משוואת המעגל הקנונית והכללית

מבוא

מטרות השיעור

להבין שמשוואת המעגל היא הביטוי האנליטי של הגדרת המעגל כמקום גאומטרי — אוסף כל הנקודות שמרחקן ממרכז קבוע שווה לרדיוס.
להכיר את המשוואה הקנונית $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ (מרכז בראשית) ואת המשוואה הכללית $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .
לזהות מתוך המשוואה את המרכז (a,b) ואת הרדיוס R, ולכתוב משוואה מתוך נתונים.
לבדוק אם נקודה נתונה נמצאת על המעגל.
לעבור מהצורה המפותחת $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ לצורה המפורקת בעזרת השלמה לריבוע.

הרעיון המרכזי

המעגל כמקום גאומטרי

מעגל הוא אוסף כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה קבועה (המרכז) שווה למספר קבוע (הרדיוס R>0).

נשתמש בנוסחת המרחק בין שתי נקודות: המרחק מנקודה (x,y) למרכז (a,b) שווה ל- $(x - a)^{2} + (y - b)^{2}$ . הדרישה שמרחק זה יהיה R נותנת, לאחר העלאה בריבוע, את המשוואה הכללית של המעגל:

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

כאשר המרכז בראשית הצירים (a=0,\ b=0) מתקבלת המשוואה הקנונית:

x^{2} + y^{2} = R^{2}

לקרוא מרכז ורדיוס נכון

המרכז הוא (a,b) — הסימן הפוך לסימן שבתוך הסוגריים: $(x - 3)^{2}$ נותן a=3, ואילו $(x + 3)^{2} = (x - (- 3))^{2}$ נותן a=-3.
אגף ימין שווה ל- $R^{2}$ ולא ל-R. כדי למצוא את הרדיוס מוציאים שורש: אם אגף ימין הוא 25, אז R=5.

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: המשוואה $(x+4)^{2} + (y-1)^{2} = 16$ מתארת מעגל שרדיוסו 16.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי מרכז ורדיוס

מצאו את המרכז והרדיוס של $(x-3)^{2} + (y+2)^{2} = 25$

(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 25 \Rightarrow מרכז (3, - 2), R = 5

שלב 1 — משווים לתבנית

(x-a)^{2} + (y-b)^{2} = R^{2}

בדיקה מהירה

מהם המרכז והרדיוס של המעגל שמשוואתו $(x-3)^{2} + (y+2)^{2} = 25$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: כתיבת משוואה מתוך מרכז ורדיוס

כתבו את משוואת המעגל שמרכזו $(2, -5)$ ורדיוסו 3

(x - 2)^{2} + (y + 5)^{2} = 9

שלב 1 — מציבים בתבנית

(x-a)^{2} + (y-b)^{2} = R^{2}

עם

a=2, b=-5, R=3

דוגמה 3: בדיקה אם נקודה על המעגל

האם הנקודה $A(6, 2)$ נמצאת על המעגל $(x-2)^{2} + (y-5)^{2} = 25$ ?

(6 - 2)^{2} + (2 - 5)^{2} = 16 + 9 = 25 = R^{2}

אם התוצאה גדולה מ- $R^{2}$ הנקודה מחוץ למעגל; אם קטנה ממנו — בתוך המעגל.

שלב 1 — מציבים את שיעורי הנקודה באגף שמאל

(6-2)^{2} + (2-5)^{2}

בדיקה מהירה

מצאו את משוואת המעגל שמרכזו $(1, 3)$ ועובר דרך הנקודה $(4, 7)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מהצורה המפותחת לצורה המפורקת (השלמה לריבוע)

מצאו מרכז ורדיוס של $x^{2} + y^{2} - 6x + 4y - 12 = 0$

x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 12 = 0 ⟹ (x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 25

שלב 1 — מקבצים לפי משתנים

(x^{2} - 6x) + (y^{2} + 4y) - 12 = 0

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בלבול בין R ל- $R^{2}$

טעות: $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9 \Rightarrow R = 9$

נכון: $R = 9 = 3$

למה זה קורה?

אגף ימין במשוואה הוא

R^{2}

, אבל תלמידים קוראים אותו כרדיוס.

איך מתקנים?

תמיד הוציאו שורש לאגף ימין: אם כתוב 25, הרדיוס הוא 5.

טעות נפוצה: סימן שגוי בשיעורי המרכז

טעות: $(x + 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 16 \Rightarrow מרכז (4, - 1)$

נכון: מרכז (-4,\,1)

למה זה קורה?

