הסתברות חיתוך שני מאורעות תלויים

מבוא

במאורעות בלתי-תלויים פשוט כפלנו את ההסתברויות. אבל מה קורה כשתוצאת השלב הראשון כן משנה את השלב השני — למשל בהוצאה ללא החזרה? נלמד לעדכן את ההסתברות השנייה.

מטרות השיעור

לחשב הסתברות חיתוך של שני מאורעות תלויים (עד שניים ביחידה זו)
לעדכן את ההסתברות של השלב השני בהינתן תוצאת הראשון
לעדכן נכון גם את המונה וגם את המכנה בהוצאה ללא החזרה
להבחין בין כלל הכפל לתלויים לבין כלל הכפל לבלתי-תלויים

הרעיון המרכזי

כלל הכפל למאורעות תלויים

לשני מאורעות תלויים A ו-B:

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)

כאן $P (B ∣ A)$ היא ההסתברות ש-B יקרה בהינתן ש-A כבר קרה — ההסתברות המעודכנת.

ביחידה זו נחשב חיתוך של עד שני מאורעות תלויים.

עדכון בהוצאה ללא החזרה

אחרי הוצאת פריט ללא החזרה, מעדכנים שניים:

המכנה (סך הכל) יורד ב-1.
המונה (מספר ההצלחות הרצויות) יורד ב-1 — אם הפריט שהוצא היה מהסוג הרצוי.

דוגמה: כד עם 3 לבנים מתוך 8. אחרי הוצאת לבן: $P = \frac{2}{7}$ (לבנים: 3→2, סך הכל: 8→7).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שני כדורים לבנים מכד

כד: 5 ירוקים, 3 לבנים. מוציאים שניים ללא החזרה. מה הסיכוי לשני לבנים?

P (שני לבנים) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}

שלב 1 — מזהים תלות

ללא החזרה ⇐ המאורעות תלויים.

בדיקה מהירה

בכד 5 כדורים ירוקים ו-3 לבנים. מוציאים שני כדורים בזה אחר זה ללא החזרה. הכדור הראשון שיצא היה לבן. מהי ההסתברות שגם הכדור השני לבן?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בכד 5 ירוקים ו-3 לבנים, מוציאים שניים ללא החזרה. מהי ההסתברות ששני הכדורים לבנים? הזינו כשבר עשרוני מעוגל לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.002

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: בחירת שתי בנות לוועדה

6 מועמדים: 4 בנות, 2 בנים. בוחרים שני נציגים שונים. מה הסיכוי לשתי בנות?

P (שתי בנות) = \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{5} = 0.4

שלב 1 — תלות

נציג שנבחר אינו חוזר ⇐ תלויים.

תשובה מספרית

מ-6 מועמדים — 4 בנות ו-2 בנים — בוחרים באקראי שני נציגים שונים בזה אחר זה. מהי ההסתברות ששני הנציגים בנות? הזינו כשבר עשרוני.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: זכייה בכרטיס גירוד

כרטיס: 8 משבצות, 2 בהן תמונה. מגרדים שתיים. זוכים אם בשתיהן תמונה.

P (זכייה) = \frac{2}{8} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{28}

שלב 1 — תלות

ללא גירוד אותה משבצת ⇐ תלויים.

תשובה מספרית

בהגרלת פורים כרטיס ובו 11 חלונות גירוד ובהם המספרים 1 עד 11. משתתף מגרד חלון אחד ואז חלון נוסף (שונה). מהי ההסתברות ששני המספרים שהתגלו זוגיים? הזינו כשבר עשרוני מעוגל לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.002

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שני מלכים מחפיסה

חפיסת 52 קלפים $(4$ מלכים). שולפים שניים ללא החזרה. מה הסיכוי לשני מלכים?

P (שני מלכים) = \frac{4}{52} \cdot \frac{3}{51} = \frac{1}{221}

שלב 1 — תלות

ללא החזרה ⇐ תלויים.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משתמשים באותה הסתברות בשני השלבים

טעות: $\frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8}$ . נכון: $\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7}$ .

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים שהרכב המקור השתנה אחרי השלב הראשון.

איך מתקנים?

עדכנו את ההסתברות השנייה: אחרי הוצאת לבן מתוך

\frac{3}{8}

, הסיכוי הבא הוא

\frac{2}{7}

ולא

\frac{3}{8}

טעות נפוצה: מעדכנים רק את המכנה

אחרי לבן: לבנים $3 \to 2$ וסך הכל $8 \to 7$ — שניהם יורדים.

למה זה קורה?

זוכרים שסך הכל ירד, אבל שוכחים שגם מספר ההצלחות ירד.

איך מתקנים?

אם הוצאנו פריט מהסוג הרצוי — גם המונה יורד ב-1, לא רק המכנה.

טעות נפוצה: מחילים את כלל הבלתי-תלויים על תלויים

ללא החזרה ⇐ חובה לעדכן את הגורם השני.

למה זה קורה?

ממשיכים אוטומטית לכפול את אותן הסתברויות מקוריות.

איך מתקנים?

במאורעות תלויים הגורם השני הוא ההסתברות המעודכנת P(B|A), ולא P(B) המקורית.

טעות נפוצה: מבלבלים בין 'עם החזרה' ל'ללא החזרה' באותה בעיה

שתי הוצאות לבן: עם החזרה $\frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8}$ ; ללא החזרה $\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7}$ .

למה זה קורה?

לא קוראים בעיון אם מחזירים את הפריט.

איך מתקנים?

עם החזרה ⇐ אותה הסתברות (בלתי-תלוי). ללא החזרה ⇐ הסתברות מעודכנת (תלוי).

סיכום

מה למדנו?

כלל הכפל לתלויים: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ .
מעדכנים את ההסתברות השנייה בהינתן תוצאת הראשונה.
בהוצאה ללא החזרה: גם המונה וגם המכנה יורדים ב-1.
ביחידה זו: עד שני מאורעות תלויים.

הצעד הבא: לאחד מאורעות (איחוד), לעבוד עם עץ הסתברות וטבלה, ולפתור בעיות 'לפחות', 'לכל היותר' ו'בדיוק'.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב הסתברות חיתוך של שני מאורעות תלויים.

הסתברות חיתוך שני מאורעות תלויים

הסתברות חיתוך שני מאורעות תלויים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שני כדורים לבנים מכד

כד: 5 ירוקים, 3 לבנים. מוציאים שניים ללא החזרה. מה הסיכוי לשני לבנים?

דוגמה 2: בחירת שתי בנות לוועדה

6 מועמדים: 4 בנות, 2 בנים. בוחרים שני נציגים שונים. מה הסיכוי לשתי בנות?

דוגמה 3: זכייה בכרטיס גירוד

כרטיס: 8 משבצות, 2 בהן תמונה. מגרדים שתיים. זוכים אם בשתיהן תמונה.

דוגמה 4: שני מלכים מחפיסה

חפיסת 52 קלפים (4(4(4 מלכים). שולפים שניים ללא החזרה. מה הסיכוי לשני מלכים?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משתמשים באותה הסתברות בשני השלבים

טעות נפוצה: מעדכנים רק את המכנה

טעות נפוצה: מחילים את כלל הבלתי-תלויים על תלויים

טעות נפוצה: מבלבלים בין 'עם החזרה' ל'ללא החזרה' באותה בעיה

סיכום

תרגול נוסף

חפיסת 52 קלפים $(4$ מלכים). שולפים שניים ללא החזרה. מה הסיכוי לשני מלכים?