המצב ההדדי בין ישר למעגל

מבוא

מטרות השיעור

להכיר את שלושת המצבים האפשריים בין ישר למעגל: חותך (שתי נקודות), משיק (נקודה אחת), אינו נחתך (אפס נקודות).
לקבוע את המצב ההדדי בדרך הראשונה — השוואת המרחק ממרכז המעגל לישר אל הרדיוס.
לקבוע את המצב ההדדי בדרך השנייה — פתרון מערכת המשוואות של הישר והמעגל וספירת נקודות החיתוך.
לקשר בין סימן הדיסקרימיננטה במערכת לבין מספר נקודות החיתוך.

הרעיון המרכזי

שתי דרכים לקבוע את המצב ההדדי

דרך 1 — מרחק מול רדיוס: מחשבים את המרחק d ממרכז המעגל אל הישר, ומשווים אותו לרדיוס R:

d<R ⟵ הישר חותך את המעגל בשתי נקודות.
d=R ⟵ הישר משיק למעגל (נקודה אחת).
d>R ⟵ הישר אינו נחתך עם המעגל.

נוסחת המרחק מנקודה $(x_{0}, y_{0})$ לישר ax+by+c=0:

d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}

דרך 2 — פתרון מערכת: מציבים את משוואת הישר במשוואת המעגל ומקבלים משוואה ריבועית ב-x. מספר הפתרונות הממשיים = מספר נקודות החיתוך, ונקבע לפי הדיסקרימיננטה $Δ$ :

$Δ > 0$ ⟵ שתי נקודות. $Δ = 0$ ⟵ נקודה אחת (משיק). $Δ < 0$ ⟵ אין חיתוך.

בדיקה מהירה

המרחק ממרכז המעגל לישר קטן מהרדיוס. מהו המצב ההדדי בין הישר למעגל?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: אם המרחק ממרכז המעגל לישר שווה בדיוק לרדיוס, אז הישר משיק למעגל.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מרחק מנקודה לישר

מצאו את המרחק מהראשית $(0, 0)$ לישר $3x + 4y - 10 = 0$

d = \frac{∣3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 10∣}{9 + 16} = \frac{10}{5} = 2

שלב 1 — מזהים מקדמים

a = 3, b = 4, c = -10

, והנקודה

(0, 0)

דוגמה 2: קביעת מצב הדדי בדרך המרחק

קבעו את המצב ההדדי: מעגל שמרכזו $(3, 1)$ , רדיוסו 5, והישר $y = 2x$

d = \frac{∣2 \cdot 3 - 1 \cdot 1∣}{2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{5}{5} = 5 < 5 = R

שלב 1 — מסדרים את הישר

y = 2x ⟶ 2x - y = 0

, כלומר

a=2, b=-1, c=0

דוגמה 3: קביעת מצב הדדי בדרך פתרון מערכת

כמה נקודות חיתוך יש לישר $y = x + 1$ עם המעגל $x^{2} + y^{2} = 25$ ?

x^{2} + x - 12 = 0, Δ = 49 > 0 \Rightarrow שתי נקודות

שלב 1 — מציבים את הישר במעגל

x^{2} + (x + 1)^{2} = 25

דוגמה 4: מציאת נקודות החיתוך עצמן

מצאו את נקודות החיתוך של $y = x + 1$ עם $x^{2} + y^{2} = 25$

שלב 1 — פותרים את המשוואה הריבועית

x^{2} + x - 12 = 0 ⟶ (x - 3)(x + 4) = 0 ⟶ x = 3

או

x = -4

דוגמה 5: מציאת פרמטר לתנאי משיקות

עבור אילו k הישר $x + y = k$ משיק למעגל $x^{2} + y^{2} = 8$ ?

\frac{∣ k ∣}{2} = 22 \Rightarrow ∣ k ∣ = 4

שלב 1 — מזהים מרכז ורדיוס

מרכז

(0, 0), R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

תשובה מספרית

כמה נקודות חיתוך יש לישר $y = x + 1$ עם המעגל $x^{2} + y^{2} = 25? ($ פתרו את המערכת)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מציבים בנוסחת המרחק בלי לסדר את הישר

טעות: מציבים ל-y = 2x את a=2, b=2

נכון: $2 x - y = 0 \Rightarrow a = 2, b = - 1, c = 0$

למה זה קורה?

הנוסחה דורשת את הישר בצורה

ax + by + c = 0

, אבל הישר נתון לרוב כ-

y = mx + n

איך מתקנים?

