הסתברות חיתוך מאורעות בלתי-תלויים

מבוא

לאחר שלמדנו לזהות מאורעות בלתי-תלויים, נלמד עכשיו לחשב את ההסתברות שכולם יקרו יחד — את הסתברות החיתוך. הכלל פשוט ועוצמתי: מכפילים.

מטרות השיעור

ליישם את כלל הכפל למאורעות בלתי-תלויים
לחשב חיתוך של שניים או שלושה מאורעות בלתי-תלויים (עד שלושה!)
לשלב את המאורע המשלים בביטויים כמו "A קורה אך B לא"
להבין מדוע כופלים ולא מחברים

הרעיון המרכזי

כלל הכפל למאורעות בלתי-תלויים

אם A ו-B בלתי-תלויים:

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

ולשלושה מאורעות בלתי-תלויים A, B, C:

P (A \cap B \cap C) = P (A) \cdot P (B) \cdot P (C)

זכרו: מאורע משלים — $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ . שימושי כש"A קורה אבל B לא".

מגבלה: ביחידה זו נחשב חיתוך של עד שלושה מאורעות בלתי-תלויים.

למה כופלים ולא מחברים?

כל הסתברות היא מספר בין 0 ל-1. כשמכפילים שני מספרים כאלה התוצאה קטנה משניהם — וזה הגיוני: הסיכוי ששני דברים יקרו יחד קטן מהסיכוי שכל אחד יקרה לבדו. אם תחברו, אתם עלולים לקבל מספר גדול מ-1, וזה בלתי אפשרי בהסתברות.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חיתוך שני מאורעות

P(גשם בחנוכה) $=0.3, P($ גשם בפסח) $=0.6$ , בלתי-תלויים. מה הסיכוי לגשם בשני הערבים?

P (חנוכה \cap פסח) = 0.3 \cdot 0.6 = 0.18

שלב 1 — מזהים אי-תלות

ירידת הגשם בכל ערב בלתי-תלויה בשני.

בדיקה מהירה

ההסתברות שיֵרד גשם בערב חנוכה היא 0.3, ובערב פסח 0.6. ירידת גשם בכל ערב בלתי-תלויה בשני. מהי ההסתברות שיֵרד גשם גם בערב חנוכה וגם בערב פסח?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: שילוב המאורע המשלים

P(גשם בחנוכה) $=0.3, P($ גשם בפורים) $=0.4$ . מה הסיכוי לגשם בחנוכה אך לא בפורים?

P (חנוכה \cap \overline{פורים}) = 0.3 \cdot (1 - 0.4) = 0.3 \cdot 0.6 = 0.18

שלב 1 — מזהים מה נדרש

גשם בחנוכה, וגם 'אין גשם' בפורים.

תשובה מספרית

ההסתברות שיֵרד גשם בערב חנוכה היא 0.3 ובערב פורים 0.4 (בלתי-תלויים). מהי ההסתברות שיֵרד גשם בערב חנוכה אך לא יֵרד גשם בערב פורים? הזינו כשבר עשרוני.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: חיתוך שלושה מאורעות

סיכויי הצלחה: מתמטיקה 0.8, אנגלית 0.6, לשון 0.7 (בלתי-תלויים). הסיכוי להצליח בכל השלושה?

P = 0.8 \cdot 0.6 \cdot 0.7 = 0.336

שלב 1 — שלושה מאורעות בלתי-תלויים

הצלחה בכל מקצוע נקבעת בנפרד.

תשובה מספרית

סיכויי תלמיד להצליח במתמטיקה הם 0.8, באנגלית 0.6, ובלשון 0.7. ההצלחות בלתי-תלויות. מהי ההסתברות שיצליח בשלושת המקצועות? הזינו כשבר עשרוני.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שלושה מאורעות עם משלים

P(גשם): חנוכה 0.3, פורים 0.4, פסח 0.6. מה הסיכוי לגשם בפורים בלבד (לא בחנוכה, לא בפסח)?

P = 0.4 \cdot (1 - 0.3) \cdot (1 - 0.6) = 0.4 \cdot 0.7 \cdot 0.4 = 0.112

שלב 1 — מפרקים לשלושה תנאים

גשם בפורים, אין גשם בחנוכה, אין גשם בפסח.

