מקדם המתאם הלינארי r

מבוא

מטרות השיעור

להבין שמקדם המתאם r הוא מדד כמותי לעוצמת הקשר הלינארי
להכיר את תכונותיו: מספר טהור, סימטרי בין המשתנים, ותמיד $- 1 \leq r \leq 1$
לקרוא מ-r את כיוון הקשר (הסימן) ואת עוצמתו (הקרבה ל- $\pm 1$ )
לחשב את r מנתונים גולמיים

הרעיון המרכזי

הגדרת מקדם המתאם ונוסחתו

מקדם המתאם הלינארי r מודד עד כמה שני משתנים כמותיים נמצאים בקשר לינארי.

נוסחת החישוב מנתונים גולמיים: $r = \frac{\sum ( x - x ˉ ) ( y - y ˉ )}{\sum ( x - x ˉ ) ^{2} \cdot \sum ( y - y ˉ ) ^{2}}$

כאשר $\overset{x}{ˉ}$ ו- $\overset{y}{ˉ}$ הם הממוצעים של המשתנים. אם מספר הנתונים גדול — מומלץ להשתמש בטכנולוגיה.

תכונות מקדם המתאם

מספר טהור — אין ל-r יחידות מידה. הוא אינו משתנה תחת הוספת קבוע או שינוי יחידות (טרנספורמציה לינארית חיובית).
סימטרי — מקדם המתאם של x מול y שווה לזה של y מול x.
חסום: תמיד $- 1 \leq r \leq 1$ .

בדיקה מהירה

מהו טווח הערכים האפשריים של מקדם המתאם הלינארי r?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: מקדם המתאם הוא מספר טהור — אין לו יחידות מידה, ושינוי יחידות המדידה של המשתנים אינו משנה אותו.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

כיוון ועוצמה

כיוון (הסימן):

r > 0 — קשר לינארי חיובי.
r < 0 — קשר לינארי שלילי.

עוצמה (הקרבה ל- $\pm 1$ ):

$r = \pm 1$ — קשר לינארי מושלם (כל הנקודות על קו ישר אחד).
ככל ש-|r| קרוב יותר ל-1 — הקשר חזק יותר. למשל 0 < r < 0.4 נחשב קשר חיובי חלש.
r = 0 — אין קשר לינארי (ייתכן עדיין קשר לא-לינארי!).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב r מנתונים גולמיים

חשבו את r עבור הזוגות: $(2,1), (4,3), (6,2), (8,5), (10,4)$

r = \frac{16}{40 \cdot 10} = \frac{16}{20} = 0.8

שלב 1 — ממוצעים

x̄ = \frac{2+4+6+8+10}{5} = 6, ȳ = \frac{1+3+2+5+4}{5} = 3

תשובה מספרית

נתונים חמשת הזוגות: $(2,1), (4,3), (6,2), (8,5), (10,4)$ . ידוע ש- $x̄=6$ ו- $ȳ=3$ . חושבו: $\Sigma (x-x̄)(y-ȳ)=16, \Sigma (x-x̄)^{2}=40, \Sigma (y-ȳ)^{2}=10$ . חשבו את מקדם המתאם r.

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: קשר לינארי מושלם

חשבו את r עבור $(1,3), (2,5), (3,7), (4,9), (5,11)$

כל הנקודות על קו ישר עם שיפוע חיובי ⟸ r = 1.

שלב 1 — מזהים דפוס

כל נקודה מקיימת

y = 2x + 1

— כולן על קו ישר אחד.

דוגמה 3: השפעת טרנספורמציה לינארית

מקדם המתאם בין ציוני מתמטיקה לפיזיקה הוא 0.8. מורדים 4% מציוני המתמטיקה ו-3% מציוני הפיזיקה. מהו r החדש?

טרנספורמציה לינארית חיובית אינה משנה את r.

שלב 1 — מתרגמים להכפלה

הורדת

4\% =

הכפלה ב-0.96. הורדת

3\% =

הכפלה ב-0.97. שני הקבועים חיוביים.

בדיקה מהירה

מנהלת בית-ספר מצאה שמקדם המתאם בין הציונים במתמטיקה לפיזיקה הוא 0.8. לאחר מכן הורידה המורה למתמטיקה 4% מציון כל תלמיד, והמורה לפיזיקה הוריד 3% מציון כל תלמיד. מה יהיה מקדם המתאם החדש?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: r=0 אך קיים קשר

הנקודות יושבות בדיוק על פרבולה סימטרית בצורת U. מה צפוי r?

r = 0 פירושו 'אין קשר לינארי' — לא 'אין קשר כלל'.

