משיק למעגל ותכונותיו

מבוא

מטרות השיעור

להבין מהו משיק למעגל ומהי נקודת השקה
ליישם: משיק ניצב לרדיוס בנקודת ההשקה (ולהפך)
ליישם: שני משיקים מנקודה חיצונית שווים באורכם
להכיר: הקטע מהמרכז לנקודה החיצונית חוצה את הזווית בין המשיקים
להכיר: שני משיקים מקבילים ⟹ הקטע בין נקודות ההשקה הוא קוטר

הרעיון המרכזי

הגדרה ותכונת היסוד

משיק למעגל הוא ישר הנפגש עם המעגל בנקודה אחת בלבד — נקודת ההשקה.

תכונת היסוד: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

משיק ⊥ רדיוס בנקודת ההשקה

גם ההפך נכון: ישר המאונך לרדיוס בקצהו (על המעגל) הוא משיק למעגל.

שני משיקים מנקודה חיצונית

מנקודה P מחוץ למעגל ניתן להעביר שני משיקים, אל נקודות ההשקה A ו-B. אז:

קטעי המשיקים שווים: PA = PB.
הקטע PO חוצה את הזווית בין שני המשיקים: $∠ A PO = ∠ BPO$ .

המשולש OTP (מרכז, נקודת השקה, נקודה חיצונית) הוא ישר-זווית בנקודת ההשקה:

O P^{2} = r^{2} + P T^{2}

משיקים מקבילים

אם שני משיקים למעגל מקבילים זה לזה, אז הקטע המחבר את שתי נקודות ההשקה הוא קוטר במעגל (אורכו 2r והוא עובר דרך המרכז).

בדיקה מהירה

שני משיקים למעגל מקבילים זה לזה. מה ניתן להסיק על הקטע המחבר את שתי נקודות ההשקה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אורך משיק מנקודה חיצונית

P במרחק 10 מהמרכז, רדיוס 6. מצאו את אורך המשיק

PT = O P^{2} - r^{2} = 100 - 36 = 8

שלב 1 — משולש ישר-זווית

OT ⊥ המשיק, לכן OTP ישר-זווית ב-T. היתר

OP=10

, ניצב

OT=r=6

תשובה מספרית

מנקודה P מרחק 10 ס"מ ממרכז מעגל שרדיוסו 6 ס"מ מעבירים משיק. מהו אורך המשיק מ-P עד נקודת ההשקה (בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מציאת המרחק למרכז

רדיוס 5, אורך משיק 12. מצאו את המרחק OP

OP = r^{2} + P T^{2} = 25 + 144 = 13

שלב 1 — הניצבים

הניצבים הם

r=5

ואורך המשיק 12, היתר הוא OP

תשובה מספרית

מנקודה P מעבירים משיק למעגל שרדיוסו 5 ס"מ. אורך המשיק מ-P עד נקודת ההשקה הוא 12 ס"מ. מהו המרחק מ-P למרכז המעגל (בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: זווית בין משיקים וחצייתה

שני משיקים מ-P נפגשים בזווית $60^{\circ}$ . מצאו את הזווית APO

∠ A PO = \frac{1}{2} ∠ A PB = 3 0^{\circ}

שלב 1 — PO חוצה את הזווית

הקטע מהמרכז לנקודה החיצונית חוצה את הזווית בין המשיקים

תשובה מספרית

מנקודה חיצונית P יוצאים שני משיקים למעגל ונפגשים בזווית $APB = 60^{\circ}$ . הקטע PO (אל המרכז) חוצה זווית זו. מהי מידת הזווית APO (במעלות)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: זווית מרכזית בין נקודות ההשקה

שני משיקים מ-P נפגשים בזווית $50^{\circ}$ . מצאו את הזווית המרכזית AOB

∠ A OB = 36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 13 0^{\circ}

הזווית המרכזית והזווית בין המשיקים משלימות זו את זו ל-180°!

שלב 1 — מרובע OAPB

OA⊥PA ו-OB⊥PB, לכן

OAP = OBP = 90^{\circ}

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חשיבה שהמשיק ניצב לכל רדיוס

משיק ⊥ רדיוס בנקודת ההשקה בלבד

למה זה קורה?

התלמיד מחיל את הניצבות על רדיוס שרירותי.

איך מתקנים?

המשיק ניצב רק לרדיוס המגיע לנקודת ההשקה. ביחס לרדיוסים אחרים הזווית אינה

90^{\circ}

טעות נפוצה: התעלמות מהמשולש ישר-הזווית

O P^{2} = r^{2} + P T^{2}

למה זה קורה?

התלמיד מנסה לחשב מרחקים בלי לזהות את הזווית הישרה.

איך מתקנים?

O, נקודת ההשקה T והנקודה החיצונית P יוצרים משולש ישר-זווית ב-T. השתמשו ב:

OP^{2} = r^{2} + PT^{2}

טעות נפוצה: בלבול בין אורך המשיק למרחק מהמרכז

היתר OP > כל ניצב. $PT = O P^{2} - r^{2}$

למה זה קורה?

התלמיד מציב את OP במקום PT או להפך.

איך מתקנים?

OP הוא היתר (תמיד הגדול ביותר). אורך המשיק PT והרדיוס r הם הניצבים. ודאו מי היתר לפני פיתגורס.

טעות נפוצה: שכחה ש- $PA = PB$ עבור שני משיקים

PA = PB — תמיד, לשני משיקים מאותה נקודה.

למה זה קורה?

התלמיד לא משתמש בשוויון המשיקים.

איך מתקנים?

שני משיקים מאותה נקודה חיצונית שווים באורכם:

PA = PB

. זה נובע מחפיפת שני המשולשים ישרי-הזווית עם היתר המשותף OP.

סיכום

מה למדנו?

משיק ⊥ רדיוס בנקודת ההשקה (ולהפך).
שני משיקים מנקודה חיצונית שווים: PA = PB.
הקטע PO חוצה את הזווית בין המשיקים.
משולש ישר-זווית: $O P^{2} = r^{2} + P T^{2}$ .
משיקים מקבילים ⟹ הקטע בין נקודות ההשקה הוא קוטר.

מעולה! תכונות המשיק מאפשרות לחבר בין אורכים, זוויות וחפיפת משולשים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על משיקים למעגל ותכונותיהם!

משיק למעגל ותכונותיו

משיק למעגל ותכונותיו

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אורך משיק מנקודה חיצונית

P במרחק 10 מהמרכז, רדיוס 6. מצאו את אורך המשיק

דוגמה 2: מציאת המרחק למרכז

רדיוס 5, אורך משיק 12. מצאו את המרחק OP

דוגמה 3: זווית בין משיקים וחצייתה

שני משיקים מ-P נפגשים בזווית 60∘60^{\circ}60∘. מצאו את הזווית APO

דוגמה 4: זווית מרכזית בין נקודות ההשקה

שני משיקים מ-P נפגשים בזווית 50∘50^{\circ}50∘. מצאו את הזווית המרכזית AOB

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חשיבה שהמשיק ניצב לכל רדיוס

טעות נפוצה: התעלמות מהמשולש ישר-הזווית

טעות נפוצה: בלבול בין אורך המשיק למרחק מהמרכז

טעות נפוצה: שכחה ש-PA=PBPA = PBPA=PB עבור שני משיקים

סיכום

תרגול נוסף

שני משיקים מ-P נפגשים בזווית $60^{\circ}$ . מצאו את הזווית APO

שני משיקים מ-P נפגשים בזווית $50^{\circ}$ . מצאו את הזווית המרכזית AOB

טעות נפוצה: שכחה ש- $PA = PB$ עבור שני משיקים