חישוב סטיית תקן בנוסחה

מבוא

מטרות השיעור

להכיר את נוסחת סטיית התקן ולהבין כל רכיב בה.
לחשב סטיית תקן מתוך רשימת נתונים בארבעה שלבים.
לחשב סטיית תקן מתוך טבלת שכיחויות באמצעות שקלול.
לשלב את חישוב סטיית התקן עם מדדי המרכז: ממוצע, חציון ושכיח.

הרעיון המרכזי

נוסחת סטיית התקן

עבור משתנה כמותי עם ערכים x, שכיחויות f וממוצע $μ$ :

שונות: $σ^{2} = \frac{\sum ( x - μ ) ^{2} \cdot f}{\sum f}$

סטיית תקן: $σ = \frac{\sum ( x - μ ) ^{2} \cdot f}{\sum f}$

ארבעת השלבים:

מחשבים את הממוצע $μ$ .
לכל ערך מחשבים את המרחק מהממוצע ומעלים אותו בריבוע: $(x - μ)^{2}$ .
ממצעים את ריבועי המרחקים (משוקללים בשכיחויות) — זו השונות $σ^{2}$ .
מוציאים שורש ⟵ סטיית התקן $σ$ .

יחידות: סטיית התקן נמדדת באותן יחידות של המשתנה (שעות, מעלות, נקודות).

בדיקה מהירה

מהי הנוסחה לחישוב סטיית התקן $\sigma$ של קבוצת נתונים עם ממוצע $\mu$ ושכיחויות f?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: רשימת נתונים פשוטה

שעות שינה: 2, 2, 4, 4

σ = \frac{1 + 1 + 1 + 1}{4} = 1 = 1

שלב 1 — ממוצע

\mu = \frac{2+2+4+4}{4} = \frac{12}{4} = 3

תשובה מספרית

מספר שעות השינה של 4 תלמידים: 2, 2, 4, 4. הממוצע הוא 3. חשבו את סטיית התקן.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: טמפרטורות, יחידות

טמפרטורות הצהריים $(^{\circ}C): 3, 3, 9, 9$

$σ = 9 = 3$ מעלות צלזיוס.

שלב 1 — ממוצע

\mu = \frac{3+3+9+9}{4} = \frac{24}{4} = 6

תשובה מספרית

טמפרטורות הצהריים $(^{\circ}C)$ שנמדדו בארבעה ימים: 3, 3, 9, 9. חשבו את סטיית התקן.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: טבלת שכיחויות

מספר אחים: $2 ( \times 3), 4 ( \times 1), 6 ( \times 1)$

σ = \frac{12.8}{5} = 2.56 = 1.6

שלב 1 — סכום שכיחויות

N = \Sigma f = 3+1+1 = 5

דוגמה 4: שילוב מדדי מרכז

ציונים בכיתה: $60 ( \times 4), 70 ( \times 12), 80 ( \times 4)$

σ = \frac{800}{20} = 40 \approx 6.32

שלב 1 — מדדי מרכז

N=20

. ממוצע

\mu = \frac{60 \cdot 4+70 \cdot 12+80 \cdot 4}{20} = \frac{1400}{20} = 70

. חציון: הערך האמצעי

= 70

. שכיח: 70 (השכיחות הגבוהה ביותר).

תשובה מספרית

בכיתה של 20 תלמידים, התפלגות הציונים במבחן: ציון 60 קיבלו 4 תלמידים, ציון 70 קיבלו 12 תלמידים, וציון 80 קיבלו 4 תלמידים. הממוצע הוא 70. חשבו את סטיית התקן (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית).

סטייה מותרת: ±0.05

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים להוציא שורש

אם $σ^{2} = 9$ , אז $σ = 9 = 3$ — לא 9.

למה זה קורה?

התלמיד מסיים בשונות

\sigma ^{2}

וחושב שזו סטיית התקן.

איך מתקנים?

סטיית התקן היא השורש של השונות. אחרי שמיצעתם את ריבועי המרחקים, הוציאו שורש!

טעות נפוצה: בטבלת שכיחויות מחלקים במספר הערכים השונים

עבור 2 (×3), 4 (×1), 6 (×1): מחלקים ב-N=5, לא ב-3.

למה זה קורה?

התלמיד רואה שלושה ערכים

(2, 4, 6)

ומחלק ב-3 במקום ב-N.

איך מתקנים?

