הגדרת המעגל ומושגי יסוד: היקף ושטח

30%
📖שיעור
40 דקות

הגדרת המעגל ומושגי יסוד: היקף ושטח

בשיעור זה נגדיר את המעגל כמקום גאומטרי, נכיר את מושגי היסוד — רדיוס, קוטר, מיתר, קשת, גזרה, זווית מרכזית וזווית היקפית — ונחשב היקף מעגל ושטח עיגול

הגדרת המעגל ומושגי יסוד: היקף ושטח

מבוא

מטרות השיעור

  • להגדיר את המעגל כמקום גאומטרי — אוסף הנקודות במרחק קבוע מנקודה נתונה
  • להכיר את מושגי היסוד: רדיוס, קוטר, מיתר, קשת, עיגול, גזרה
  • להבין מהי זווית מרכזית ומהי זווית היקפית, וכיצד מודדים קשת
  • לחשב היקף מעגל ושטח עיגול

הרעיון המרכזי

המעגל כמקום גאומטרי

מעגל הוא אוסף כל הנקודות במישור הנמצאות במרחק קבוע מנקודה נתונה.

  • הנקודה הקבועה נקראת מרכז המעגל (נסמן O).
  • המרחק הקבוע נקרא רדיוס (נסמן r).

חשוב להבחין: המעגל הוא הקו (השפה) בלבד, ואילו העיגול הוא הקו יחד עם כל הנקודות הפנימיות לו.

בדיקה מהירה

כיצד מוגדר מעגל כמקום גאומטרי?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

מושגי יסוד

  • רדיוס — קטע המחבר את המרכז עם נקודה על המעגל. אורכו r.
  • קוטר — מיתר העובר דרך המרכז. אורכו d = 2r, והוא המיתר הארוך ביותר.
  • מיתר — קטע המחבר שתי נקודות על המעגל.
  • קשת — חלק מהמעגל בין שתי נקודות. כל מיתר מגדיר קשת קטנה וקשת גדולה.
  • גזרה — חלק מהעיגול הכלוא בין שני רדיוסים והקשת שביניהם.

זווית מרכזית — זווית שקדקודה במרכז ושוקיה שני רדיוסים. מידת קשת מוגדרת כמידת הזווית המרכזית הנשענת עליה (לכן קשת שלמה היא ).

זווית היקפית — זווית שקדקודה על המעגל ושוקיה שני מיתרים (נרחיב עליה בשיעור נפרד).

תשובה מספרית

הרדיוס של מעגל הוא 7 ס"מ. מהו אורך הקוטר שלו (בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

היקף מעגל ושטח עיגול

לכל מעגל היחס בין ההיקף לקוטר קבוע, והוא המספר .

היקף מעגל:

שטח עיגול:

שימו לב ליחידות: היקף נמדד ביחידות אורך (ס"מ), שטח נמדד ביחידות ריבועיות (סמ"ר).


דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מרדיוס להיקף ולשטח

מעגל שרדיוסו 5 ס"מ — חשבו היקף ושטח

1

שלב 1 — נוסחת ההיקף

P=2πr=2π5=10π31.42P = 2\pi r = 2 \cdot \pi \cdot 5 = 10\pi ≈ 31.42 ס"מ
תשובה מספרית

מעגל שרדיוסו 5 ס"מ. חשבו את היקפו בס"מ. השתמשו ב-π3.14\pi ≈ 3.14 ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם


דוגמה 2: מקוטר לשטח

הקוטר של עיגול הוא 12 ס"מ. מצאו את שטחו

טעות נפוצה: להציב את הקוטר 12 ישירות בנוסחה. תמיד עוברים קודם לרדיוס!

1

שלב 1 — מקוטר לרדיוס

r=d2=122=6r = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6 ס"מ
תשובה מספרית

מעגל שרדיוסו 6 ס"מ. חשבו את שטח העיגול. תנו את התשובה כמקדם של π(\pi (כלומר רשמו רק את המספר שמכפיל את π)\pi ).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם


דוגמה 3: מהיקף נתון לרדיוס ולשטח

היקף מעגל הוא 18π18\pi ס"מ. מצאו את הרדיוס ואת השטח

1

שלב 1 — משווים להיקף

2πr=18π2\pi r = 18\pi

דוגמה 4: מדידת קשת באמצעות זווית מרכזית

במעגל שמרכזו O, הזווית המרכזית AOB היא 120120^{\circ}. מהי מידת הקשת AB הקטנה ומהי מידת הקשת הגדולה?

1

שלב 1 — מידת קשת = זווית מרכזית

מידת הקשת הקטנה AB שווה לזווית המרכזית הנשענת עליה: 120120^{\circ}

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בלבול בין רדיוס לקוטר

טעות: עבור קוטר 12 חישבו

נכון:

למה זה קורה?

התלמיד מציב את הקוטר במקום הרדיוס בנוסחאות, או מתבלבל בין d ל-r.

איך מתקנים?

זכרו: d=2rd = 2r. לפני שמציבים בנוסחת ההיקף או השטח, ודאו שיש לכם את הרדיוס. אם נתון הקוטר — חלקו אותו ב-2.

טעות נפוצה: ערבוב בין נוסחת ההיקף לנוסחת השטח

טעות: היקף

נכון: היקף , שטח

למה זה קורה?

שתי הנוסחאות מכילות π\pi ו-r, וקל להחליף ביניהן.

איך מתקנים?

ההיקף הוא 2πr(2\pi r (חזקה ראשונה של r, יחידת אורך). השטח הוא πr2(r\pi r^{2} (r בריבוע, יחידת שטח). בדקו את היחידות בתשובה.

טעות נפוצה: חשיבה שמיתר תמיד עובר דרך המרכז

הקוטר הוא המיתר הארוך ביותר, באורך 2r. מיתר אחר מקיים .

למה זה קורה?

התלמיד מזהה כל מיתר עם הקוטר.

איך מתקנים?

הקוטר הוא מיתר מיוחד — היחיד שעובר דרך המרכז. רוב המיתרים אינם עוברים דרך המרכז ואורכם קטן מ-2r.

טעות נפוצה: בלבול בין מידת קשת (מעלות) לאורך קשת (ס"מ)

קשת בת היא תמיד רבע מעגל, אך אורכה גדל ככל שהרדיוס גדל.

למה זה קורה?

לשני הגדלים קוראים 'קשת', אך הם נמדדים אחרת.

איך מתקנים?

מידת הקשת היא הזווית המרכזית הנשענת עליה (במעלות). אורך הקשת הוא חלק מההיקף, ותלוי גם ברדיוס.

סיכום

מה למדנו?

  • מעגל = מקום גאומטרי של נקודות במרחק קבוע (רדיוס) ממרכז.
  • קוטר = 2r, והוא המיתר הארוך ביותר.
  • מידת קשת = מידת הזווית המרכזית הנשענת עליה; קשת שלמה .
  • היקף:  |  שטח:
  • בדקו תמיד יחידות: היקף בס"מ, שטח בסמ"ר.

כל הכבוד! עכשיו יש לכם בסיס איתן להמשך לימוד תכונות המעגל.


תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מושגי היסוד ועל חישובי היקף ושטח!

תרגול