גרף הממוצעים (רצועות) וניבוי המשתנה התלוי

מבוא

מטרות השיעור

להבין מהו ניבוי של המשתנה התלוי
לבנות גרף ממוצעים על ידי חלוקת ציר ה-x לרצועות
בכל רצועה לחשב את ממוצע ערכי y — שהוא ערך הניבוי
לדעת שהניבוי הוא אומדן ממוצע ולא ערך מדויק לכל פרט

הרעיון המרכזי

בניית גרף הממוצעים

ניבוי הוא הערכת ערך המשתנה התלוי y על פי ערך המשתנה הבלתי תלוי x.

בניית גרף הממוצעים:

מחלקים את ציר המשתנה הבלתי תלוי x לרצועות (מקטעים).
בכל רצועה מחשבים את ממוצע ערכי y של הנקודות שנופלות בה.
הממוצע שהתקבל הוא ערך הניבוי של y עבור כל ערך x ברצועה.

חשוב: ערך הניבוי הוא אומדן ממוצע. פרטים שונים באותה רצועה יכולים לקבל ערכים שונים — הניבוי מתאר את הערך הטיפוסי (הממוצע).

בדיקה מהירה

כיצד בונים גרף ממוצעים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ניבוי ציון לפי שעות לימוד — רצועה אחת

ברצועה x∈[0,3) נמדדו הציונים (y): 50, 54, 58, 62. מהו ערך הניבוי?

\overset{y}{ˉ} = \frac{50 + 54 + 58 + 62}{4} = 56

שלב 1 — מזהים את ערכי y

הציונים ברצועה: 50, 54, 58, 62 (ארבעה ערכים).

תשובה מספרית

ברצועה מסוימת של גרף הממוצעים יש ארבעה תלמידים שציוניהם (y): 50, 54, 58, 62. מהו ערך הניבוי של y עבור רצועה זו?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: רצועה שנייה

ברצועה x∈[3,6) הציונים (y): 66, 70, 74, 78. מהו ערך הניבוי?

\overset{y}{ˉ} = \frac{66 + 70 + 74 + 78}{4} = 72

שלב 1 — סוכמים

66 + 70 + 74 + 78 = 288

דוגמה 3: בניית הגרף ופירוש המגמה

ערכי הניבוי לשלוש רצועות (לפי x עולה) הם 56, 72, 86. מה מלמד הגרף?

ערכי הניבוי עולים עם x ⟸ קשר חיובי.

שלב 1 — מסמנים נקודות

מסמנים בכל רצועה נקודה בגובה הממוצע: (אמצע רצועה, 56), (אמצע, 72), (אמצע, 86).

בדיקה מהירה

בגרף ממוצעים, ערכי הניבוי לשלוש הרצועות (לפי סדר עולה של x) הם 56, 72, 86. מה ניתן להסיק על הקשר בין המשתנים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: ניבוי לפרט חדש

תלמיד למד 4 שעות. מהו ערך הניבוי לציונו לפי הרצועות מהדוגמאות?

משייכים את הפרט לרצועה לפי x, וקוראים את ממוצע y שלה.

שלב 1 — משייכים לרצועה

x = 4

שייך לרצועה [3,6) (לפי ערך x, לא y!).

תשובה מספרית

ברצועה x∈[3,6) של גרף הממוצעים נמצאים התלמידים שלמדו 3 או 4 שעות, וציוניהם (y): 66, 70, 74, 78. מהו ערך הניבוי לציון של תלמיד שלמד 4 שעות?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחשבים ממוצע x במקום ממוצע y

טעות: ברצועה [3,6) הממוצע הוא ‎(3+3+4+4)/4‎.

נכון: מחשבים את ממוצע ה-y של אותם תלמידים.

למה זה קורה?

תלמידים מבלבלים איזה משתנה ממצעים בכל רצועה.

איך מתקנים?

מחלקים את ציר x לרצועות, אבל מחשבים בכל רצועה את ממוצע y (המשתנה התלוי) — זהו ערך הניבוי.

טעות נפוצה: חושבים שהניבוי מדויק לכל פרט

ניבוי 72 אינו אומר שכל תלמיד ברצועה קיבל בדיוק 72 — זהו הציון הממוצע הצפוי.

למה זה קורה?

תלמידים מתייחסים לערך הניבוי כתוצאה ודאית.

איך מתקנים?

הניבוי הוא ממוצע (אומדן). פרטים שונים באותה רצועה יכולים לסטות ממנו.

טעות נפוצה: משייכים נקודה לרצועה לפי y

תלמיד שלמד 4 שעות שייך לרצועה לפי x=4, לא לפי ציונו.

למה זה קורה?

תלמידים בודקים את ערך y כדי לקבוע רצועה.

איך מתקנים?

הרצועות מוגדרות על ציר x (המשתנה הבלתי תלוי). שייכו כל נקודה לפי ערך ה-x שלה.

טעות נפוצה: מנבאים מחוץ לתחום הנתונים

אם הנתונים הם 0–8 שעות, אין לנבא ל-12 שעות — זה מחוץ לתחום.

למה זה קורה?

תלמידים מרחיבים את הגרף לערכים שלא נמדדו.

איך מתקנים?

גרף הממוצעים תקף רק בתוך טווח ה-x שעליו נבנה. ניבוי מחוץ לתחום (אקסטרפולציה) אינו אמין.

סיכום

מה למדנו?

גרף ממוצעים: מחלקים את ציר x לרצועות, ובכל רצועה מחשבים את ממוצע y.
הממוצע ברצועה הוא ערך הניבוי של y לכל x בה.
משייכים פרט לרצועה לפי ערך x שלו.
הניבוי הוא אומדן ממוצע, ותקף רק בתוך תחום הנתונים.
מגמה עולה/יורדת בגרף הממוצעים מעידה על קשר חיובי/שלילי.

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לבנות גרף ממוצעים ולנבא בעזרתו.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על בניית גרף ממוצעים וניבוי!