השפעת שינוי או הוספת נתונים על סטיית התקן
מבוא
מטרות השיעור
- להבין מתי שינוי בנתונים משנה את סטיית התקן ומתי לא.
- לזהות שהזזה של כל הנתונים בקבוע אינה משנה את הפיזור.
- לקבוע אם הוספת נתון מגדילה או מקטינה את סטיית התקן.
- לדעת מתי לחשב מחדש (הממוצע השתנה) ומתי אפשר להעריך ללא חישוב (הממוצע נשמר).
הרעיון המרכזי
שתי שאלות מפתח
לפני שמחליטים מה קרה לסטיית התקן, שואלים שתי שאלות:
שאלה 1: האם הממוצע השתנה?
- כן ⟵ יש לחשב את הממוצע החדש ואת סטיית התקן מחדש.
- לא ⟵ אפשר להעריך את כיוון השינוי ללא חישוב.
שאלה 2 (כשהממוצע נשמר): האם הנתונים התקרבו או התרחקו מהממוצע?
- התקרבו ⟵ הפיזור קטן ⟵ קטנה.
- התרחקו ⟵ הפיזור גדל ⟵ גדלה.
שני כללים חשובים:
- הזזה בקבוע: הוספת/הורדת אותו קבוע לכל הערכים מזיזה גם את הממוצע באותו קבוע — המרחקים נשמרים, לא משתנה.
- הוספת נתון השווה לממוצע: הממוצע נשמר, אך N גדל בעוד סכום ריבועי המרחקים לא — קטנה.
נכון או לא נכון: אם מוסיפים את אותו מספר קבוע לכל ערך בקבוצת נתונים, סטיית התקן אינה משתנה.
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
דוגמאות מפורטות
דוגמה 1: הזזה בקבוע — σ לא משתנה
שגיאות חישוב: 14, 12, 7, 5, 4 ⟶ כל אחד 3 פחות
— המרחק מהממוצע זהה.
שלב 1 — מצב התחלתי
חמישה תלמידים עשו מספר שגיאות חישוב במבחן: 14, 12, 7, 5, 4, וסטיית התקן הייתה 3.93. אחרי תרגול, כל תלמיד עשה בדיוק 3 שגיאות פחות . מהי סטיית התקן החדשה? (עגלו לשתי ספרות)
סטייה מותרת: ±0.02
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
דוגמה 2: הוספת נתון השווה לממוצע — σ קטנה
זמני המתנה: 2, 4, 6, 8 ⟶ מוסיפים 5
הנתון החדש במרחק 0 מהממוצע, אך מגדיל את N ⟵ קטנה.
שלב 1 — מצב התחלתי
בקבוצת נתונים מסוימת מוסיפים נתון חדש שערכו שווה בדיוק לממוצע הקבוצה. הממוצע נשאר ללא שינוי. מה קורה לסטיית התקן?
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
דוגמה 3: הוספת תלמיד והממוצע נשמר
20 תלמידים, ממוצע 60 ⟶ מוסיפים תלמיד 21, הממוצע נשאר 60
זו דוגמה ישירה מתכנית הלימודים — מסיקים ללא חישוב.
שלב 1 — מה חייב להיות הציון?
מורה חישב שממוצע הציונים של 20 תלמידים הוא 60. הוסיף ציון של תלמיד 21, והתברר שהממוצע של כל 21 התלמידים נשאר 60. מה היה הציון של התלמיד ה-21, וכיצד השתנתה סטיית התקן?
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
דוגמה 4: שינוי קיצוני שמזיז את הממוצע — חייבים לחשב מחדש
הכנסות (אלפי ₪): 10, 20, 30 ⟶ מחליפים 30 ב-60
ערך קיצוני שמרחיק את הנתונים מהממוצע החדש ⟵ גדלה.
שלב 1 — מצב התחלתי
טעויות נפוצות
טעות נפוצה: חושבים שכל שינוי בנתונים משנה את
14,12,7,5,4 ⟶ 11,9,4,2,1: הממוצע ירד ב-3, אבל נשארה ≈ 3.93.
למה זה קורה?
איך מתקנים?
טעות נפוצה: הוספת נתון תמיד מגדילה את
הוספת ערך = ממוצע ⟵ הנתונים מתקבצים יחסית ⟵ קטנה.
למה זה קורה?
איך מתקנים?
טעות נפוצה: מעריכים בלי לבדוק אם הממוצע השתנה
החלפת 30 ב-60 הזיזה את הממוצע — חובה לחשב מחדש, אי אפשר רק 'להעריך'.
למה זה קורה?
איך מתקנים?
טעות נפוצה: חושבים שכפל בקבוע לא משנה את
הזזה (+c): ללא שינוי. כפל (×k): מוכפלת ב-k.
למה זה קורה?
איך מתקנים?
סיכום
מה למדנו?
- שואלים תחילה: האם הממוצע השתנה? אם כן — מחשבים מחדש; אם לא — מעריכים את כיוון השינוי.
- הזזה בקבוע (חיבור/חיסור אותו ערך מכולם): לא משתנה.
- הוספת נתון = ממוצע: הממוצע נשמר, קטנה (הנתונים מתקבצים).
- נתונים שמתרחקים מהממוצע ⟵ גדלה; שמתקרבים ⟵ קטנה.
- ערך קיצוני שמזיז את הממוצע ⟵ חובה לחשב מחדש.
כל הכבוד! סיימתם את יחידת סטיית התקן — אתם יודעים להבין, לחשב, להשתמש בטכנולוגיה ולהעריך שינויים!
תרגול נוסף
עברו לתרגול כדי להתאמן על הערכת השפעת שינויים על סטיית התקן!