מעגל חוסם משולש לפי שלושת קודקודיו

30%
📖שיעור
50 דקות

מעגל חוסם משולש לפי שלושת קודקודיו

בשיעור זה נמצא את משוואת המעגל החוסם משולש לפי שלושת קודקודיו: נמצא אנכים אמצעיים לשתי צלעות, נחתוך אותם כדי לקבל את המרכז, נחשב את הרדיוס כמרחק לקודקוד ונכתוב את משוואת המעגל. נשלב בין הגישה האנליטית, האוקלידית והטריגונומטרית.

מעגל חוסם משולש לפי שלושת קודקודיו

מבוא

מטרות השיעור

  • להבין מדוע חיתוך האנכים האמצעיים הוא מרכז המעגל החוסם.
  • למצוא את משוואת האנך האמצעי לצלע: דרך אמצע הצלע, בשיפוע הנגדי-ההופכי לשיפוע הצלע.
  • לחשב את מרכז המעגל החוסם כנקודת החיתוך של שני אנכים אמצעיים.
  • לקבוע את הרדיוס כמרחק מהמרכז לאחד הקודקודים, ולכתוב את משוואת המעגל.
  • לדעת היכן נמצא המרכז לפי סוג המשולש (חד-זווית — בפנים, ישר-זווית — על היתר, קהה-זווית — בחוץ).

הרעיון המרכזי

למה האנכים האמצעיים?

מרכז המעגל החוסם נמצא במרחק שווה משלושת הקודקודים (הרי כל קודקוד נמצא במרחק R מהמרכז). אוסף כל הנקודות שמרחקן שווה משני קצות צלע הוא בדיוק האנך האמצעי לאותה צלע. לכן המרכז נמצא על כל שלושת האנכים האמצעיים — והם נחתכים בנקודה אחת.

מספיק לחתוך שניים מהם כדי למצוא את המרכז; השלישי עובר אוטומטית באותה נקודה.

בדיקה מהירה

מרכז המעגל החוסם משולש הוא נקודת המפגש של:

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

אלגוריתם — מעגל חוסם משולש

  1. בחרו שתי צלעות. לכל אחת מצאו את אמצע הצלע ואת שיפוע הצלע.
  2. בנו את האנך האמצעי: עובר דרך האמצע, בשיפוע (צלע אופקית ⟶ אנך אנכי ; צלע אנכית ⟶ אנך אופקי ).
  3. חתכו את שני האנכים האמצעיים ⟶ זהו המרכז (a,b).
  4. חשבו את הרדיוס: לקודקוד כלשהו.
  5. כתבו את משוואת המעגל: (כדאי לבדוק שגם שני הקודקודים האחרים מקיימים אותה).
נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: האנך האמצעי לצלע עובר דרך אמצע הצלע ומאונך לה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם


דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אנך אמצעי לצלע אלכסונית

מצאו את האנך האמצעי לצלע AC, כאשר A(6,8)A(6, 8) ו-C(2,4)C(-2, 4)

1

שלב 1 — אמצע הצלע

((6+(2))/2,8+42)=(2,6)((6 + (-2))/2, \frac{8 + 4}{2}) = (2, 6)

דוגמה 2: מרכז המעגל החוסם (חיתוך אנכים אמצעיים)

מצאו את מרכז המעגל החוסם את המשולש A(6,8),B(7,1),C(2,4)A(6, 8), B(7, 1), C(-2, 4)

S=(3,4)
1

שלב 1 — אנך אמצעי ל-AC

מהדוגמה הקודמת: y=2x+10y = -2x + 10

תשובה קצרה

כתבו את משוואת המעגל החוסם את המשולש שקודקודיו A(0,0),B(6,0),C(0,8)A(0, 0), B(6, 0), C(0, 8).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

נתון משולש שקודקודיו A(0,0),B(6,0),C(0,8)A(0, 0), B(6, 0), C(0, 8). מצאו את מרכז המעגל החוסם אותו. (כתבו את הנקודה)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: רדיוס ומשוואת המעגל החוסם

מצאו את הרדיוס ואת משוואת המעגל החוסם (מרכז (3,4))(3, 4))

1

שלב 1 — רדיוס לקודקוד A(6,8)A(6, 8)

R2=(36)2+(48)2=9+16=25R=5R^{2} = (3 - 6)^{2} + (4 - 8)^{2} = 9 + 16 = 25 ⟶ R = 5

דוגמה 4: שילוב עם משולש ישר-זווית

מצאו את המעגל החוסם את המשולש ישר-הזווית A(0,0),B(6,0),C(0,8)A(0, 0), B(6, 0), C(0, 8)

קיצור דרך: במשולש ישר-זווית המרכז הוא אמצע היתר.

1

שלב 1 — אנך אמצעי ל-AB

AB אופקית, אמצע (3,0)(3, 0) ⟶ אנך אנכי: x=3x = 3

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חותכים תיכונים או גבהים במקום אנכים אמצעיים

המעגל החוסם ⟵ אנכים אמצעיים. המעגל החסום ⟵ חוצי זוויות.

למה זה קורה?

כל ה'קווים המיוחדים' במשולש מתבלבלים זה בזה.

איך מתקנים?

מרכז המעגל החוסם = חיתוך האנכים האמצעיים בלבד. תיכונים ⟶ מרכז הכובד; גבהים ⟶ מפגש הגבהים; חוצי זוויות ⟶ מרכז המעגל החסום.

טעות נפוצה: נותנים לאנך האמצעי את שיפוע הצלע

אם אז שיפוע האנך הוא -2, לא .

למה זה קורה?

שוכחים שהאנך מאונך לצלע.

איך מתקנים?

שיפוע האנך האמצעי הוא הנגדי-ההופכי לשיפוע הצלע: m=1m_m = -\frac{1}{m}\_צלע.

טעות נפוצה: מעבירים את האנך דרך קודקוד במקום דרך אמצע הצלע

אמצע הצלע

למה זה קורה?

מבלבלים בין גובה (דרך קודקוד) לאנך אמצעי (דרך אמצע).

איך מתקנים?

האנך האמצעי עובר תמיד דרך אמצע הצלע — חשבו קודם את שיעורי האמצע.

טעות נפוצה: שוכחים את הרדיוס או רושמים R במקום R2R^{2}

מרכז (3, 4), (לא 5).

למה זה קורה?

עוצרים אחרי מציאת המרכז, או מבלבלים בין R ל-R2R^{2}.

איך מתקנים?

אחרי המרכז חשבו R2=R^{2} = מרחק2^{2} לקודקוד, וזכרו שאגף ימין של המשוואה הוא R2R^{2}.

סיכום

מה למדנו?

מעגל חוסם משולש — אלגוריתם:

  1. שני אנכים אמצעיים (דרך אמצע צלע, שיפוע ).
  2. חיתוך ⟶ המרכז (a,b).
  3. רדיוס: .
  4. משוואה: , ובדיקה בשלושת הקודקודים.

מיקום המרכז לפי סוג המשולש:

  • חד-זווית ⟶ בתוך המשולש.
  • ישר-זווית ⟶ על היתר (אמצע היתר).
  • קהה-זווית ⟶ מחוץ למשולש.

עבודה מצוינת! חיברתם את כל מה שלמדתם ביחידה — משוואת מעגל, מרחקים, אנכים ומשיקים — לפתרון שלם.


תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן במציאת המעגל החוסם משולש לפי שלושת קודקודיו!

תרגול