קריאת תהליך מעריכי מגרף והשוואת תהליכים

מבוא

מטרות השיעור

לקרוא מגרף את הכמות ההתחלתית, את הכמות אחרי מספר יחידות זמן ואת יחידת הזמן.
לחשב מהנתונים שבגרף את המקדם q ואת אחוז השינוי.
להבחין בין צורת גרף מעריכי לצורת גרף לינארי.
להשוות בין שני תהליכים מעריכיים, ובין תהליך מעריכי לתהליך לינארי.

הרעיון המרכזי

קריאת גרף והשוואה

קריאה מגרף: מאתרים שתי נקודות $(t_{1}, A_{1})$ ו- $(t_{2}, A_{2})$ . הכמות ההתחלתית היא ערך ה-y בנקודת ההתחלה. כדי למצוא את המקדם משתמשים בנוסחה $A_{t} = A_{0} \cdot q^{t}$ ובשינוי נושא.

צורת הגרף:

גרף מעריכי הוא עקומה: בגדילה הוא נעשה תלול יותר ויותר; בדעיכה הוא יורד מהר בהתחלה ואז מתמתן ומתקרב ל-0.
גרף לינארי הוא קו ישר בשיפוע קבוע.

השוואות:

בדעיכה: שיעור דעיכה גדול יותר (q קטן יותר, קרוב ל-0) ⇐ ירידה תלולה יותר.
מעריכי מול לינארי: לאורך זמן התהליך המעריכי תמיד עוקף את הלינארי, גם אם בהתחלה הוא נמוך יותר.

בדיקה מהירה

שני גרפים מתארים דעיכה מעריכית של אוכלוסיות בשני יישובים. יישוב א' יורד ב-10% בשנה, ויישוב ב' יורד ב-20% בשנה. איזה גרף יורד בתלילות רבה יותר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מציאת המקדם מגרף

גרף: $(1980, 50000)$ ו- $(1983, 66550)$ . מהו q?

q^{3} = \frac{66550}{50000} = 1.331 \Rightarrow q = 1.1

שלב 1 — קוראים נקודות

A_0 = 50{,}000 (1980), A_3 = 66{,}550 (1983)

בדיקה מהירה

גרף מתאר גידול מעריכי של אוכלוסיית עיר. מהגרף קוראים: בתחילת 1980 הנקודה היא $(1980, 50000)$ ובתחילת 1983 הנקודה היא $(1983, 66550)$ . מהי הכמות ההתחלתית $A_0 ($ מספר התושבים בתחילת 1980)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מגרף הגידול המעריכי קוראים: בתחילת 1980 היו 50,000 תושבים, ובתחילת 1983 היו 66,550 תושבים. מהו מקדם הגדילה השנתי q?

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: חיזוי מגרף

$A_0 = 50{,}000, q = 1.1$ . כמה תושבים ב-1985?

A = 50000 \cdot 1. 1^{5} \approx 80526

שלב 1 — מספר שנים

מ-1980 ל-1985 עברו

t = 5

שנים.

דוגמה 3: השוואת מעריכי מול לינארי

עיר 499,400 תושבים. מעריכי 2.4% מול לינארי $+12{,}000$ בשנה. מה גדול יותר אחרי 4 שנים?

549,100 > 547,400

שלב 1 — מעריכי

499400 \cdot 1.024^{4} ≈ 549{,}100

תושבים.

בדיקה מהירה

אוכלוסיית עיר מונה 499,400 תושבים. בתהליך המעריכי היא גדלה ב-2.4% בשנה, ואחרי 4 שנים תמנה כ-549,100 תושבים. לו במקום זאת האוכלוסייה הייתה גדלה לינארית ב-12,000 תושבים בכל שנה, מה היה גודלה אחרי 4 שנים בהשוואה ל-549,100?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: השוואת שתי דעיכות (ההפרש)

תאונות: עיר א $' 1{,}500 (-8\%/$ שנה), עיר ב $' 1{,}300 (-3\%/$ שנה). מה קורה להפרש?

עיר עם שיעור דעיכה גדול יותר יורדת מהר יותר ומצמצמת את הפער.

