שימוש בנוסחה A_t = A_0·q^t ושינוי נושא הנוסחה

מבוא

מטרות השיעור

להכיר את נוסחת התהליך המעריכי $A_{t} = A_{0} \cdot q^{t}$ ואת מרכיביה.
להציב נתונים בנוסחה ולחשב את הכמות הסופית.
לשנות את נושא הנוסחה כדי למצוא את הכמות ההתחלתית $A_{0}$ .
לחלץ את המקדם q מתוך כמות התחלתית וסופית נתונות.

הרעיון המרכזי

הנוסחה ומרכיביה

A_{t} = A_{0} \cdot q^{t}

$A_{0}$ — הכמות ההתחלתית (בזמן t=0).
q — מקדם הגדילה/דעיכה (q>1 גדילה, 0<q<1 דעיכה).
t — מספר יחידות הזמן שעברו.
$A_{t}$ — הכמות אחרי t יחידות זמן.

שינוי נושא הנוסחה:

מציאת הכמות ההתחלתית: $A_{0} = \frac{A _{t}}{q ^{t}}$ (מחלקים ב- $q^{t}$ ).
מציאת המקדם: מ- $A_{t} = A_{0} \cdot q^{t}$ מקבלים $q^{t} = \frac{A _{t}}{A _{0}}$ , ואז מוציאים שורש מתאים.

חשוב לשמור על אחידות יחידות הזמן: t נמדד ביחידות הזמן של התהליך.

בדיקה מהירה

מהי הנוסחה הנכונה לכמות בתהליך מעריכי, כאשר $A_0$ היא הכמות ההתחלתית, q המקדם ו-t מספר יחידות הזמן?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הצבה ישירה

יער 3,000 טון $, q = 1.05$ בשנה. כמה טון בעוד שנתיים?

A_{t} = 3000 \cdot 1.0 5^{2} = 3307.5

שלב 1 — מזהים

A_0 = 3000, q = 1.05, t = 2

תשובה מספרית

חלקת יער מכילה היום 3,000 טון עץ, וכמות העץ גדלה פי 1.05 בכל שנה. כמה טון עץ יהיו בחלקה בעוד שנתיים? עגלו לטון השלם הקרוב.

סטייה מותרת: ±1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: חישוב לטווח ארוך יותר

יער 3,000 טון $, q = 1.05$ בשנה. כמה טון בעוד 7 שנים?

A_{t} = 3000 \cdot 1.0 5^{7} \approx 4221

שלב 1 — מציבים

A_t = 3000 \cdot 1.05^{7}

דוגמה 3: מציאת הכמות ההתחלתית (שינוי נושא)

$q = 1.05$ , היום 7,960 טון. כמה היה לפני 20 שנה?

A_{0} = \frac{7960}{1.0 5 ^{20}} \approx 3000

שלב 1 — מזהים

A_t = 7960 (

היום)

, t = 20

, מבקשים

A_0

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: כדי לחלץ את הכמות ההתחלתית מהנוסחה מבצעים $A_0 = A\_\frac{t}{q}^t$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מקדם הגדילה של חלקת יער הוא 1.05 בשנה. היום בחלקה 7,960 טון עץ. כמה טון עץ היו בחלקה לפני 20 שנה? עגלו לטון השלם הקרוב.

סטייה מותרת: ±2

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מציאת המקדם q

לפני שנתיים 2,500 תושבים, היום 2,704. מהו q?

q = \frac{2704}{2500} = 1.0816 = 1.04

שלב 1 — מזהים

A_0 = 2500, A_t = 2704, t = 2

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מציבים זמן כולל במקום יחידות זמן

9 שעות, יחידה = 3 שעות \Rightarrow t = 3

למה זה קורה?

תלמידים מציבים את מספר השעות הכולל גם כשיחידת הזמן שונה.

איך מתקנים?

t נמדד ביחידות הזמן של התהליך. אם השינוי 'בכל שלוש שעות', אז ל-9 שעות מציבים

t=3

, לא

t=9

טעות נפוצה: מחסרים $q^t$ במקום לחלק

A_{0} = \frac{A _{t}}{q ^{t}}

למה זה קורה?

תלמידים מנסים לבטל את

q^t

בחיסור כמו במשוואה לינארית.

איך מתקנים?

A_0

מוכפל ב-

q^t

, ולכן מבודדים אותו בחלוקה:

A_0 = A\_\frac{t}{q}^t

, לא

A_t - q^t

טעות נפוצה: בלבול בין $A_0$ ל- $A_t$

'לפני 20 שנה' הוא $A_{0}$ ; 'היום' הוא $A_{t}$ עם t=20.

למה זה קורה?

לא ברור איזו כמות נתונה ובאיזה זמן.

איך מתקנים?

A_0 =

הכמות בזמן ההתחלה

(t=0). A_t =

הכמות אחרי t יחידות. זהו תחילה מי נתון ומי מבוקש.

טעות נפוצה: שוכחים שהחזקה חלה רק על q

3000 \cdot 1.0 5^{7} \neq = (3000 \cdot 1.05)^{7}

למה זה קורה?

תלמידים מעלים את כל הביטוי

A_0 \cdot q

בחזקה.

איך מתקנים?

בנוסחה

A_t = A_0 \cdot q^t

רק q מועלה בחזקת

t. A_0

הוא מקדם שמכפיל.

סיכום

מה למדנו?

הנוסחה: $A_{t} = A_{0} \cdot q^{t}$ .
כמות סופית — מציבים ומחשבים.
כמות התחלתית — $A_{0} = \frac{A _{t}}{q ^{t}}$ (חלוקה).
מקדם — $q^{t} = \frac{A _{t}}{A _{0}}$ ואז שורש מתאים.
t תמיד ביחידות הזמן של התהליך; רק q מועלה בחזקה.

בשיעור הבא נלמד להמיר בין אחוז למקדם ולמצוא את הזמן בניסוי וטעייה!

שימוש בנוסחה A_t = A_0·q^t ושינוי נושא הנוסחה

שימוש בנוסחה A_t = A_0·q^t ושינוי נושא הנוסחה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הצבה ישירה

יער 3,000 טון,q=1.05, q = 1.05,q=1.05 בשנה. כמה טון בעוד שנתיים?

דוגמה 2: חישוב לטווח ארוך יותר

יער 3,000 טון,q=1.05, q = 1.05,q=1.05 בשנה. כמה טון בעוד 7 שנים?

דוגמה 3: מציאת הכמות ההתחלתית (שינוי נושא)

q=1.05q = 1.05q=1.05, היום 7,960 טון. כמה היה לפני 20 שנה?

דוגמה 4: מציאת המקדם q

לפני שנתיים 2,500 תושבים, היום 2,704. מהו q?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מציבים זמן כולל במקום יחידות זמן

טעות נפוצה: מחסרים qtq^tqt במקום לחלק

טעות נפוצה: בלבול בין A0A_0A0​ ל-AtA_tAt​

טעות נפוצה: שוכחים שהחזקה חלה רק על q

סיכום

יער 3,000 טון $, q = 1.05$ בשנה. כמה טון בעוד שנתיים?

יער 3,000 טון $, q = 1.05$ בשנה. כמה טון בעוד 7 שנים?

$q = 1.05$ , היום 7,960 טון. כמה היה לפני 20 שנה?

טעות נפוצה: מחסרים $q^t$ במקום לחלק

טעות נפוצה: בלבול בין $A_0$ ל- $A_t$