הסתברות מורכבת בעזרת עץ וטבלה

מבוא

עכשיו נחבר את כל מה שלמדנו. בבעיות מציאותיות נדרש לעיתים לחשב הסתברות של מאורע מורכב — צירוף של חיתוך (וגם, לאורך מסלול) ואיחוד (או, בין מסלולים שונים). עץ ההסתברות והטבלה הם הכלים שיעזרו לנו לארגן את החישוב.

מטרות השיעור

לבנות עץ הסתברות ולקרוא ממנו מסלולים
לכפול הסתברויות לאורך מסלול (חיתוך) ולחבר הסתברויות של מסלולים זרים (איחוד)
לפתור בעיות 'לפחות', 'לכל היותר' ו**'בדיוק'**
להשתמש במאורע המשלים כדי לקצר חישובים

הרעיון המרכזי

שני הכללים של עץ ההסתברות

לאורך מסלול (וגם): מכפילים את ההסתברויות של הענפים — זהו חיתוך.
בין מסלולים שונים (או): מחברים את הסתברויות המסלולים הזרים — זהו איחוד.

הסכום של כל ההסתברויות בכל הענפים היוצאים מאותה נקודה שווה תמיד 1.

המילים הקריטיות: לפחות / לכל היותר / בדיוק

בדיוק k: רק המקרה של k הצלחות — לא פחות ולא יותר.
לפחות k: k הצלחות או יותר. עבור 'לפחות אחד' נוח להשתמש במשלים: $P (לפחות אחד) = 1 - P (אף אחד)$ .
לכל היותר k: k הצלחות או פחות. עבור שלושה מאורעות: $P (לכל היותר שניים) = 1 - P (שלושה)$ .

טיפ זהב: כשרואים 'לפחות' או 'לכל היותר', בדקו אם המשלים מקצר את החישוב.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: 'לפחות אחד' דרך המשלים

הצלחה: מתמטיקה 0.8, אנגלית 0.6, לשון 0.7. מה הסיכוי להצליח לפחות באחד?

P (לפחות אחד) = 1 - (0.2 \cdot 0.4 \cdot 0.3) = 1 - 0.024 = 0.976

שלב 1 — חושבים על המשלים

ההיפך של 'לפחות אחד' הוא 'אף אחד'.

תשובה מספרית

סיכויי תלמיד להצליח: מתמטיקה 0.8, אנגלית 0.6, לשון 0.7 (בלתי-תלויים). מהי ההסתברות שיצליח לפחות במקצוע אחד? הזינו כשבר עשרוני.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: 'בדיוק שניים' — סכום מסלולים

אותם נתונים. מה הסיכוי להצליח בדיוק בשני מקצועות?

P (בדיוק שניים) = 0.144 + 0.224 + 0.084 = 0.452

שלב 1 — שלושה מסלולים זרים

אילו שניים מצליחים: (מ,א), (מ,ל), (א,ל).

תשובה מספרית

סיכויי הצלחה: מתמטיקה 0.8, אנגלית 0.6, לשון 0.7 (בלתי-תלויים). מהי ההסתברות שהתלמיד יצליח בדיוק בשני מקצועות? הזינו כשבר עשרוני.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: 'לכל היותר שניים' דרך המשלים

אותם נתונים. מה הסיכוי להצליח לכל היותר בשני מקצועות?

P (לכל היותר שניים) = 1 - 0.336 = 0.664

שלב 1 — המשלים

ההיפך של 'לכל היותר שניים' הוא 'שלושה'.

תשובה מספרית

סיכויי הצלחה: מתמטיקה 0.8, אנגלית 0.6, לשון 0.7 (בלתי-תלויים). מהי ההסתברות שהתלמיד יצליח לכל היותר בשני מקצועות? הזינו כשבר עשרוני.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: עץ דו-שלבי ואיחוד מסלולים

במוסד 60% גברים, 40% נשים. 80% מהגברים ו-70% מהנשים אינם מעשנים. מה הסיכוי שעובד אקראי לא מעשן?

P (לא מעשן) = 0.6 \cdot 0.8 + 0.4 \cdot 0.7 = 0.48 + 0.28 = 0.76

שלב 1 — ענף ראשון: מין העובד

גבר 0.6, אישה 0.4.

תשובה מספרית

במוסד מסוים 60% מהעובדים גברים ו-40% נשים. 80% מהגברים ו-70% מהנשים אינם מעשנים. בוחרים עובד באקראי. מהי ההסתברות שהעובד שנבחר אינו מעשן? הזינו כשבר עשרוני.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים 'בדיוק' עם 'לפחות'

P (לפחות שניים) = P (בדיוק שניים) + P (שלושה)

למה זה קורה?

שתי המילים נשמעות דומות בהקשר של ספירה.

איך מתקנים?

'בדיוק שניים' = רק שתי הצלחות. 'לפחות שניים' = שתיים או שלוש. הם שונים.

טעות נפוצה: שוכחים את כל המסלולים ב'בדיוק שניים'

שלושה מסלולים: (מ,א,לא-ל), (מ,לא-א,ל), (לא-מ,א,ל).

למה זה קורה?

מחשבים רק מסלול אחד מתוך שלושה.

איך מתקנים?

ל'בדיוק שניים' מתוך שלושה יש שלושה צירופים שונים. חברו את כולם.

טעות נפוצה: מחשבים 'לפחות אחד' בדרך הארוכה

$1 - (0.2 \cdot 0.4 \cdot 0.3) = 0.976$ — מהיר ופחות שגיאות.

למה זה קורה?

מנסים לסכום ישירות את כל המקרים של 1, 2 ו-3 הצלחות.

איך מתקנים?

קצר ובטוח: P(לפחות אחד)

= 1 - P(

אף אחד).

טעות נפוצה: מחברים לאורך מסלול או כופלים בין מסלולים

מסלול: $0.6 \cdot 0.8$ (כפל). בין מסלולים: 0.48 + 0.28 (חיבור).

למה זה קורה?

מערבבים בין שני הכללים של העץ.

איך מתקנים?

לאורך מסלול (וגם) — כופלים. בין מסלולים זרים (או) — מחברים.

סיכום

מה למדנו?

בעץ הסתברות: כופלים לאורך מסלול (חיתוך), מחברים בין מסלולים זרים (איחוד).
בדיוק k: סכום המסלולים עם בדיוק k הצלחות.
לפחות אחד: $1 - P (אף אחד)$ .
לכל היותר שניים (מתוך שלושה): $1 - P (שלושה)$ .
המשלים הוא הקיצור הכי שימושי בבעיות 'לפחות' ו'לכל היותר'.

הצעד הבא: להשתמש בכל הכלים האלה כדי לקבל החלטות — לבחור בין אפשרויות לפי ההסתברות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על בעיות הסתברות מורכבות בעזרת עץ וטבלה.