שלב 1 — עיר א'

1500 → 1380 → 1269.6 → 1168.0 ( \times 0.92)

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מודדים קצב לפי שיפוע ישר

$q^{t} = \frac{A _{2}}{A _{1}}$ , ולא שיפוע קבוע.

למה זה קורה?

תלמידים מחשבים שיפוע קבוע כמו בקו ישר.

איך מתקנים?

בתהליך מעריכי הקצב משתנה. מזהים שתי נקודות ומחשבים את היחס q ביניהן בעזרת הנוסחה.

טעות נפוצה: הלינארי תמיד גדול מהמעריכי

אחרי 4 שנים: מעריכי 549,100 > לינארי 547,400.

למה זה קורה?

תלמידים רואים שהמעריכי מתחיל נמוך ומניחים שכך יישאר.

איך מתקנים?

לאורך זמן המעריכי 'משיג' ועוקף את הלינארי. בדקו אחרי מספר יחידות זמן, לא רק בהתחלה.

טעות נפוצה: דעיכה חדה ⇐ q גדול

q = 0.8 (20%) תלול יותר מ- q = 0.9 (10%)

למה זה קורה?

תלמידים מקשרים 'חד' עם 'גדול'.

איך מתקנים?

דעיכה חדה יותר פירושה שנשאר פחות, כלומר q קטן יותר (קרוב ל-0). דעיכה

20\% ⇐ q=0.8

חדה יותר מ-

10\% ⇐ q=0.9

טעות נפוצה: שוכחים לספור נכון את יחידות הזמן מהגרף

t = 1983 - 1980 = 3

למה זה קורה?

מבלבלים בין שנות-לוח לבין מספר יחידות הזמן שעברו.

איך מתקנים?

מספר יחידות הזמן = הזמן הסופי פחות זמן ההתחלה. מ-1980 ל-1983 עברו 3 שנים, לא 4.

סיכום

מה למדנו?

מגרף קוראים $A_{0}$ , נקודות נוספות ויחידת הזמן, ומחשבים את q בעזרת $A_{t} = A_{0} q^{t}$ .
גרף מעריכי הוא עקומה (תלול יותר ויותר בגדילה); גרף לינארי הוא קו ישר.
בדעיכה: q קטן יותר ⇐ ירידה חדה יותר.
לאורך זמן התהליך המעריכי עוקף את התהליך הלינארי.

סיימתם את היחידה — עכשיו אתם שולטים בתהליכי גדילה ודעיכה מעריכיים!

קריאת תהליך מעריכי מגרף והשוואת תהליכים

קריאת תהליך מעריכי מגרף והשוואת תהליכים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מציאת המקדם מגרף

גרף: (1980,50000)(1980, 50000)(1980,50000) ו-(1983,66550)(1983, 66550)(1983,66550). מהו q?

דוגמה 2: חיזוי מגרף

A0=50,000,q=1.1A_0 = 50{,}000, q = 1.1A0​=50,000,q=1.1. כמה תושבים ב-1985?

דוגמה 3: השוואת מעריכי מול לינארי

עיר 499,400 תושבים. מעריכי 2.4% מול לינארי +12,000+12{,}000+12,000 בשנה. מה גדול יותר אחרי 4 שנים?

דוגמה 4: השוואת שתי דעיכות (ההפרש)

תאונות: עיר א′1,500(−8%/' 1{,}500 (-8\%/′1,500(−8%/שנה), עיר ב′1,300(−3%/' 1{,}300 (-3\%/′1,300(−3%/שנה). מה קורה להפרש?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מודדים קצב לפי שיפוע ישר

טעות נפוצה: הלינארי תמיד גדול מהמעריכי

טעות נפוצה: דעיכה חדה ⇐ q גדול

טעות נפוצה: שוכחים לספור נכון את יחידות הזמן מהגרף

סיכום

גרף: $(1980, 50000)$ ו- $(1983, 66550)$ . מהו q?

$A_0 = 50{,}000, q = 1.1$ . כמה תושבים ב-1985?

עיר 499,400 תושבים. מעריכי 2.4% מול לינארי $+12{,}000$ בשנה. מה גדול יותר אחרי 4 שנים?

תאונות: עיר א $' 1{,}500 (-8\%/$ שנה), עיר ב $' 1{,}300 (-3\%/$ שנה). מה קורה להפרש?