תשובה מספרית

ההסתברויות לגשם הן: חנוכה 0.3, פורים 0.4, פסח 0.6 (שלושתם בלתי-תלויים). מהי ההסתברות שיֵרד גשם בערב פורים בלבד — כלומר גשם בפורים, אך לא בחנוכה ולא בפסח? הזינו כשבר עשרוני.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחברים במקום לכפול

טעות: 0.5 + 0.5 + 0.5 = 1.5 (בלתי אפשרי!)

נכון: $0.5 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.125$

למה זה קורה?

תלמידים מבלבלים בין כלל הכפל (חיתוך) לכלל החיבור (איחוד זרים).

איך מתקנים?

לחיתוך מאורעות בלתי-תלויים מכפילים:

P(A∩B)=P(A) \cdot P(B)

. חיבור שמור לאיחוד מאורעות זרים.

טעות נפוצה: שוכחים את המאורע המשלים

'גשם בחנוכה אך לא בפורים': $0.3 \cdot (1 - 0.4) = 0.18$ , ולא $0.3 \cdot 0.4$ .

למה זה קורה?

כש'B לא קורה', תלמידים מציבים את P(B) במקום

1-P(B)

איך מתקנים?

ל'A קורה ו-B לא', כפלו את P(A) ב-

(1-P(B))

טעות נפוצה: כופלים גם כשהמאורעות תלויים

הוצאה ללא החזרה מכד ⇐ המאורעות תלויים ⇐ אסור פשוט לכפול את אותן הסתברויות.

למה זה קורה?

מיישמים את כלל הכפל הפשוט בלי לבדוק תחילה אי-תלות.

איך מתקנים?

כלל הכפל הפשוט

P(A) \cdot P(B)

תקף רק כשהמאורעות בלתי-תלויים. במאורעות תלויים יש לעדכן את ההסתברות השנייה.

טעות נפוצה: חושבים שהתוצאה צריכה לגדול

$0.8 \cdot 0.6 \cdot 0.7 = 0.336$ — קטן מכל אחד מהגורמים.

למה זה קורה?

מצפים שצירוף של כמה מאורעות ייתן הסתברות גבוהה.

איך מתקנים?

מכפלת מספרים בין 0 ל-1 תמיד קטנה משניהם. ככל שמוסיפים תנאים, הסיכוי שכולם יקרו קטן.

סיכום

מה למדנו?

כלל הכפל: למאורעות בלתי-תלויים $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ .
לשלושה: $P (A \cap B \cap C) = P (A) \cdot P (B) \cdot P (C)$ (עד שלושה ביחידה זו).
משלים: "A קורה ו-B לא" ⇐ $P (A) \cdot (1 - P (B))$ .
כופלים, לא מחברים — והתוצאה תמיד בין 0 ל-1.

הצעד הבא: מה קורה כשהמאורעות תלויים? נלמד לעדכן את ההסתברות השנייה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב הסתברות חיתוך של מאורעות בלתי-תלויים.

הסתברות חיתוך מאורעות בלתי-תלויים

הסתברות חיתוך מאורעות בלתי-תלויים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חיתוך שני מאורעות

P(גשם בחנוכה)=0.3,P(=0.3, P(=0.3,P(גשם בפסח)=0.6=0.6=0.6, בלתי-תלויים. מה הסיכוי לגשם בשני הערבים?

דוגמה 2: שילוב המאורע המשלים

P(גשם בחנוכה)=0.3,P(=0.3, P(=0.3,P(גשם בפורים)=0.4=0.4=0.4. מה הסיכוי לגשם בחנוכה אך לא בפורים?

דוגמה 3: חיתוך שלושה מאורעות

סיכויי הצלחה: מתמטיקה 0.8, אנגלית 0.6, לשון 0.7 (בלתי-תלויים). הסיכוי להצליח בכל השלושה?

דוגמה 4: שלושה מאורעות עם משלים

P(גשם): חנוכה 0.3, פורים 0.4, פסח 0.6. מה הסיכוי לגשם בפורים בלבד (לא בחנוכה, לא בפסח)?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחברים במקום לכפול

טעות נפוצה: שוכחים את המאורע המשלים

טעות נפוצה: כופלים גם כשהמאורעות תלויים

טעות נפוצה: חושבים שהתוצאה צריכה לגדול

סיכום

תרגול נוסף

P(גשם בחנוכה) $=0.3, P($ גשם בפסח) $=0.6$ , בלתי-תלויים. מה הסיכוי לגשם בשני הערבים?

P(גשם בחנוכה) $=0.3, P($ גשם בפורים) $=0.4$ . מה הסיכוי לגשם בחנוכה אך לא בפורים?