זיהוי מאורעות תלויים ובלתי-תלויים
מבוא
ביחידה זו נמשיך את פרק ההסתברות מכיתה י'. לפני שנלמד לחשב הסתברויות של התרחשויות מורכבות, עלינו לדעת לזהות את הקשר בין המאורעות. זהו הצעד הראשון והחשוב ביותר: האם תוצאת שלב אחד משנה את הסיכויים של השלב הבא?
מטרות השיעור
- להבחין בין מאורעות תלויים לבלתי-תלויים באופן אינטואיטיבי
- לזהות מאורעות בהתרחשות דו-שלבית ותלת-שלבית
- להבין את ההבדל המכריע בין הוצאה עם החזרה (בלתי-תלוי) לללא החזרה (תלוי)
- לא להתבלבל בין מאורעות זרים למאורעות בלתי-תלויים
הרעיון המרכזי
תלות ואי-תלות — הגדרה אינטואיטיבית
שני מאורעות הם בלתי-תלויים אם תוצאת האחד אינה משנה את הסתברות השני.
שני מאורעות הם תלויים אם תוצאת האחד כן משנה את הסתברות השני.
השאלה המנחה: "האם מה שקרה בשלב הראשון משנה את הסיכוי של מה שיקרה בשלב הבא?"
- אם לא משנה ⇐ בלתי-תלויים
- אם כן משנה ⇐ תלויים
בכיתה י"א אנו קובעים זאת באופן אינטואיטיבי בלבד, לפי ההקשר, ללא הגדרה פורמלית מתמטית.
הכלל הזהב: עם החזרה / ללא החזרה
- הוצאה עם החזרה (מחזירים את מה שהוצאנו): הרכב המקור נשאר קבוע ⇐ המאורעות בלתי-תלויים.
- הוצאה ללא החזרה (לא מחזירים): הרכב המקור משתנה ⇐ המאורעות תלויים.
זה תקף לכדורים בכד, לקלפים בחפיסה, לבחירת נציגים מקבוצה ולגירוד משבצות בכרטיס.
דוגמאות מפורטות
דוגמה 1: הטלת מטבע פעמיים
מטילים מטבע הוגן פעמיים. האם 'עץ בהטלה הראשונה' ו'עץ בהטלה השנייה' תלויים?
ההסתברות לעץ בכל הטלה היא , ללא תלות בהטלות קודמות.
שלב 1 — מזהים את השלבים
מטילים מטבע הוגן פעמיים. מהו הקשר בין המאורע 'בהטלה הראשונה יצא עץ' למאורע 'בהטלה השנייה יצא עץ'?
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
דוגמה 2: כדורים בכד — עם החזרה לעומת ללא החזרה
בכד 5 כדורים ירוקים ו-3 לבנים. מוציאים שני כדורים. השוו: עם החזרה מול ללא החזרה.
תמיד.
ללא החזרה ההסתברות משתנה ( או ) — לכן תלויה.
שלב 1 — עם החזרה
מחפיסת 52 קלפים שולפים קלף, שומרים אותו בצד (ללא החזרה), ואז שולפים קלף נוסף. נכון או לא נכון: המאורע 'הקלף הראשון מלך' והמאורע 'הקלף השני מלך' הם מאורעות תלויים.
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
דוגמה 3: שלושה מקצועות בבחינה (תלת-שלבית, בלתי-תלויה)
תלמיד ניגש לבחינות במתמטיקה, אנגלית ולשון. ההצלחה בכל מקצוע נקבעת בנפרד. מהו הקשר?
כששלושה מאורעות בלתי-תלויים, נוכל בהמשך לכפול את הסתברויותיהם כדי לחשב את הסתברות החיתוך.
שלב 1 — שלושה שלבים
מטוס מטיל שלוש פצצות על גשר, וכל פצצה מכוונת ומשוחררת בנפרד מן השאר. נכון או לא נכון: שלושת המאורעות 'הפצצה הראשונה פוגעת', 'השנייה פוגעת', 'השלישית פוגעת' הם בלתי-תלויים.
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
דוגמה 4: בחירת נציגים מקבוצה (תלויה)
מ-6 מועמדים בנות, 2 בנים) בוחרים נציג ראשון ואז נציג שני. האם 'הראשון בת' ו'השני בת' תלויים?
, אך — ההסתברות תלויה בתוצאה הראשונה.
שלב 1 — ללא החזרה
ועדה בכיתה מורכבת מ-6 תלמידים: 4 בנות ו-2 בנים. בוחרים באקראי נציג ראשון, ואז נציג שני מבין הנותרים (אדם לא נבחר פעמיים). מהו הקשר בין 'הנציג הראשון בת' ל'הנציג השני בת'?
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
טעויות נפוצות
טעות נפוצה: חושבים שכל מאורעות עוקבים הם תלויים
שתי הטלות מטבע הן עוקבות אבל בלתי-תלויות: תמיד.
למה זה קורה?
איך מתקנים?
טעות נפוצה: בלבול בין עם החזרה לללא החזרה
כד עם 8 כדורים: עם החזרה ⇐ בלתי-תלוי. ללא החזרה ⇐ תלוי.
למה זה קורה?
איך מתקנים?
טעות נפוצה: חושבים שמאורעות זרים = מאורעות בלתי-תלויים
'עץ' ו'פלי' באותה הטלה הם זרים (לא יחד) אך הם כן משפיעים זה על זה — לא בלתי-תלויים.
למה זה קורה?
איך מתקנים?
טעות נפוצה: מניחים שאחוזים גלובליים יוצרים תלות
בחירת שני נבחנים שונים שניגשים בנפרד — כל בחירה בלתי-תלויה.
למה זה קורה?
איך מתקנים?
סיכום
מה למדנו?
- בלתי-תלויים: תוצאת האחד אינה משנה את הסתברות השני.
- תלויים: תוצאת האחד כן משנה את הסתברות השני.
- עם החזרה ⇐ בלתי-תלוי. ללא החזרה ⇐ תלוי.
- זרים ≠ בלתי-תלויים — אלה מושגים שונים.
- בכיתה י"א קובעים תלות אינטואיטיבית, לפי ההקשר, ללא הגדרה פורמלית.
הצעד הבא: ללמוד לחשב את הסתברות החיתוך — נתחיל ממאורעות בלתי-תלויים.
תרגול נוסף
עברו לתרגול כדי להתאמן על זיהוי מאורעות תלויים ובלתי-תלויים בהקשרים מציאותיים.