ישר הרגרסיה: בנייה, משוואה וניבוי

מבוא

מטרות השיעור

להבין את מטרת ישר הרגרסיה: תיאור הקשר הלינארי וניבוי y
לבנות את משוואת ישר הרגרסיה y = bx + a
להכיר את הקשר בין מקדם המתאם r לשיפוע b
לדעת שהישר עובר דרך נקודת הממוצעים $(\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$
להבין את השפעת טרנספורמציה לינארית במשתנה y

הרעיון המרכזי

משוואת ישר הרגרסיה

ישר הרגרסיה הוא הקו הישר המתאר בצורה הטובה ביותר את הקשר הלינארי בין המשתנים, ומשמש לניבוי ערך המשתנה התלוי y לפי ערך המשתנה הבלתי תלוי x.

המשוואה: y = bx + a, כאשר:

שיפוע (הקשר בין r לשיפוע): $b = r \cdot \frac{S _{Y}}{S _{X}}$

חותך (כי הישר עובר דרך נקודת הממוצעים): $a = \overset{y}{ˉ} - b \overset{x}{ˉ}$

בדיקה מהירה

מהי מטרת ישר הרגרסיה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהי הנוסחה לשיפוע b של ישר הרגרסיה (לניבוי y לפי x), בעזרת מקדם המתאם r וסטיות התקן Sx ו-Sy?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תכונות חשובות

מעבר דרך נקודת הממוצעים: הישר עובר תמיד דרך $(\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$ .
הקשר בין r ל-b: מאחר ש- $S_{X}, S_{Y} > 0$ , לשיפוע b ולמקדם המתאם r אותו סימן. (אך הם אינם שווים בגודלם, אלא אם $S_{X} = S_{Y}$ .)
טרנספורמציה לינארית ב-y: הכפלת y בקבוע חיובי או הוספת קבוע משנה את משוואת הישר, אך אינה משנה את עוצמת הקשר (את |r|).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שיפוע מתוך r וסטיות התקן

במבחן הראשון $Sx=5$ , במבחן השני $Sy=8$ , והמתאם $r=0.7$ . מצאו את שיפוע ישר הרגרסיה.

b = r \cdot \frac{S _{Y}}{S _{X}} = 0.7 \cdot \frac{8}{5} = 1.12

שלב 1 — נוסחת השיפוע

b = r \cdot (\frac{Sy}{Sx})

תשובה מספרית

תלמידים נבחנו בשני מבחנים. במבחן הראשון $(x): Sx=5$ , ובמבחן השני $(y): Sy=8$ . המתאם בין המבחנים הוא $r=0.7$ . חשבו את שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי הציון במבחן השני לפי הראשון.

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: כתיבת המשוואה דרך נקודת הממוצעים

השיפוע הוא $b=1.12$ והישר עובר דרך נקודת הממוצעים $(70, 75)$ . מצאו את משוואת הישר.

שלב 1 — נוסחת החותך

a = ȳ - b \cdot x̄ (

כי הישר עובר דרך (x̄, ȳ))

דוגמה 3: ניבוי בעזרת המשוואה

לפי הישר $y = 1.12x - 3.4$ , נבאו את הציון במבחן השני של תלמיד שקיבל 80 במבחן הראשון.

y = 1.12 \cdot 80 - 3.4 = 86.2

שלב 1 — מציבים $x=80$

y = 1.12 \cdot 80 - 3.4

תשובה מספרית

ישר רגרסיה ידוע: שיפועו $b=1.12$ , והוא עובר דרך נקודת הממוצעים $(x̄, ȳ) = (70, 75)$ . מהו הניבוי לציון y של תלמיד שקיבל $x=80? ($ השתמשו במשוואה $y = 1.12x - 3.4.)$

סטייה מותרת: ±0.05

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שיפוע ישירות מהסכומים

עבור $(1,3),(2,4),(3,6),(4,6),(5,8),(6,9): x̄=3.5, ȳ=6, \Sigma (x-x̄)(y-ȳ)=21, \Sigma (x-x̄)^{2}=17.5$ . מצאו את המשוואה.

b = \frac{21}{17.5} = 1.2, a = 6 - 1.2 \cdot 3.5 = 1.8

שלב 1 — שיפוע

b = \Sigma (x-x̄)\frac{y-ȳ}{\Sigma (x-x̄)}^{2} = \frac{21}{17.5} = 1.2

סידור

סדרו את שלבי מציאת משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y, מהראשון לאחרון:

גררו את הפריטים לסדר הנכון

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין r לבין השיפוע b

$b = r \cdot \frac{S _{Y}}{S _{X}} \neq = r$ (אלא אם $S_{X} = S_{Y}$ ).

