אסימפטוטות מאונכות ואופקית והתנהגות בקצוות

מבוא

מטרות השיעור

למצוא אסימפטוטות מאונכות היכן שהמכנה מתאפס והמונה אינו מתאפס שם.
לזהות נקודת אי-הגדרה הניתנת לצמצום — שאינה אסימפטוטה.
למצוא אסימפטוטה אופקית מהתנהגות הפונקציה כאשר $x \to \pm \infty$ .
לתאר באופן אינטואיטיבי את ההתנהגות משני צדי האסימפטוטה המאונכת.

הרעיון המרכזי

אסימפטוטות של פונקציה רציונלית

אסימפטוטה מאונכת (קו אנכי x=a): קיימת ב-x=a אם המכנה מתאפס שם והמונה אינו מתאפס שם.

אם גם המונה וגם המכנה מתאפסים ב-x=a — זו נקודת אי-הגדרה הניתנת לצמצום (חור בגרף), לא אסימפטוטה.

אסימפטוטה אופקית (קו y=L), לפי המעלות:

מעלת מונה < מעלת מכנה ⟸ y=0.
מעלת מונה = מעלת מכנה ⟸ $y = \frac{מקדם מוביל מונה}{מקדם מוביל מכנה}$ .

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אסימפטוטות בסיסיות

מצאו את האסימפטוטות של $f(x) = \frac{1}{x-3}$

$f (x) = \frac{1}{x - 3}$ — מאונכת x=3, אופקית y=0.

שלב 1 — מאונכת

המכנה מתאפס ב-

x=3

, המונה

(1)

אינו ⟸ אסימפטוטה מאונכת

x=3

דוגמה 2: אסימפטוטה אופקית מיחס מקדמים

מצאו את האסימפטוטות של $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$

מעלות שוות ⟸ $y = \frac{2}{1} = 2$ .

שלב 1 — מאונכת

x-3=0 ⟸ x=3

; המונה ב-

x=3

הוא

7 \ne 0 ⟸

אסימפטוטה

x=3

דוגמה 3: שתי אסימפטוטות מאונכות

מצאו את האסימפטוטות של $f(x) = \frac{3x^{2}+1}{x^{2}-4}$

f (x) = \frac{3 x ^{2} + 1}{x ^{2} - 4}

שלב 1 — מפרקים מכנה

x^{2}-4 = (x-2)(x+2) ⟸

אפסים ב-

x=2

ו-

x=-2

דוגמה 4: נקודת אי-הגדרה הניתנת לצמצום

האם ל- $f(x) = \frac{x^{2}-1}{x-1}$ יש אסימפטוטה ב- $x=1$ ?

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x + 1 (x \neq = 1)

שלב 1 — מכנה

x-1=0 ⟸ x=1

בדיקה מהירה

מהי האסימפטוטה המאונכת של $f(x) = \frac{1}{x-3}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מהו ערך ה-y של האסימפטוטה האופקית של $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהן האסימפטוטות המאונכות של $f(x) = \frac{3x^{2}+1}{x^{2}-4}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: התנהגות משני צדי האסימפטוטה

תארו את התנהגות $f(x) = \frac{1}{x-3}$ ליד $x=3$

ליד אסימפטוטה מאונכת הסימן יכול להתהפך משני הצדדים.

שלב 1 — מימין

x=3.1 ⟸ x-3=0.1>0

קטן

⟸ \frac{1}{0.1}=10 ⟸ x→3^{+}

נותן +∞

בדיקה מהירה

תשובה קצרה

האם לפונקציה $f(x) = \frac{x^{2}-1}{x-1}$ יש אסימפטוטה מאונכת ב- $x = 1$ ? ענו 'כן' או 'לא' ונמקו במילה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

כיצד מתנהגת $f(x) = \frac{1}{x-3}$ בסביבת האסימפטוטה $x = 3$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: אסימפטוטה בכל אפס של המכנה

ב- $\frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ אין אסימפטוטה ב-x=1 — שניהם מתאפסים.

