מעגל חוסם משולש לפי שלושת קודקודיו
מבוא
מטרות השיעור
- להבין מדוע חיתוך האנכים האמצעיים הוא מרכז המעגל החוסם.
- למצוא את משוואת האנך האמצעי לצלע: דרך אמצע הצלע, בשיפוע הנגדי-ההופכי לשיפוע הצלע.
- לחשב את מרכז המעגל החוסם כנקודת החיתוך של שני אנכים אמצעיים.
- לקבוע את הרדיוס כמרחק מהמרכז לאחד הקודקודים, ולכתוב את משוואת המעגל.
- לדעת היכן נמצא המרכז לפי סוג המשולש (חד-זווית — בפנים, ישר-זווית — על היתר, קהה-זווית — בחוץ).
הרעיון המרכזי
למה האנכים האמצעיים?
מרכז המעגל החוסם נמצא במרחק שווה משלושת הקודקודים (הרי כל קודקוד נמצא במרחק R מהמרכז). אוסף כל הנקודות שמרחקן שווה משני קצות צלע הוא בדיוק האנך האמצעי לאותה צלע. לכן המרכז נמצא על כל שלושת האנכים האמצעיים — והם נחתכים בנקודה אחת.
מספיק לחתוך שניים מהם כדי למצוא את המרכז; השלישי עובר אוטומטית באותה נקודה.
מרכז המעגל החוסם משולש הוא נקודת המפגש של:
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
אלגוריתם — מעגל חוסם משולש
- בחרו שתי צלעות. לכל אחת מצאו את אמצע הצלע ואת שיפוע הצלע.
- בנו את האנך האמצעי: עובר דרך האמצע, בשיפוע (צלע אופקית ⟶ אנך אנכי ; צלע אנכית ⟶ אנך אופקי ).
- חתכו את שני האנכים האמצעיים ⟶ זהו המרכז (a,b).
- חשבו את הרדיוס: לקודקוד כלשהו.
- כתבו את משוואת המעגל: (כדאי לבדוק שגם שני הקודקודים האחרים מקיימים אותה).
נכון או לא נכון: האנך האמצעי לצלע עובר דרך אמצע הצלע ומאונך לה.
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
דוגמאות מפורטות
דוגמה 1: אנך אמצעי לצלע אלכסונית
מצאו את האנך האמצעי לצלע AC, כאשר ו-
שלב 1 — אמצע הצלע
דוגמה 2: מרכז המעגל החוסם (חיתוך אנכים אמצעיים)
מצאו את מרכז המעגל החוסם את המשולש
שלב 1 — אנך אמצעי ל-AC
כתבו את משוואת המעגל החוסם את המשולש שקודקודיו .
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
נתון משולש שקודקודיו . מצאו את מרכז המעגל החוסם אותו. (כתבו את הנקודה)
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
דוגמה 3: רדיוס ומשוואת המעגל החוסם
מצאו את הרדיוס ואת משוואת המעגל החוסם (מרכז
שלב 1 — רדיוס לקודקוד
דוגמה 4: שילוב עם משולש ישר-זווית
מצאו את המעגל החוסם את המשולש ישר-הזווית
קיצור דרך: במשולש ישר-זווית המרכז הוא אמצע היתר.
שלב 1 — אנך אמצעי ל-AB
טעויות נפוצות
טעות נפוצה: חותכים תיכונים או גבהים במקום אנכים אמצעיים
המעגל החוסם ⟵ אנכים אמצעיים. המעגל החסום ⟵ חוצי זוויות.
למה זה קורה?
איך מתקנים?
טעות נפוצה: נותנים לאנך האמצעי את שיפוע הצלע
אם אז שיפוע האנך הוא -2, לא .
למה זה קורה?
איך מתקנים?
טעות נפוצה: מעבירים את האנך דרך קודקוד במקום דרך אמצע הצלע
אמצע הצלע
למה זה קורה?
איך מתקנים?
טעות נפוצה: שוכחים את הרדיוס או רושמים R במקום
מרכז (3, 4), ⟶ (לא 5).
למה זה קורה?
איך מתקנים?
סיכום
מה למדנו?
מעגל חוסם משולש — אלגוריתם:
- שני אנכים אמצעיים (דרך אמצע צלע, שיפוע ).
- חיתוך ⟶ המרכז (a,b).
- רדיוס: .
- משוואה: , ובדיקה בשלושת הקודקודים.
מיקום המרכז לפי סוג המשולש:
- חד-זווית ⟶ בתוך המשולש.
- ישר-זווית ⟶ על היתר (אמצע היתר).
- קהה-זווית ⟶ מחוץ למשולש.
עבודה מצוינת! חיברתם את כל מה שלמדתם ביחידה — משוואת מעגל, מרחקים, אנכים ומשיקים — לפתרון שלם.
תרגול נוסף
עברו לתרגול כדי להתאמן במציאת המעגל החוסם משולש לפי שלושת קודקודיו!