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שמקדם המתאם הוא השיפוע.

איך מתקנים?

r מודד עוצמת קשר ואין לו יחידות; b הוא השיפוע

, b = r \cdot (\frac{Sy}{Sx})

. הם שווים רק כש-

Sx=Sy

טעות נפוצה: שוכחים שהישר עובר דרך נקודת הממוצעים

מציבים את נקודת הממוצעים: $\overset{y}{ˉ} = b \overset{x}{ˉ} + a \Rightarrow a = \overset{y}{ˉ} - b \overset{x}{ˉ}$ .

למה זה קורה?

תלמידים מחפשים את החותך a בלי כלי.

איך מתקנים?

הישר עובר דרך (x̄, ȳ), ולכן

a = ȳ - b \cdot x̄

. זה הכלי למציאת החותך.

טעות נפוצה: מחליפים בין המשתנה התלוי לבלתי תלוי

ניבוי y לפי x: $S_{Y}$ במונה. ניבוי x לפי y הוא ישר שונה.

למה זה קורה?

תלמידים בונים ישר רגרסיה של x לפי y במקום y לפי x.

איך מתקנים?

לניבוי y לפי x, השיפוע הוא

b = r \cdot (\frac{Sy}{Sx})

— Sy במונה. החלפת התפקידים נותנת ישר אחר.

טעות נפוצה: חושבים שטרנספורמציה לינארית משנה את עוצמת הקשר

הכפלת y בקבוע חיובי משנה את b ו-a, אך |r| נשאר.

למה זה קורה?

תלמידים מניחים ששינוי המשוואה משנה גם את r.

איך מתקנים?

הוספת קבוע ל-y או הכפלתו בקבוע חיובי משנה את משוואת הישר, אך לא את |r|. עוצמת הקשר נשמרת.

סיכום

מה למדנו?

מטרה: ניבוי y לפי x באמצעות הקו המתאר את הקשר הלינארי.
שיפוע: $b = r \cdot \frac{S _{Y}}{S _{X}}$ (אותו סימן כמו r).
חותך: $a = \overset{y}{ˉ} - b \overset{x}{ˉ}$ , כי הישר עובר דרך $(\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$ .
ניבוי: מציבים את ערך x במשוואה y = bx + a.
טרנספורמציה לינארית ב-y משנה את המשוואה, אך לא את |r|.

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לבנות את ישר הרגרסיה ולנבא בעזרתו.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על בניית ישר הרגרסיה וניבוי!

ישר הרגרסיה: בנייה, משוואה וניבוי

ישר הרגרסיה: בנייה, משוואה וניבוי

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שיפוע מתוך r וסטיות התקן

במבחן הראשון Sx=5Sx=5Sx=5, במבחן השני Sy=8Sy=8Sy=8, והמתאם r=0.7r=0.7r=0.7. מצאו את שיפוע ישר הרגרסיה.

דוגמה 2: כתיבת המשוואה דרך נקודת הממוצעים

השיפוע הוא b=1.12b=1.12b=1.12 והישר עובר דרך נקודת הממוצעים (70,75)(70, 75)(70,75). מצאו את משוואת הישר.

דוגמה 3: ניבוי בעזרת המשוואה

לפי הישר y=1.12x−3.4y = 1.12x - 3.4y=1.12x−3.4, נבאו את הציון במבחן השני של תלמיד שקיבל 80 במבחן הראשון.

דוגמה 4: שיפוע ישירות מהסכומים

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין r לבין השיפוע b

טעות נפוצה: שוכחים שהישר עובר דרך נקודת הממוצעים

טעות נפוצה: מחליפים בין המשתנה התלוי לבלתי תלוי

טעות נפוצה: חושבים שטרנספורמציה לינארית משנה את עוצמת הקשר

סיכום

תרגול נוסף

במבחן הראשון $Sx=5$ , במבחן השני $Sy=8$ , והמתאם $r=0.7$ . מצאו את שיפוע ישר הרגרסיה.

השיפוע הוא $b=1.12$ והישר עובר דרך נקודת הממוצעים $(70, 75)$ . מצאו את משוואת הישר.

לפי הישר $y = 1.12x - 3.4$ , נבאו את הציון במבחן השני של תלמיד שקיבל 80 במבחן הראשון.