למה זה קורה?

תלמידים מכריזים על אסימפטוטה בכל נקודה שבה המכנה מתאפס, גם כשהמונה מתאפס שם.

איך מתקנים?

בדקו תמיד את המונה. אם גם המונה מתאפס — זו נקודת חור (ניתנת לצמצום), לא אסימפטוטה.

טעות נפוצה: אסימפטוטה אופקית שגויה כשהמעלות שוות

ב- $\frac{3 x ^{2} + 1}{x ^{2} - 4}$ האסימפטוטה היא y=3, לא y=0.

למה זה קורה?

כותבים

y=0

גם כשמעלות המונה והמכנה שוות.

איך מתקנים?

כשהמעלות שוות, האסימפטוטה היא יחס המקדמים המובילים, לא 0.

טעות נפוצה: התעלמות מהבדל בין $x→a^{+}$ ל- $x→a^{-}$

$\frac{1}{x - 3}$ : מימין $+ \infty$ , משמאל $- \infty$ .

למה זה קורה?

מניחים שהפונקציה שואפת לאותו אינסוף משני צדי האסימפטוטה.

איך מתקנים?

בדקו את הסימן של המכנה משני הצדדים — לעיתים מתקבל +∞ מצד אחד ו-−∞ מהשני.

סיכום

מה למדנו?

אסימפטוטה מאונכת x=a: מכנה מתאפס, מונה לא מתאפס שם.
גם וגם מתאפסים ⟸ נקודת חור (ניתנת לצמצום), לא אסימפטוטה.
אסימפטוטה אופקית: מעלת מונה < מכנה ⟸ y=0; מעלות שוות ⟸ יחס המקדמים המובילים.
ליד אסימפטוטה מאונכת בדקו את ההתנהגות (סימן) משני הצדדים בנפרד.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מציאת אסימפטוטות ותיאור התנהגות בקצוות!

אסימפטוטות מאונכות ואופקית והתנהגות בקצוות

אסימפטוטות מאונכות ואופקית והתנהגות בקצוות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אסימפטוטות בסיסיות

מצאו את האסימפטוטות של f(x)=1x−3f(x) = \frac{1}{x-3}f(x)=x−31​

דוגמה 2: אסימפטוטה אופקית מיחס מקדמים

מצאו את האסימפטוטות של f(x)=2x+1x−3f(x) = \frac{2x+1}{x-3}f(x)=x−32x+1​

דוגמה 3: שתי אסימפטוטות מאונכות

מצאו את האסימפטוטות של f(x)=3x2+1x2−4f(x) = \frac{3x^{2}+1}{x^{2}-4}f(x)=x2−43x2+1​

דוגמה 4: נקודת אי-הגדרה הניתנת לצמצום

האם ל-f(x)=x2−1x−1f(x) = \frac{x^{2}-1}{x-1}f(x)=x−1x2−1​ יש אסימפטוטה ב-x=1x=1x=1?

בדיקה מהירה

דוגמה 5: התנהגות משני צדי האסימפטוטה

תארו את התנהגות f(x)=1x−3f(x) = \frac{1}{x-3}f(x)=x−31​ ליד x=3x=3x=3

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: אסימפטוטה בכל אפס של המכנה

טעות נפוצה: אסימפטוטה אופקית שגויה כשהמעלות שוות

טעות נפוצה: התעלמות מהבדל בין x→a+x→a^{+}x→a+ ל-x→a−x→a^{-}x→a−

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את האסימפטוטות של $f(x) = \frac{1}{x-3}$

מצאו את האסימפטוטות של $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$

מצאו את האסימפטוטות של $f(x) = \frac{3x^{2}+1}{x^{2}-4}$

האם ל- $f(x) = \frac{x^{2}-1}{x-1}$ יש אסימפטוטה ב- $x=1$ ?

תארו את התנהגות $f(x) = \frac{1}{x-3}$ ליד $x=3$

טעות נפוצה: התעלמות מהבדל בין $x→a^{+}$ ל- $x→a^{-}$