משמעות סטיית התקן כמדד פיזור
מבוא
מטרות השיעור
- להבין שסטיית התקן היא מדד פיזור המתאר עד כמה הנתונים מפוזרים סביב הממוצע.
- להבין שערך גדול של סטיית התקן ⟵ פיזור גדול, וערך קטן ⟵ נתונים מקובצים סביב הממוצע.
- לזהות מתוך רשימה, טבלת שכיחויות או דיאגרמה באיזו קבוצה הפיזור גדול יותר — בלי לחשב.
- להבחין בין מדדי מרכז (ממוצע, חציון, שכיח) לבין מדד הפיזור.
הרעיון המרכזי
מה מודדת סטיית התקן?
מדדי המרכז שלמדנו בכיתה י' — ממוצע, חציון ושכיח — מתארים היכן נמצא המרכז של הנתונים. אבל הם לא מספרים לנו כמה הנתונים מפוזרים סביבו.
סטיית התקן (מסומנת באות היוונית ) היא מדד פיזור: היא מודדת עד כמה הערכים בקבוצה רחוקים בממוצע מהממוצע.
- גדולה ⟵ הנתונים מפוזרים, רחוקים מהממוצע (קבוצה הטרוגנית).
- קטנה ⟵ הנתונים מקובצים קרוב לממוצע (קבוצה הומוגנית).
- ⟵ כל הנתונים שווים זה לזה ולממוצע. אין פיזור כלל.
חשוב: סטיית התקן לעולם אינה שלילית, ואינה תלויה בגובה הממוצע — רק בפיזור סביבו.
מה מתארת סטיית התקן של קבוצת נתונים?
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
דוגמאות מפורטות
דוגמה 1: אותו ממוצע, פיזור שונה
שלוש קבוצות עם אותו ממוצע 7
ממוצע זהה אינו מבטיח פיזור זהה. כאן — אבל ראינו זאת מהפיזור בלבד.
שלב 1 — בודקים ממוצע
לפניכם שלוש קבוצות מספרים שלכולן ממוצע 7: קבוצה , קבוצה , קבוצה . סדרו את הקבוצות מסטיית התקן הקטנה ביותר לגדולה ביותר (ללא חישוב, לפי הפיזור).
גררו את הפריטים לסדר הנכון
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
דוגמה 2: שתי כיתות, אותו ציון ממוצע
פיזור ציונים בשתי כיתות
מורה שיודע שלכיתה ב' גדולה יותר, יודע שיש בה גם תלמידים חזקים מאוד וגם חלשים מאוד — מידע חשוב להוראה.
שלב 1 — הנתונים
במחלקת ייצור נמדדו אורכי ברגים (במ"מ). בשתי מכונות הממוצע זהה. במכונה א' האורכים הם 49, 50, 50, 51 ובמכונה ב' האורכים הם 45, 48, 52, 55. באיזו מכונה סטיית התקן של האורכים גדולה יותר?
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
דוגמה 3: גובה הממוצע אינו קובע את הפיזור
שתי תחנות מזג אוויר
טעות נפוצה: לחשוב ש'ממוצע גבוה = סטיית תקן גדולה'. אין קשר כזה!
שלב 1 — הנתונים
שתי תחנות מזג אוויר מדדו את הטמפרטורה (במעלות צלזיוס) בכל יום במשך שבוע. בתחנה X הטמפרטורה הממוצעת הייתה וכל המדידות נעו בין ל-. בתחנה Y הטמפרטורה הממוצעת הייתה וכל המדידות נעו בין ל-. איזו טענה נכונה?
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
דוגמה 4: כשאין פיזור כלל
כל המתנדבים תרמו אותו מספר שעות
מתרחש אך ורק כשאין שום שונות בנתונים.
שלב 1 — הנתונים
טעויות נפוצות
טעות נפוצה: אותו ממוצע = אותה סטיית תקן
ו- — שתיהן עם ממוצע 7, אך הפיזור שונה לחלוטין ( מול ).
למה זה קורה?
איך מתקנים?
טעות נפוצה: מבלבלים בין טווח לבין סטיית תקן
לשתי קבוצות יכול להיות אותו טווח אך פיזור שונה, כי הטווח 'עיוור' למה שקורה בין הקצוות.
למה זה קורה?
איך מתקנים?
טעות נפוצה: סטיית תקן גדולה = ממוצע גבוה
תחנה עם ממוצע 18° יכולה להיות בעלת סטיית תקן גדולה יותר מתחנה עם ממוצע 25°, אם הטמפרטורות בה מפוזרות יותר.
למה זה קורה?
איך מתקנים?
טעות נפוצה: סטיית תקן יכולה להיות שלילית
תמיד, ו- רק כשכל הנתונים שווים.
למה זה קורה?
איך מתקנים?
סיכום
מה למדנו?
- סטיית התקן () היא מדד פיזור — היא מודדת כמה הנתונים מפוזרים סביב הממוצע.
- גדולה ⟵ פיזור גדול (קבוצה הטרוגנית); קטנה ⟵ נתונים מקובצים (קבוצה הומוגנית); ⟵ כל הנתונים שווים.
- אפשר להשוות פיזור בין קבוצות בלי לחשב — פשוט בודקים היכן הנתונים מתרחקים יותר מהממוצע.
- סטיית התקן אינה תלויה בגובה הממוצע, והיא לעולם אינה שלילית.
בשיעור הבא נלמד לחשב את סטיית התקן בנוסחה!
תרגול נוסף
עברו לתרגול כדי להתאמן על זיהוי פיזור והבנת משמעות סטיית התקן!