חולקים תמיד בסכום השכיחויות

N=\Sigma f

— סך כל הנתונים, ולא במספר הערכים השונים.

טעות נפוצה: ממצעים את המרחקים במקום את ריבועיהם

$\sum (x - μ) = 0$ תמיד — לכן הנוסחה משתמשת ב- $(x - μ)^{2}$ .

למה זה קורה?

התלמיד מחשב ממוצע של

(x-\mu )

ומקבל 0.

איך מתקנים?

סכום המרחקים מהממוצע תמיד שווה 0. לכן מעלים בריבוע לפני המיצוע — כך מודדים גודל מרחק ללא סימן.

טעות נפוצה: שוכחים לשקלל בשכיחויות

$\sum (x - μ)^{2} \cdot f$ — שימו לב למכפלה ב-f.

למה זה קורה?

בטבלת שכיחויות התלמיד מחשב כל ריבוע מרחק פעם אחת בלבד.

איך מתקנים?

כל ריבוע מרחק יש לכפול בשכיחות שלו f, כי ערך שמופיע 3 פעמים תורם 3 פעמים לשונות.

סיכום

מה למדנו?

נוסחת סטיית התקן: $σ = \frac{\sum ( x - μ ) ^{2} \cdot f}{\sum f}$
ארבעה שלבים: ממוצע ← ריבועי מרחקים ← מיצוע (שונות) ← שורש.
בטבלת שכיחויות מחלקים ב- $N = \sum f$ וזוכרים לשקלל כל מרחק בשכיחותו.
סטיית התקן נמדדת באותן יחידות של המשתנה.
תמיד מוציאים שורש בסוף — אחרת קיבלתם את השונות, לא את סטיית התקן.

בשיעור הבא נחשב סטיית תקן במהירות בעזרת מחשבון ואקסל!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב סטיית תקן מרשימות ומטבלאות שכיחויות!

חישוב סטיית תקן בנוסחה מתוך ייצוגים שונים

חישוב סטיית תקן בנוסחה מתוך ייצוגים שונים

חישוב סטיית תקן בנוסחה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: רשימת נתונים פשוטה

שעות שינה: 2, 2, 4, 4

דוגמה 2: טמפרטורות, יחידות

טמפרטורות הצהריים $(^{\circ}C): 3, 3, 9, 9$

דוגמה 3: טבלת שכיחויות

מספר אחים: $2 ( \times 3), 4 ( \times 1), 6 ( \times 1)$

דוגמה 4: שילוב מדדי מרכז

ציונים בכיתה: $60 ( \times 4), 70 ( \times 12), 80 ( \times 4)$

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים להוציא שורש

טעות נפוצה: בטבלת שכיחויות מחלקים במספר הערכים השונים

טעות נפוצה: ממצעים את המרחקים במקום את ריבועיהם

טעות נפוצה: שוכחים לשקלל בשכיחויות

סיכום

תרגול נוסף

חישוב סטיית תקן בנוסחה מתוך ייצוגים שונים

חישוב סטיית תקן בנוסחה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: רשימת נתונים פשוטה

שעות שינה: 2, 2, 4, 4

דוגמה 2: טמפרטורות, יחידות

טמפרטורות הצהריים (∘C):3,3,9,9(^{\circ}C): 3, 3, 9, 9(∘C):3,3,9,9

דוגמה 3: טבלת שכיחויות

מספר אחים: 2(×3),4(×1),6(×1)2 ( \times 3), 4 ( \times 1), 6 ( \times 1)2(×3),4(×1),6(×1)

דוגמה 4: שילוב מדדי מרכז

ציונים בכיתה: 60(×4),70(×12),80(×4)60 ( \times 4), 70 ( \times 12), 80 ( \times 4)60(×4),70(×12),80(×4)

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים להוציא שורש

טעות נפוצה: בטבלת שכיחויות מחלקים במספר הערכים השונים

טעות נפוצה: ממצעים את המרחקים במקום את ריבועיהם

טעות נפוצה: שוכחים לשקלל בשכיחויות

סיכום

תרגול נוסף

טמפרטורות הצהריים $(^{\circ}C): 3, 3, 9, 9$

מספר אחים: $2 ( \times 3), 4 ( \times 1), 6 ( \times 1)$

ציונים בכיתה: $60 ( \times 4), 70 ( \times 12), 80 ( \times 4)$