — היתר

היתר מול הזווית הישרה C, כלומר AB.

דוגמה 4: שחזור צלע מתוך יחס נתון

ידוע ש- $\sin \alpha = 0.6$ והיתר 15 ס״מ. חשבו את הניצב שמול $\alpha$ .

ניצב מול = sin α \cdot יתר = 0.6 \cdot 15 = 9

שלב 1 — ההגדרה

\sin \alpha =

ניצב מול / יתר.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בלבול בין הניצב שמול לזה שליד הזווית

ביחס לזווית A: ניצב מול A הוא BC. ביחס לזווית B (החדה השנייה): ניצב מול B הוא AC.

למה זה קורה?

תלמידים מזהים את הצלעות לפי מיקומן בסרטוט (למעלה/למטה) במקום לפי הזווית הנדונה.

איך מתקנים?

הניצב שמול הזווית הוא תמיד זה שאינו נוגע בקודקוד הזווית. החליפו זווית — והצלעות 'מול' ו'ליד' מתחלפות.

טעות נפוצה: חושבים שהיחס משתנה כשמגדילים את המשולש

$\frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0.6$ — אותו ערך לשני המשולשים הדומים.

למה זה קורה?

נדמה שאם הצלעות גדלות, גם הסינוס גדל.

איך מתקנים?

במשולשים דומים מונה ומכנה גדלים באותו יחס, ולכן הסינוס/קוסינוס/טנגנס נשארים קבועים. הם תלויים רק בזווית.

טעות נפוצה: החלפה בין סינוס לקוסינוס

sin α = \frac{ניצב מול}{יתר} \neq = cos α = \frac{ניצב ליד}{יתר}

למה זה קורה?

שתי הפונקציות מחלקות ביתר, וקל להתבלבל איזה ניצב במונה.

איך מתקנים?

ב-

\sin

המונה הוא הניצב שמול (Same —

\frac{Sin}{mol})

, וב-

\cos

המונה הוא הניצב שליד (Close —

\frac{Cos}{karov})

טעות נפוצה: מכניסים את היתר לטנגנס

$tan α = \frac{ניצב מול}{ניצב ליד}$ — בלי יתר!

למה זה קורה?

תלמידים 'גוררים' את היתר לכל הפונקציות.

איך מתקנים?

הטנגנס הוא היחס בין שני הניצבים בלבד — היתר אינו מופיע בו כלל.

סיכום

מה למדנו?

כל המשולשים ישרי-הזווית עם אותה זווית חדה $α$ דומים (ז.ז.), ולכן היחסים בין צלעותיהם קבועים.
שלוש ההגדרות:
- $sin α = \frac{ניצב מול}{יתר}$
- $cos α = \frac{ניצב ליד}{יתר}$
- $tan α = \frac{ניצב מול}{ניצב ליד}$
היחסים תלויים רק בזווית ולא בגודל המשולש — זו בדיוק הסיבה שהם מגדירים פונקציה.

מצוין! עכשיו אתם מוכנים לחשב ערכים של הפונקציות בעזרת מחשבון.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על זיהוי הצלעות וחישוב היחסים הטריגונומטריים!

סינוס, קוסינוס וטנגנס כיחס קבוע במשולשים דומים

סינוס, קוסינוס וטנגנס כיחס קבוע במשולשים דומים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: משולש 3-4-5

במשולש ישר-זווית הניצב מול α\alphaα הוא 3, הניצב לידה 4, היתר 5. חשבו את שלוש הפונקציות.

דוגמה 2: היחס קבוע גם במשולש גדול יותר

משולש דומה עם ניצבים 6 ו-8 ויתר 10 (פי 2 מהקודם). חשבו את sin⁡α\sin \alphasinα ו-cos⁡α\cos \alphacosα.

דוגמה 3: זיהוי הצלעות ביחס לזווית

במשולש ישר-זווית ABC, הזווית הישרה ב-C. מהם הצלעות ביחס לזווית A?

דוגמה 4: שחזור צלע מתוך יחס נתון

ידוע ש-sin⁡α=0.6\sin \alpha = 0.6sinα=0.6 והיתר 15 ס״מ. חשבו את הניצב שמול α\alphaα.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בלבול בין הניצב שמול לזה שליד הזווית

טעות נפוצה: חושבים שהיחס משתנה כשמגדילים את המשולש

טעות נפוצה: החלפה בין סינוס לקוסינוס

טעות נפוצה: מכניסים את היתר לטנגנס

סיכום

תרגול נוסף

במשולש ישר-זווית הניצב מול $\alpha$ הוא 3, הניצב לידה 4, היתר 5. חשבו את שלוש הפונקציות.

משולש דומה עם ניצבים 6 ו-8 ויתר 10 (פי 2 מהקודם). חשבו את $\sin \alpha$ ו- $\cos \alpha$ .

ידוע ש- $\sin \alpha = 0.6$ והיתר 15 ס״מ. חשבו את הניצב שמול $\alpha$ .