המרה בין אחוז למקדם וחישוב הזמן בניסוי וטעייה

מבוא

מטרות השיעור

להמיר אחוז גדילה/דעיכה ביחידת זמן אחת למקדם q.
להמיר מקדם q בחזרה לאחוז גדילה/דעיכה.
לחשב מתוך שתי כמויות עוקבות את שיעור השינוי באחוזים.
למצוא את מספר יחידות הזמן בתהליך מעריכי באמצעות ניסוי וטעייה (עד 5 יחידות).

הרעיון המרכזי

אחוז ⟷ מקדם, וניסוי וטעייה

מאחוז למקדם:

גדילה ב- $p %$ : $q = 1 + \frac{p}{100}$ (לדוגמה 6% ⟸ q = 1.06).
דעיכה ב- $p %$ : $q = 1 - \frac{p}{100}$ (לדוגמה 8% ⟸ q = 0.92).

ממקדם לאחוז:

אם q>1: שיעור הגדילה $= (q - 1) \cdot 100%$ (לדוגמה 1.05 ⟸ 5%).
אם q<1: שיעור הדעיכה $= (1 - q) \cdot 100%$ (לדוגמה 0.7 ⟸ 30%).

מציאת הזמן בניסוי וטעייה: במשוואה $q^{t} = c$ מציבים $t = 1, 2, 3, \dots$ (עד 5) ובודקים מתי מגיעים לכמות המבוקשת. אין משתמשים בלוגריתמים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מאחוז למקדם (דעיכה)

קרינה קטנה ב-8% בכל שלוש שעות. מהו q?

q = 1 - 0.08 = 0.92

שלב 1 — סוג השינוי

דעיכה ב-

p\% ⇐ q = 1 - \frac{p}{100}

תשובה מספרית

עוצמת קרינה של חומר רדיואקטיבי קטנה ב-8% בכל שלוש שעות. מהו מקדם הדעיכה q?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: ממקדם לאחוז (גדילה)

$q = 1.05$ . בכמה אחוזים גדלה הכמות?

שלב 1 — $q > 1$ , גדילה

שיעור הגדילה

= (q - 1) \cdot 100\%

בדיקה מהירה

מקדם הגדילה של חלקת יער הוא $q = 1.05$ בשנה. בכמה אחוזים גדלה כמות העץ בכל שנה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: שיעור שינוי מתוך שתי כמויות

תרופה: 30 מ״ג, ואחרי שעה 21 מ״ג. בכמה אחוזים קטנה הכמות?

q = \frac{21}{30} = 0.7 \Rightarrow דעיכה 30%

שלב 1 — מקדם

q = \frac{21}{30} = 0.7

תשובה מספרית

כמות החומר הפעיל בכדור תרופה היא 30 מ"ג. שעה אחת לאחר הנטילה נותרו בגוף 21 מ"ג. בכמה אחוזים קטנה כמות החומר הפעיל מדי שעה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: חישוב זמן בניסוי וטעייה

יער 3,000 טון $, q = 1.1$ . אחרי כמה שנים יהיו 3,993 טון?

$3000 \cdot 1. 1^{3} = 3993$ — נמצא על ידי הצבת t=1,2,3.

שלב 1 — $t = 1$

3000 \cdot 1.1 = 3300

. עוד לא.

תשובה מספרית

חלקת יער מכילה היום 3,000 טון עץ והכמות גדלה פי 1.1 בכל שנה. אחרי כמה שנים יהיו בחלקה 3,993 טון? מצאו בניסוי וטעייה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: $q = 0.08$ במקום 0.92 בדעיכה

q = 1 - \frac{8}{100} = 0.92

למה זה קורה?

תלמידים מציבים את שיעור הדעיכה כמקדם.

איך מתקנים?

המקדם הוא 1 פחות שיעור הדעיכה:

q = 1 - 0.08 = 0.92

. הכמות שנשארת היא 92% מהקודמת.

טעות נפוצה: $q = 1.05$ פירושו 105% גדילה

(1.05 - 1) \cdot 100% = 5%, לא 105%

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים להוריד את ה-1.

איך מתקנים?

שיעור הגדילה

= (q - 1) \cdot 100\% = 5\%

. המקדם 1.05 פירושו 'הכמות הקודמת ועוד 5%'.

טעות נפוצה: ניסיון לפתור עם לוגריתמים

q^{t} = c \Rightarrow מציבים t = 1, 2, 3, \dots

למה זה קורה?

תלמידים מנסים

q^t = c

עם לוג.

איך מתקנים?

בתכנית זו מציבים

t = 1, 2, 3, \ldots (

עד 5) ובודקים מתי מגיעים לכמות. אין צורך בלוגריתמים.

טעות נפוצה: בלבול בין שיעור דעיכה למקדם בחישוב מנתונים

עופות: $q = \frac{1093}{1202} \approx 0.909 \Rightarrow דעיכה \approx 9%$

למה זה קורה?

מבלבלים בין q (מה שנשאר) לבין שיעור השינוי (מה שאבד/נוסף).

איך מתקנים?

q =

כמות חדשה ÷ כמות קודמת. שיעור הדעיכה

= (1 - q) \cdot 100\%

. שיעור הגדילה

= (q - 1) \cdot 100\%

סיכום

מה למדנו?

גדילה $p %$ : $q = 1 + \frac{p}{100}$ ; דעיכה $p %$ : $q = 1 - \frac{p}{100}$ .
ממקדם לאחוז: גדילה $(q - 1) \cdot 100%$ , דעיכה $(1 - q) \cdot 100%$ .
שיעור שינוי מנתונים: $q = \frac{חדש}{קודם}$ .
את הזמן מוצאים בניסוי וטעייה (עד 5 יחידות), ללא לוגריתמים.

בשיעור הבא נקרא תהליכים מעריכיים מגרפים ונשווה ביניהם!

המרה בין אחוז למקדם וחישוב הזמן בניסוי וטעייה

המרה בין אחוז למקדם וחישוב הזמן בניסוי וטעייה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מאחוז למקדם (דעיכה)

קרינה קטנה ב-8% בכל שלוש שעות. מהו q?

דוגמה 2: ממקדם לאחוז (גדילה)

q=1.05q = 1.05q=1.05. בכמה אחוזים גדלה הכמות?

דוגמה 3: שיעור שינוי מתוך שתי כמויות

תרופה: 30 מ״ג, ואחרי שעה 21 מ״ג. בכמה אחוזים קטנה הכמות?

דוגמה 4: חישוב זמן בניסוי וטעייה

יער 3,000 טון,q=1.1, q = 1.1,q=1.1. אחרי כמה שנים יהיו 3,993 טון?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: q=0.08q = 0.08q=0.08 במקום 0.92 בדעיכה

טעות נפוצה: q=1.05q = 1.05q=1.05 פירושו 105% גדילה

טעות נפוצה: ניסיון לפתור עם לוגריתמים

טעות נפוצה: בלבול בין שיעור דעיכה למקדם בחישוב מנתונים

סיכום

$q = 1.05$ . בכמה אחוזים גדלה הכמות?

יער 3,000 טון $, q = 1.1$ . אחרי כמה שנים יהיו 3,993 טון?

טעות נפוצה: $q = 0.08$ במקום 0.92 בדעיכה

טעות נפוצה: $q = 1.05$ פירושו 105% גדילה