אנך למיתר דרך המרכז, מיתרים וקשתות שווים

מבוא

מטרות השיעור

להכיר את שלושת המשפטים הקושרים בין אנך, מרכז וחציית מיתר
להשתמש במשולש ישר-הזווית $r^{2} = d^{2} + (\frac{L}{2})^{2}$ לחישובי מיתר, מרחק ורדיוס
להבין את הקשר מיתרים שווים ⟺ מרחקים שווים מהמרכז
להבין את הקשר זוויות מרכזיות שוות ⟺ מיתרים שווים ⟺ קשתות שוות

הרעיון המרכזי

שלושת משפטי האנך והמיתר

שלושת המשפטים האלה קשורים זה לזה, וכל אחד מהם מספיק כדי להסיק את האחרים בהינתן שני מאפיינים מתוך שלושה (מאונך / חוצה / עובר דרך המרכז):

אנך למיתר העובר דרך המרכז — חוצה את המיתר.
ישר העובר דרך המרכז וחוצה מיתר (שאינו קוטר) — מאונך למיתר.
ישר המאונך למיתר וחוצה אותו — עובר דרך המרכז.

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: ישר העובר דרך מרכז המעגל וחוצה מיתר (שאינו קוטר) — מאונך למיתר.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

הקשר הבסיסי לחישוב — משפט פיתגורס

כאשר אנך באורך d יורד מהמרכז אל מיתר באורך L, הוא חוצה את המיתר ויוצר משולש ישר-זווית:

r^{2} = d^{2} + (\frac{L}{2})^{2}

r — רדיוס (היתר), d — מרחק המיתר מהמרכז, $\frac{L}{2}$ — חצי המיתר.
מכאן ככל שהמיתר ארוך יותר, הוא קרוב יותר למרכז.

מיתרים, קשתות וזוויות מרכזיות שווים

במעגל נתון (או בשני מעגלים בעלי רדיוס שווה) מתקיים:

זוויות מרכזיות שוות ⟺ מיתרים שווים ⟺ קשתות שוות ⟺ מרחקים שווים מהמרכז.

כל אחד מהקשרים האלה מוכח בעזרת חפיפת משולשים (צ.ז.צ — שני רדיוסים שווים והזווית ביניהם).

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: במעגל אחד, לזוויות מרכזיות שוות מתאימים מיתרים שווים.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מציאת אורך מיתר

במעגל שרדיוסו 10, מיתר במרחק 6 מהמרכז. מצאו את אורך המיתר

r^{2} = d^{2} + (\frac{L}{2})^{2} \Rightarrow 100 = 36 + (\frac{L}{2})^{2} \Rightarrow L = 16

שלב 1 — האנך חוצה את המיתר

נסמן חצי-מיתר

= x

. נוצר משולש ישר-זווית עם ניצבים 6 ו-x והיתר 10

תשובה מספרית

במעגל שרדיוסו 10 ס"מ, מיתר נמצא במרחק 6 ס"מ מהמרכז. מהו אורך המיתר (בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מציאת מרחק מהמרכז

במעגל שרדיוסו 13, מיתר באורך 10. מצאו את מרחקו מהמרכז

d = r^{2} - (\frac{L}{2})^{2} = 169 - 25 = 12

שלב 1 — חצי-מיתר

\frac{L}{2} = \frac{10}{2} = 5

תשובה מספרית

במעגל שרדיוסו 13 ס"מ, אורך מיתר הוא 10 ס"מ. מהו מרחק המיתר מהמרכז (בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מציאת רדיוס

מיתר באורך 24 נמצא במרחק 5 מהמרכז. מצאו את הרדיוס

r = d^{2} + (\frac{L}{2})^{2} = 25 + 144 = 13

שלב 1 — חצי-מיתר

\frac{L}{2} = \frac{24}{2} = 12

דוגמה 4: מיתרים שווים שווי-מרחק

במעגל שרדיוסו 25, שני מיתרים שווים באורך 14 כל אחד. מצאו את מרחקם מהמרכז

d = 2 5^{2} - 7^{2} = 576 = 24

מיתרים שווים תמיד שווי-מרחק מהמרכז — בלי קשר לכיוונם!

שלב 1 — חצי-מיתר

\frac{L}{2} = \frac{14}{2} = 7 (

לשני המיתרים)

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חשיבה שכל קטע מהמרכז למיתר חוצה אותו

המשפט דורש ניצבות: אנך ⊥ מיתר ⟹ חציית המיתר.

למה זה קורה?

התלמיד מתעלם מתנאי הניצבות.

איך מתקנים?

רק האנך (הקטע הניצב) מהמרכז חוצה את המיתר. קטע אלכסוני מהמרכז למיתר אינו חוצה אותו.

טעות נפוצה: ניסיון להשוות חצי-מיתר לרדיוס ישירות

טעות: $\frac{L}{2} = r$

נכון: $r^{2} = d^{2} + (\frac{L}{2})^{2}$

למה זה קורה?

התלמיד שוכח את משפט פיתגורס ומניח שחצי-המיתר שווה לרדיוס.

איך מתקנים?

המרחק d, חצי-המיתר

\frac{L}{2}

והרדיוס r יוצרים משולש ישר-זווית:

r^{2} = d^{2} + (\frac{L}{2})^{2}

. חצי-המיתר תמיד קטן מ-r (אלא אם

d=0

, ואז המיתר קוטר).

טעות נפוצה: קשירת 'מיתרים שווים' לכיוון או למקבילות

שני מיתרים באורך זהה — מרחקם מהמרכז זהה, בכל זווית.

למה זה קורה?

התלמיד חושב שרק מיתרים מקבילים יכולים להיות שווי-מרחק.

איך מתקנים?

הקשר 'מיתרים שווים ⟺ מרחקים שווים מהמרכז' אינו תלוי בכיוון המיתרים. מיתרים שווים, גם אם נחתכים, נמצאים באותו מרחק מהמרכז.

טעות נפוצה: בלבול בין מידת קשת לאורך קשת בהשוואת קשתות

במעגל אחד: קשתות שוות ⟺ מיתרים שווים ⟺ זוויות מרכזיות שוות.

למה זה קורה?

התלמיד מערבב את שני הגדלים.

איך מתקנים?

קשתות שוות (אותה מידה במעלות) במעגל נתון מתאימות למיתרים שווים ולזוויות מרכזיות שוות. במעגלים שונים בעלי רדיוס שונה — אותה מידה בקשת אינה אומרת אותו מיתר.

סיכום

מה למדנו?

שלושת המשפטים: אנך + מרכז ⟹ חוצה; מרכז + חוצה ⟹ אנך; אנך + חוצה ⟹ עובר דרך המרכז.
הקשר לחישוב: $r^{2} = d^{2} + (\frac{L}{2})^{2}$ .
שקילות: זוויות מרכזיות שוות ⟺ מיתרים שווים ⟺ קשתות שוות ⟺ מרחקים שווים מהמרכז.
אנך מהמרכז למיתר חוצה גם את הזווית המרכזית ואת הקשת המתאימות למיתר.

מצוין! כעת תוכלו לפתור בעיות מיתרים בעזרת משפט פיתגורס וחפיפת משולשים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על משפטי האנך, המיתר והקשתות השוות!