שלב 1 — מה מודד r

r מודד אך ורק קשר לינארי.

בדיקה מהירה

נתונה דיאגרמת פיזור שבה הנקודות מסודרות בדיוק על פרבולה בצורת U (יורדת ואז עולה, סימטרית). מה צפוי להיות מקדם המתאם הלינארי r, ומדוע?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים ש-r יכול לחרוג מהתחום [−1, 1]

אם חישבתם r = 1.4 — יש שגיאה! ודאו את הסכומים והשורש.

למה זה קורה?

תלמידים מקבלים

r=1.3

או

r=-2

ולא מזהים שגיאה.

איך מתקנים?

r תמיד מקיים

-1 \le r \le 1

. תוצאה מחוץ לתחום מעידה על טעות חישוב.

טעות נפוצה: מבלבלים בין סימן (כיוון) לגודל (עוצמה)

|-0.95| = 0.95 > 0.6 ⟸ הקשר עם r=-0.95 חזק יותר.

למה זה קורה?

תלמידים חושבים ש-

r=0.6

חזק יותר מ-

r=-0.95

כי הוא 'חיובי'.

איך מתקנים?

הסימן קובע כיוון בלבד. העוצמה נקבעת לפי |r|. לכן

-0.95

חזק יותר מ-0.6.

טעות נפוצה: חושבים ששינוי יחידות משנה את r

גובה בס״מ או במטרים ⟸ אותו r בדיוק.

למה זה קורה?

תלמידים מניחים שמעבר מס״מ למטרים ישנה את המתאם.

איך מתקנים?

r הוא מספר טהור ואינו משתנה תחת הוספת קבוע או שינוי יחידות (טרנספורמציה לינארית חיובית).

טעות נפוצה: מזהים $r=0$ עם 'אין שום קשר'

פרבולה סימטרית: $r \approx 0$ אך הקשר לא-לינארי מושלם.

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים ש-r מודד רק קשר לינארי.

איך מתקנים?

r=0

פירושו 'אין קשר לינארי'. ייתכן קשר לא-לינארי חזק (למשל פרבולה) שעדיין נותן r≈0.

סיכום

מה למדנו?

נוסחה: $r = \frac{\sum ( x - x ˉ ) ( y - y ˉ )}{\sum ( x - x ˉ ) ^{2} \cdot \sum ( y - y ˉ ) ^{2}}$
תכונות: מספר טהור, סימטרי, ותמיד $- 1 \leq r \leq 1$ .
כיוון = הסימן; עוצמה = הקרבה ל- $\pm 1$ (לפי |r|).
$r = \pm 1$ ⟸ קשר לינארי מושלם; r = 0 ⟸ אין קשר לינארי.
טרנספורמציה לינארית חיובית אינה משנה את r.

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לחשב ולפרש את מקדם המתאם.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב ופירוש מקדם המתאם r!

מקדם המתאם הלינארי r

מקדם המתאם הלינארי r

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב r מנתונים גולמיים

חשבו את r עבור הזוגות: (2,1),(4,3),(6,2),(8,5),(10,4)(2,1), (4,3), (6,2), (8,5), (10,4)(2,1),(4,3),(6,2),(8,5),(10,4)

דוגמה 2: קשר לינארי מושלם

חשבו את r עבור (1,3),(2,5),(3,7),(4,9),(5,11)(1,3), (2,5), (3,7), (4,9), (5,11)(1,3),(2,5),(3,7),(4,9),(5,11)

דוגמה 3: השפעת טרנספורמציה לינארית

מקדם המתאם בין ציוני מתמטיקה לפיזיקה הוא 0.8. מורדים 4% מציוני המתמטיקה ו-3% מציוני הפיזיקה. מהו r החדש?

דוגמה 4: r=0 אך קיים קשר

הנקודות יושבות בדיוק על פרבולה סימטרית בצורת U. מה צפוי r?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים ש-r יכול לחרוג מהתחום [−1, 1]

טעות נפוצה: מבלבלים בין סימן (כיוון) לגודל (עוצמה)

טעות נפוצה: חושבים ששינוי יחידות משנה את r

טעות נפוצה: מזהים r=0r=0r=0 עם 'אין שום קשר'

סיכום

תרגול נוסף

חשבו את r עבור הזוגות: $(2,1), (4,3), (6,2), (8,5), (10,4)$

חשבו את r עבור $(1,3), (2,5), (3,7), (4,9), (5,11)$

טעות נפוצה: מזהים $r=0$ עם 'אין שום קשר'