מצולעים חסומים וחוסמים: מרובע בר-חסימה וטרפז חסום

מבוא

מטרות השיעור

לזהות את מרכז המעגל החוסם משולש כחיתוך האנכים האמצעיים
לזהות את מרכז המעגל החסום במשולש כחיתוך חוצי הזוויות
ליישם את התנאי למרובע בר-חסימה: סכום זוג זוויות נגדיות הוא $18 0^{\circ}$
לדעת שטרפז החסום במעגל הוא שווה-שוקיים

הרעיון המרכזי

מעגל חוסם ומעגל חסום של משולש

כל משולש ניתן לחסום במעגל (כל שלושת קדקודיו על המעגל). מרכז המעגל החוסם נמצא בחיתוך שלושת האנכים האמצעיים לצלעות — נקודה שמרחקה משלושת הקדקודים שווה (הרדיוס).
בכל משולש ניתן לחסום מעגל (משיק לשלוש צלעותיו). מרכז המעגל החסום נמצא בחיתוך שלושת חוצי הזוויות — נקודה שמרחקה משלוש הצלעות שווה (הרדיוס).

מרובע בר-חסימה

מרובע ניתן לחסום במעגל אם ורק אם סכום כל זוג זוויות נגדיות שלו הוא $18 0^{\circ}$ :

∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}, ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}

(שני התנאים שקולים, כי סכום כל זוויות המרובע הוא $36 0^{\circ}$ .)

שימו לב: התנאי חל על זוויות נגדיות, לא סמוכות.

טרפז חסום במעגל

אם טרפז חסום במעגל, אז הוא בהכרח שווה-שוקיים. (ולהפך: טרפז שווה-שוקיים תמיד בר-חסימה.) זאת משום שזוויות הבסיס שלו שוות, והדבר עולה בקנה אחד עם תנאי המרובע בר-החסימה.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זווית נגדית במרובע חסום

מרובע ABCD חסום במעגל, הזווית $A = 70^{\circ}$ . מצאו את C

∠ C = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}

שלב 1 — תנאי המרובע החסום

A + C = 180^{\circ} (

זוויות נגדיות)

תשובה מספרית

מרובע ABCD חסום במעגל. הזווית A היא $70^{\circ}$ . מהי מידת הזווית C (הנגדית לה) במעלות?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: שתי זוויות נתונות

מרובע חסום $, A = 95^{\circ}, B = 110^{\circ}$ . מצאו את C ואת D

∠ C = 8 5^{\circ}, ∠ D = 7 0^{\circ}

שלב 1 — C נגדית ל-A

C = 180^{\circ} - 95^{\circ} = 85^{\circ}

תשובה מספרית

מרובע ABCD חסום במעגל. הזווית A היא $95^{\circ}$ והזווית B היא $110^{\circ}$ . מהי מידת הזווית D (במעלות)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: יחס בין זוויות נגדיות

מרובע חסום, הזווית A גדולה פי 2 מהזווית הנגדית C. מצאו את A

2 x + x = 18 0^{\circ} \Rightarrow x = 6 0^{\circ} \Rightarrow ∠ A = 12 0^{\circ}

שלב 1 — מסמנים

C = x, A = 2x

תשובה מספרית

מרובע ABCD חסום במעגל. הזווית A גדולה פי שניים מהזווית C הנגדית לה. מהי מידת הזווית A (במעלות)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: זיהוי מרכז מעגל חוסם וחסום

כיצד מאתרים את מרכז המעגל החוסם ואת מרכז המעגל החסום של משולש?

מספיק להשתמש בשניים מתוך שלושת הישרים — השלישי תמיד עובר דרך אותה נקודה.

שלב 1 — מעגל חוסם

מציירים שני אנכים אמצעיים לשתי צלעות; חיתוכם הוא מרכז המעגל החוסם (במרחק שווה מהקדקודים)

בדיקה מהירה

היכן נמצא מרכז המעגל החסום במשולש (המעגל המשיק לשלוש הצלעות)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בלבול בין מרכז המעגל החוסם למרכז המעגל החסום

חוסם: אנכים אמצעיים. חסום: חוצי זוויות.

למה זה קורה?

שני המרכזים מוגדרים באמצעות ישרים מיוחדים שונים.

איך מתקנים?

מעגל חוסם → אנכים אמצעיים לצלעות (מרחק שווה מהקדקודים). מעגל חסום → חוצי זוויות (מרחק שווה מהצלעות).

טעות נפוצה: הנחה שכל מרובע בר-חסימה

מרובע בר-חסימה $⟺ ∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$

למה זה קורה?

התלמיד שוכח את התנאי על הזוויות הנגדיות.

איך מתקנים?

לא כל מרובע ניתן לחסום במעגל. התנאי ההכרחי והמספיק: סכום כל זוג זוויות נגדיות

= 180^{\circ}

טעות נפוצה: החלת התנאי על זוויות סמוכות

נגדיות: $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ , לא $∠ A + ∠ B$ .

למה זה קורה?

התלמיד מחבר זוויות שאינן נגדיות.

איך מתקנים?

התנאי חל על זוויות נגדיות (A מול C, B מול D), לא על זוויות סמוכות (A ו-B).

טעות נפוצה: שכחה שטרפז חסום הוא שווה-שוקיים

טרפז חסום במעגל $\Rightarrow$ שווה-שוקיים.

למה זה קורה?

התלמיד לא מקשר בין החסימה לסימטריה.

איך מתקנים?

טרפז שחסום במעגל הוא תמיד שווה-שוקיים — זוויות הבסיס שלו שוות והאלכסונים שווים.

סיכום

מה למדנו?

מעגל חוסם משולש: מרכזו בחיתוך האנכים האמצעיים.
מעגל חסום במשולש: מרכזו בחיתוך חוצי הזוויות.
מרובע בר-חסימה: $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ (זוויות נגדיות).
טרפז חסום במעגל הוא שווה-שוקיים.

כל הכבוד! סיימתם את יחידת המעגל ואתם מצוידים בכל המשפטים לפתרון בעיות שילוב.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מצולעים חסומים וחוסמים ומרובע בר-חסימה!

מצולעים חסומים וחוסמים: מרובע בר-חסימה וטרפז חסום

מצולעים חסומים וחוסמים: מרובע בר-חסימה וטרפז חסום

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זווית נגדית במרובע חסום

מרובע ABCD חסום במעגל, הזווית A=70∘A = 70^{\circ}A=70∘. מצאו את C

דוגמה 2: שתי זוויות נתונות

מרובע חסום,A=95∘,B=110∘, A = 95^{\circ}, B = 110^{\circ},A=95∘,B=110∘. מצאו את C ואת D

דוגמה 3: יחס בין זוויות נגדיות

מרובע חסום, הזווית A גדולה פי 2 מהזווית הנגדית C. מצאו את A

דוגמה 4: זיהוי מרכז מעגל חוסם וחסום

כיצד מאתרים את מרכז המעגל החוסם ואת מרכז המעגל החסום של משולש?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בלבול בין מרכז המעגל החוסם למרכז המעגל החסום

טעות נפוצה: הנחה שכל מרובע בר-חסימה

טעות נפוצה: החלת התנאי על זוויות סמוכות

טעות נפוצה: שכחה שטרפז חסום הוא שווה-שוקיים

סיכום

תרגול נוסף

מרובע ABCD חסום במעגל, הזווית $A = 70^{\circ}$ . מצאו את C

מרובע חסום $, A = 95^{\circ}, B = 110^{\circ}$ . מצאו את C ואת D