חישוב כמויות בתהליך מעריכי ללא נוסחה

מבוא

מטרות השיעור

לחשב כמות בתהליך מעריכי על ידי הכפלה חוזרת במקדם q (קדימה בזמן).
לחשב כמות שהייתה בעבר על ידי חלוקה חוזרת במקדם (אחורה בזמן).
לזהות נכון את יחידת הזמן ולספור כמה יחידות זמן עברו.
להמיר אחוז גדילה/דעיכה למקדם q לפני החישוב.

הרעיון המרכזי

חישוב ע״י הכפלה/חלוקה חוזרת

בתהליך מעריכי הכמות מוכפלת במקדם q בכל יחידת זמן.

קדימה בזמן: כדי לדעת את הכמות אחרי t יחידות זמן — מכפילים את הכמות ההתחלתית ב-q סך הכול t פעמים.
אחורה בזמן: כדי לדעת את הכמות שהייתה t יחידות זמן קודם — מחלקים ב-q סך הכול t פעמים.

המרת אחוז למקדם: גדילה ב- $p %$ ⟸ $q = 1 + \frac{p}{100}$ ; דעיכה ב- $p %$ ⟸ $q = 1 - \frac{p}{100}$ .

זהירות עם יחידת הזמן: אם השינוי הוא 'בכל שלוש שעות', אז יחידת הזמן היא שלוש שעות. מספר יחידות הזמן = הזמן הכולל ÷ אורך יחידת הזמן.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: גדילה קדימה בזמן

חיידקים גדלים פי 3 בכל יום, היום 70,000,000. כמה יהיו בעוד שלושה ימים?

70, 000, 000 \times 3^{3} = 70, 000, 000 \times 27 = 1, 890, 000, 000

שלב 1 — מזהים

כמות התחלתית 70,000,000, מקדם

q=3

, יחידת זמן = יום.

תשובה מספרית

תרבית חיידקים גדלה פי 3 בכל יום. היום יש בתרבית 70,000,000 חיידקים. כמה חיידקים יהיו בתרבית מחר (לאחר יום אחד)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: דעיכה ויחידת הזמן

חיידקים קטֵנים פי 2 בכל שלוש שעות, בהתחלה 80,000,000. כמה נותרו אחרי תשע שעות?

\frac{80 , 000 , 000}{2 ^{3}} = \frac{80 , 000 , 000}{8} = 10, 000, 000

לא מחלקים תשע פעמים — אלא רק כמספר יחידות הזמן!

שלב 1 — יחידת זמן

יחידת הזמן היא שלוש שעות.

תשובה מספרית

במעבדה, לאחר הוספת תרופה מספר החיידקים בתרבית קָטֵן פי 2 בכל שלוש שעות. בתחילת הניסוי היו 80,000,000 חיידקים. כמה חיידקים נותרו שלוש שעות לאחר הוספת התרופה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מספר החיידקים בתרבית קָטֵן פי 2 בכל שלוש שעות. בתחילת הניסוי היו 80,000,000 חיידקים. כמה חיידקים נותרו תשע שעות לאחר הוספת התרופה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: גדילה באחוזים

כמות הדגים גדלה ב-6% בשנה, היום 4 טון. כמה יהיה אחרי שנתיים?

4 \times 1.0 6^{2} = 4 \times 1.1236 = 4.4944 \approx 4.49

שלב 1 — אחוז למקדם

גדילה

6\% ⇐ q = 1 + 0.06 = 1.06

דוגמה 4: אחורה בזמן

חיידקים גדלים פי 3 ביום, היום 90,000,000. כמה היו לפני יומיים?

\frac{90 , 000 , 000}{3 ^{2}} = \frac{90 , 000 , 000}{9} = 10, 000, 000

שלב 1 — כיוון

חוזרים אחורה ⇐ מחלקים במקדם

q=3

תשובה מספרית

תרבית חיידקים גדלה פי 3 בכל יום. בתאריך 3.1.2010 נמדדו בתרבית 90,000,000 חיידקים. כמה חיידקים היו בתרבית יומיים קודם לכן, בתאריך 1.1.2010?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בלבול ביחידת הזמן

9 שעות \div 3 = 3 יחידות זמן \Rightarrow \div 2^{3}

למה זה קורה?

תלמידים סופרים שעות במקום יחידות זמן: 'תשע שעות' נחשב כתשע חלוקות.

איך מתקנים?

חלקו את הזמן הכולל באורך יחידת הזמן. תשע שעות ÷ שלוש שעות = שלוש יחידות זמן בלבד.

טעות נפוצה: אחוז כתוספת חד-פעמית

שנתיים: $4 \times 1.0 6^{2} = 4.4944$ , ולא $4 \times 1.12$ .

למה זה קורה?

תלמידים מוסיפים 6% פעם אחת, גם אחרי כמה שנים.

איך מתקנים?

בכל שנה האחוז מחושב מהכמות החדשה. מכפילים ב-1.06 שוב ושוב, אחת לכל שנה.

טעות נפוצה: חיסור במקום חלוקה כשחוזרים אחורה

לפני יום אחד: $\frac{A}{q}$ , לא A - q.

למה זה קורה?

תלמידים מנסים 'לבטל' את הגדילה על ידי החסרה או הכפלה.

איך מתקנים?

הפעולה ההפוכה להכפלה היא חלוקה. אחורה בזמן ⇐ מחלקים ב-q, פעם לכל יחידת זמן.

טעות נפוצה: 'קטֵן פי 2' מובן כהכפלה

דעיכה: $קטֵן פי 2 \Rightarrow \times 0.5$

למה זה קורה?

המילה 'פי' מקושרת אצל תלמידים תמיד עם הכפלה.

איך מתקנים?

'גדל פי

2' = \times 2

, אבל 'קטֵן פי

2' = \div 2 (

כלומר

\times 0.5)

. שימו לב לכיוון.

סיכום

מה למדנו?

קדימה בזמן: מכפילים ב-q, פעם לכל יחידת זמן.
אחורה בזמן: מחלקים ב-q, פעם לכל יחידת זמן.
אחוז למקדם: גדילה $q = 1 + \frac{p}{100}$ , דעיכה $q = 1 - \frac{p}{100}$ .
ספרו יחידות זמן נכון: הזמן הכולל ÷ אורך יחידת הזמן.
'קטֵן פי k' = חלוקה ב-k; 'גדל פי k' = הכפלה ב-k.

בשיעור הבא נארגן את כל החישובים האלה בנוסחה אחת מסודרת!