המינוס כבר נמצא בתבנית

(x-a)

, אז תלמידים שוכחים להפוך את הסימן.

איך מתקנים?

המרכז הוא (a, b) עם סימן הפוך לזה שבסוגריים:

(x+4)

פירושו

a = -4

טעות נפוצה: שגיאה בהשלמה לריבוע — שוכחים לחסר את הקבוע שהוסף

טעות: $x^{2} - 6 x + y^{2} + 4 y - 12 = 0 \Rightarrow (x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 12$

נכון: $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 12 + 9 + 4 = 25$

למה זה קורה?

בהשלמה לריבוע מוסיפים (חצי המקדם)

^{2}

, אבל שוכחים לחסר אותו כדי לשמור על שוויון.

איך מתקנים?

כל קבוע שהוספתם בתוך הריבוע חייב להיחסר מיד:

x^{2}-6x = (x-3)^{2} - 9

, לא

(x-3)^{2}

טעות נפוצה: חושבים שכל משוואה ריבועית היא מעגל

$(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = - 4$ אינה מתארת מעגל — אין נקודה שמרחקה בריבוע שלילי.

למה זה קורה?

גם כשהמקדמים של

x^{2}

ו-

y^{2}

שונים, או כשאגף ימין שלילי, תלמידים מניחים שמדובר במעגל.

איך מתקנים?

מעגל מתקיים רק כאשר מקדמי

x^{2}

ו-

y^{2}

שווים (וחיוביים) ואחרי השלמה לריבוע מתקבל

R^{2}

חיובי.

תשובה קצרה

נתונה המשוואה $x^{2} + y^{2} - 6x + 4y - 12 = 0$ . מצאו את מרכז המעגל ואת רדיוסו (כתבו בצורה: מרכז (a,b), רדיוס R).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

משוואת המעגל:

קנונית (מרכז בראשית): $x^{2} + y^{2} = R^{2}$
כללית (מרכז (a,b)): $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$

עקרונות מפתח:

המרכז הוא (a,b) — סימן הפוך לסוגריים. אגף ימין הוא $R^{2}$ .
בדיקת נקודה: מציבים באגף שמאל ומשווים ל- $R^{2}$ .
מהצורה המפותחת $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ מגיעים לצורה המפורקת בהשלמה לריבוע.
משוואת המעגל היא הביטוי האנליטי של המעגל כמקום גאומטרי.

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לקרוא, לכתוב ולפענח כל משוואת מעגל.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על זיהוי מרכז ורדיוס, כתיבת משוואות והשלמה לריבוע!

משוואת המעגל הקנונית והכללית

משוואת המעגל הקנונית והכללית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי מרכז ורדיוס

מצאו את המרכז והרדיוס של (x−3)2+(y+2)2=25(x-3)^{2} + (y+2)^{2} = 25(x−3)2+(y+2)2=25

דוגמה 2: כתיבת משוואה מתוך מרכז ורדיוס

כתבו את משוואת המעגל שמרכזו (2,−5)(2, -5)(2,−5) ורדיוסו 3

דוגמה 3: בדיקה אם נקודה על המעגל

האם הנקודה A(6,2)A(6, 2)A(6,2) נמצאת על המעגל (x−2)2+(y−5)2=25(x-2)^{2} + (y-5)^{2} = 25(x−2)2+(y−5)2=25?

דוגמה 4: מהצורה המפותחת לצורה המפורקת (השלמה לריבוע)

מצאו מרכז ורדיוס של x2+y2−6x+4y−12=0x^{2} + y^{2} - 6x + 4y - 12 = 0x2+y2−6x+4y−12=0

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בלבול בין R ל-R2R^{2}R2

טעות נפוצה: סימן שגוי בשיעורי המרכז

טעות נפוצה: שגיאה בהשלמה לריבוע — שוכחים לחסר את הקבוע שהוסף

טעות נפוצה: חושבים שכל משוואה ריבועית היא מעגל

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את המרכז והרדיוס של $(x-3)^{2} + (y+2)^{2} = 25$

כתבו את משוואת המעגל שמרכזו $(2, -5)$ ורדיוסו 3

האם הנקודה $A(6, 2)$ נמצאת על המעגל $(x-2)^{2} + (y-5)^{2} = 25$ ?

מצאו מרכז ורדיוס של $x^{2} + y^{2} - 6x + 4y - 12 = 0$

טעות נפוצה: בלבול בין R ל- $R^{2}$