זוויות היקפיות ומרכזיות וזווית על קוטר

מבוא

מטרות השיעור

להבין מהי זווית היקפית ומהי זווית מרכזית, ועל איזו קשת הן נשענות
ליישם את הקשר: זווית היקפית = מחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת
להכיר את המשפט: זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו
ליישם את המקרה הפרטי: זווית הנשענת על קוטר היא 90° (ולהפך)

הרעיון המרכזי

הקשר בין זווית היקפית לזווית מרכזית

זווית מרכזית — קדקודה במרכז המעגל. זווית היקפית — קדקודה על המעגל.

כאשר שתיהן נשענות על אותה קשת:

α_{inscribed} = \frac{1}{2} α_{central}

באופן שקול: כל זווית היקפית שווה למחצית מידת הקשת שעליה היא נשענת.

שני מסקנות חשובות

זוויות היקפיות על אותה קשת שוות: כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על קשת נתונה שוות זו לזו (כולן חצי מאותה זווית מרכזית קבועה).
זווית על קוטר = 90°: הקוטר הוא קשת בת $18 0^{\circ}$ , ולכן הזווית ההיקפית הנשענת עליו היא $\frac{18 0 ^{\circ}}{2} = 9 0^{\circ}$ . גם ההפך נכון: זווית היקפית בת $9 0^{\circ}$ נשענת על קוטר.

קשתות ומיתרים מול זוויות היקפיות

לזוויות היקפיות שוות מתאימות קשתות שוות ומיתרים שווים.
לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ממרכזית להיקפית

זווית מרכזית $100^{\circ}$ על קשת AB. מצאו את הזווית ההיקפית על אותה קשת

α = \frac{1}{2} \cdot 10 0^{\circ} = 5 0^{\circ}

שלב 1 — הקשר

היקפית = חצי מרכזית

דוגמה 2: מהיקפית למרכזית

זווית היקפית $35^{\circ}$ על קשת. מצאו את הזווית המרכזית על אותה קשת

α_{central} = 2 \cdot 3 5^{\circ} = 7 0^{\circ}

שלב 1 — הקשר ההפוך

מרכזית = פעמיים היקפית

תשובה מספרית

זווית מרכזית הנשענת על קשת AB היא $100^{\circ}$ . מהי מידת הזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת (במעלות)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

זווית היקפית הנשענת על קשת היא $35^{\circ}$ . מהי מידת הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת (במעלות)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: משולש על קוטר

AB קוטר, C על המעגל, הזווית $ABC = 35^{\circ}$ . מצאו את BAC

∠ A CB = 9 0^{\circ} \Rightarrow ∠ B A C = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 5 5^{\circ}

שלב 1 — זווית על קוטר

הזווית ACB נשענת על הקוטר AB, ולכן

ACB = 90^{\circ}

תשובה מספרית

במעגל, AB הוא קוטר ו-C נקודה על המעגל. המשולש ABC חסום במעגל. אם הזווית ABC היא $35^{\circ}$ , מהי הזווית BAC (במעלות)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שוויון זוויות היקפיות על אותה קשת

שתי זוויות היקפיות נשענות על קשת DC. אחת מהן $25^{\circ}$ . מהי השנייה?

∠1 = ∠2 = 2 5^{\circ}

מיקום הקדקוד על הקשת המשלימה אינו משנה — הזוויות שוות!

שלב 1 — שתיהן על אותה קשת

שתי הזוויות נשענות על DC

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: שתי זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חישוב זווית היקפית כשווה למרכזית

טעות: היקפית = מרכזית

נכון: היקפית $= \frac{1}{2}$ מרכזית

למה זה קורה?

התלמיד מתעלם מהמקדם

\frac{1}{2}

איך מתקנים?

הזווית ההיקפית היא חצי מהמרכזית הנשענת על אותה קשת, לא שווה לה. אם המרכזית

80^{\circ}

, ההיקפית

40^{\circ}

טעות נפוצה: החלת הקשר על קשתות שונות

זוויות היקפיות על קשתות שונות אינן בהכרח שוות.

למה זה קורה?

התלמיד משווה זוויות שאינן נשענות על אותה קשת.

איך מתקנים?

הקשר 'היקפית = חצי מרכזית' ושוויון הזוויות ההיקפיות תקפים רק כאשר הזוויות נשענות על אותה קשת. ודאו תחילה איזו קשת מתחת לכל זווית.

טעות נפוצה: חיפוש נתון נוסף עבור זווית על קוטר

קוטר \Rightarrow ∠ = 9 0^{\circ}

למה זה קורה?

התלמיד לא זוכר שזווית על קוטר היא בדיוק

90^{\circ}

איך מתקנים?

ברגע שמזהים שהמיתר הנשען הוא קוטר — הזווית ההיקפית עליו היא

90^{\circ}

מיד, ללא חישוב.

טעות נפוצה: בלבול בין זווית היקפית לזווית מרכזית

קדקוד על המעגל ⟹ היקפית. קדקוד במרכז ⟹ מרכזית.

למה זה קורה?

התלמיד לא בודק היכן נמצא קדקוד הזווית.

איך מתקנים?

קדקוד על המעגל = זווית היקפית. קדקוד במרכז = זווית מרכזית. זהו תמיד את מיקום הקדקוד תחילה.

סיכום

מה למדנו?

היקפית = חצי מרכזית (על אותה קשת): $α = \frac{1}{2} α_{central}$ .
זוויות היקפיות על אותה קשת שוות זו לזו.
זווית על קוטר = 90°, ולהפך.
זוויות היקפיות שוות ⟺ קשתות שוות ⟺ מיתרים שווים.

נהדר! משפטי הזווית ההיקפית הם כלי מרכזי לפתרון בעיות מעגל.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על זוויות היקפיות ומרכזיות וזווית על קוטר!

זוויות היקפיות ומרכזיות וזווית על קוטר

זוויות היקפיות ומרכזיות וזווית על קוטר

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ממרכזית להיקפית

זווית מרכזית 100∘100^{\circ}100∘ על קשת AB. מצאו את הזווית ההיקפית על אותה קשת

דוגמה 2: מהיקפית למרכזית

זווית היקפית 35∘35^{\circ}35∘ על קשת. מצאו את הזווית המרכזית על אותה קשת

דוגמה 3: משולש על קוטר

AB קוטר, C על המעגל, הזווית ABC=35∘ABC = 35^{\circ}ABC=35∘. מצאו את BAC

דוגמה 4: שוויון זוויות היקפיות על אותה קשת

שתי זוויות היקפיות נשענות על קשת DC. אחת מהן 25∘25^{\circ}25∘. מהי השנייה?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חישוב זווית היקפית כשווה למרכזית

טעות נפוצה: החלת הקשר על קשתות שונות

טעות נפוצה: חיפוש נתון נוסף עבור זווית על קוטר

טעות נפוצה: בלבול בין זווית היקפית לזווית מרכזית

סיכום

תרגול נוסף

זווית מרכזית $100^{\circ}$ על קשת AB. מצאו את הזווית ההיקפית על אותה קשת

זווית היקפית $35^{\circ}$ על קשת. מצאו את הזווית המרכזית על אותה קשת

AB קוטר, C על המעגל, הזווית $ABC = 35^{\circ}$ . מצאו את BAC

שתי זוויות היקפיות נשענות על קשת DC. אחת מהן $25^{\circ}$ . מהי השנייה?