הגדרת המעגל ומושגי יסוד: היקף ושטח
מבוא
מטרות השיעור
- להגדיר את המעגל כמקום גאומטרי — אוסף הנקודות במרחק קבוע מנקודה נתונה
- להכיר את מושגי היסוד: רדיוס, קוטר, מיתר, קשת, עיגול, גזרה
- להבין מהי זווית מרכזית ומהי זווית היקפית, וכיצד מודדים קשת
- לחשב היקף מעגל ושטח עיגול
הרעיון המרכזי
המעגל כמקום גאומטרי
מעגל הוא אוסף כל הנקודות במישור הנמצאות במרחק קבוע מנקודה נתונה.
- הנקודה הקבועה נקראת מרכז המעגל (נסמן O).
- המרחק הקבוע נקרא רדיוס (נסמן r).
חשוב להבחין: המעגל הוא הקו (השפה) בלבד, ואילו העיגול הוא הקו יחד עם כל הנקודות הפנימיות לו.
כיצד מוגדר מעגל כמקום גאומטרי?
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
מושגי יסוד
- רדיוס — קטע המחבר את המרכז עם נקודה על המעגל. אורכו r.
- קוטר — מיתר העובר דרך המרכז. אורכו d = 2r, והוא המיתר הארוך ביותר.
- מיתר — קטע המחבר שתי נקודות על המעגל.
- קשת — חלק מהמעגל בין שתי נקודות. כל מיתר מגדיר קשת קטנה וקשת גדולה.
- גזרה — חלק מהעיגול הכלוא בין שני רדיוסים והקשת שביניהם.
זווית מרכזית — זווית שקדקודה במרכז ושוקיה שני רדיוסים. מידת קשת מוגדרת כמידת הזווית המרכזית הנשענת עליה (לכן קשת שלמה היא ).
זווית היקפית — זווית שקדקודה על המעגל ושוקיה שני מיתרים (נרחיב עליה בשיעור נפרד).
הרדיוס של מעגל הוא 7 ס"מ. מהו אורך הקוטר שלו (בס"מ)?
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
היקף מעגל ושטח עיגול
לכל מעגל היחס בין ההיקף לקוטר קבוע, והוא המספר .
היקף מעגל:
שטח עיגול:
שימו לב ליחידות: היקף נמדד ביחידות אורך (ס"מ), שטח נמדד ביחידות ריבועיות (סמ"ר).
דוגמאות מפורטות
דוגמה 1: מרדיוס להיקף ולשטח
מעגל שרדיוסו 5 ס"מ — חשבו היקף ושטח
שלב 1 — נוסחת ההיקף
מעגל שרדיוסו 5 ס"מ. חשבו את היקפו בס"מ. השתמשו ב- ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.
סטייה מותרת: ±0.1
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
דוגמה 2: מקוטר לשטח
הקוטר של עיגול הוא 12 ס"מ. מצאו את שטחו
טעות נפוצה: להציב את הקוטר 12 ישירות בנוסחה. תמיד עוברים קודם לרדיוס!
שלב 1 — מקוטר לרדיוס
מעגל שרדיוסו 6 ס"מ. חשבו את שטח העיגול. תנו את התשובה כמקדם של כלומר רשמו רק את המספר שמכפיל את .
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
דוגמה 3: מהיקף נתון לרדיוס ולשטח
היקף מעגל הוא ס"מ. מצאו את הרדיוס ואת השטח
שלב 1 — משווים להיקף
דוגמה 4: מדידת קשת באמצעות זווית מרכזית
במעגל שמרכזו O, הזווית המרכזית AOB היא . מהי מידת הקשת AB הקטנה ומהי מידת הקשת הגדולה?
שלב 1 — מידת קשת = זווית מרכזית
טעויות נפוצות
טעות נפוצה: בלבול בין רדיוס לקוטר
טעות: עבור קוטר 12 חישבו
נכון:
למה זה קורה?
איך מתקנים?
טעות נפוצה: ערבוב בין נוסחת ההיקף לנוסחת השטח
טעות: היקף
נכון: היקף , שטח
למה זה קורה?
איך מתקנים?
טעות נפוצה: חשיבה שמיתר תמיד עובר דרך המרכז
הקוטר הוא המיתר הארוך ביותר, באורך 2r. מיתר אחר מקיים .
למה זה קורה?
איך מתקנים?
טעות נפוצה: בלבול בין מידת קשת (מעלות) לאורך קשת (ס"מ)
קשת בת היא תמיד רבע מעגל, אך אורכה גדל ככל שהרדיוס גדל.
למה זה קורה?
איך מתקנים?
סיכום
מה למדנו?
- מעגל = מקום גאומטרי של נקודות במרחק קבוע (רדיוס) ממרכז.
- קוטר = 2r, והוא המיתר הארוך ביותר.
- מידת קשת = מידת הזווית המרכזית הנשענת עליה; קשת שלמה .
- היקף: | שטח:
- בדקו תמיד יחידות: היקף בס"מ, שטח בסמ"ר.
כל הכבוד! עכשיו יש לכם בסיס איתן להמשך לימוד תכונות המעגל.
תרגול נוסף
עברו לתרגול כדי להתאמן על מושגי היסוד ועל חישובי היקף ושטח!