קודם מעבירים הכל לאגף אחד:

y = 2x

הופך ל-

2x - y = 0

, ורק אז מזהים

a=2, b=-1, c=0

טעות נפוצה: הופכים את הקריטריון d מול R

$d > R \Rightarrow אין חיתוך$ (ולא שני חיתוכים!)

למה זה קורה?

תלמידים חושבים ש-d גדול פירושו 'הרבה חיתוכים'.

איך מתקנים?

להפך:

d < R ⟶

שני חיתוכים

, d = R ⟶

משיק

, d > R ⟶

אין חיתוך. ככל שהישר רחוק מהמרכז כך פחות סיכוי לחתוך.

טעות נפוצה: דיסקרימיננטה שלילית 'נספרת' כפתרון

Δ < 0 \Rightarrow 0 נקודות חיתוך

למה זה קורה?

תלמידים מוצאים פתרונות מרוכבים וסופרים אותם כנקודות חיתוך.

איך מתקנים?

במישור הממשי רק פתרונות ממשיים הם נקודות חיתוך

. \Delta < 0

פירושו אפס נקודות חיתוך — הישר אינו נחתך.

טעות נפוצה: שוכחים ערך מוחלט במונה של נוסחת המרחק

טעות: מקבלים מרחק שלילי

נכון: המרחק הוא $∣ \dots ∣$ , תמיד אי-שלילי.

למה זה קורה?

מרחק הוא תמיד אי-שלילי, אבל הביטוי

ax_{0} + by_{0} + c

עשוי לצאת שלילי.

איך מתקנים?

תמיד עוטפים את המונה בערך מוחלט:

d = |ax_{0} + by_{0} + c| / \sqrt{a^{2}+b^{2}}

בדיקה מהירה

עבור אילו ערכים של k הישר $x + y = k$ משיק למעגל $x^{2} + y^{2} = 8$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

שלושה מצבים, שתי דרכים:

מצב	מרחק מול רדיוס	דיסקרימיננטה
חותך (2 נקודות)	d<R	$Δ > 0$
משיק (נקודה אחת)	d=R	$Δ = 0$
אינו נחתך	d>R	$Δ < 0$

עקרונות מפתח:

נוסחת המרחק: $d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ — סדרו קודם את הישר ל-ax+by+c=0.
בדרך המערכת: מציבים, מקבלים משוואה ריבועית, וסופרים פתרונות לפי $Δ$ .
שתי הדרכים נותנות תמיד את אותה תשובה — בחרו לפי השאלה.

יפה מאוד! עכשיו תוכלו לקבוע כל מצב הדדי בין ישר למעגל.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן בשתי הדרכים לקביעת המצב ההדדי בין ישר למעגל!

המצב ההדדי בין ישר למעגל

המצב ההדדי בין ישר למעגל

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מרחק מנקודה לישר

מצאו את המרחק מהראשית (0,0)(0, 0)(0,0) לישר 3x+4y−10=03x + 4y - 10 = 03x+4y−10=0

דוגמה 2: קביעת מצב הדדי בדרך המרחק

קבעו את המצב ההדדי: מעגל שמרכזו (3,1)(3, 1)(3,1), רדיוסו 5, והישר y=2xy = 2xy=2x

דוגמה 3: קביעת מצב הדדי בדרך פתרון מערכת

כמה נקודות חיתוך יש לישר y=x+1y = x + 1y=x+1 עם המעגל x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25x2+y2=25?

דוגמה 4: מציאת נקודות החיתוך עצמן

מצאו את נקודות החיתוך של y=x+1y = x + 1y=x+1 עם x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25x2+y2=25

דוגמה 5: מציאת פרמטר לתנאי משיקות

עבור אילו k הישר x+y=kx + y = kx+y=k משיק למעגל x2+y2=8x^{2} + y^{2} = 8x2+y2=8?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מציבים בנוסחת המרחק בלי לסדר את הישר

טעות נפוצה: הופכים את הקריטריון d מול R

טעות נפוצה: דיסקרימיננטה שלילית 'נספרת' כפתרון

טעות נפוצה: שוכחים ערך מוחלט במונה של נוסחת המרחק

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את המרחק מהראשית $(0, 0)$ לישר $3x + 4y - 10 = 0$

קבעו את המצב ההדדי: מעגל שמרכזו $(3, 1)$ , רדיוסו 5, והישר $y = 2x$

כמה נקודות חיתוך יש לישר $y = x + 1$ עם המעגל $x^{2} + y^{2} = 25$ ?

מצאו את נקודות החיתוך של $y = x + 1$ עם $x^{2} + y^{2} = 25$

עבור אילו k הישר $x + y = k$ משיק למעגל $x^{2} + y^{2} = 8$ ?