נגזרות של פונקציות רציונליות ושורש ותחומי ההגדרה

מבוא

מטרות השיעור

לגזור פונקציה רציונלית $\frac{u ( x )}{v ( x )}$ בעזרת כלל המנה.
לגזור פונקציית שורש ריבועי $u (x)$ בעזרת כלל השרשרת.
למצוא את תחום ההגדרה: מכנה שאינו מתאפס, וביטוי תחת שורש שאינו שלילי.
להבחין בין תחום ההגדרה של הפונקציה לבין התחום שבו הנגזרת מוגדרת.

הרעיון המרכזי

כללי הגזירה המרכזיים

כלל המנה — אם $f (x) = \frac{u ( x )}{v ( x )}$ אז: $f^{'} (x) = \frac{u ^{'} ( x ) v ( x ) - u ( x ) v ^{'} ( x )}{( v ( x ) ) ^{2}}$

שימו לב לסדר במונה: קודם u'v ורק אחר כך מחסירים uv'.

כלל השרשרת לשורש — אם $f (x) = u (x)$ אז: $f^{'} (x) = \frac{u ^{'} ( x )}{2 u ( x )}$

תחום הגדרה: המכנה חייב לקיים $v (x) \neq = 0$ , והביטוי תחת השורש חייב לקיים $u (x) \geq 0$ .

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: גזירת מנה בסיסית

גזרו: $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$

f^{'} (x) = \frac{2 ( x - 3 ) - ( 2 x + 1 )}{( x - 3 ) ^{2}} = \frac{- 7}{( x - 3 ) ^{2}}

שלב 1 — מזהים u ו-v

u = 2x+1 , v = x-3

דוגמה 2: פירוק לפני גזירה

גזרו: $f(x) = \frac{x^{2}+1}{x}$

f (x) = x + \frac{1}{x} \Rightarrow f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x ^{2}}

לעיתים פירוק קודם פשוט יותר מכלל המנה.

שלב 1 — מפרקים

\frac{x^{2}+1}{x} = x + \frac{1}{x} = x + x^(-1)

דוגמה 3: גזירת שורש בעזרת כלל השרשרת

גזרו: $f(x) = \sqrt{x^{2}+1}$

f^{'} (x) = \frac{2 x}{2 x ^{2} + 1} = \frac{x}{x ^{2} + 1}

שלב 1 — מזהים את הפנימי

u = x^{2}+1

דוגמה 4: שורש עם תחום מוגבל

מצאו תחום הגדרה ונגזרת של $f(x) = \sqrt{x-4}$

f^{'} (x) = \frac{1}{2 x - 4}

שימו לב: הפונקציה מוגדרת ב-x=4 אך הנגזרת איננה.

שלב 1 — תנאי השורש

x-4 \ge 0 ⇐ x \ge 4

בדיקה מהירה

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הנגזרת של $g(x) = √x$ היא $g′(x) = \frac{1}{2√x}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

נתונה הפונקציה $f(x) = \sqrt{x^{2}+1}$ . מהי הנגזרת f′(x)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: כלל המנה עם מונה ממעלה שנייה

גזרו: $f(x) = \frac{x^{2}}{x+2}$

f^{'} (x) = \frac{2 x ( x + 2 ) - x ^{2}}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 4 x}{( x + 2 ) ^{2}}

שלב 1 — מזהים

u = x^{2} (u′=2x) , v = x+2 (v′=1)

בדיקה מהירה

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ . מהי הנגזרת f′(x)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

נתונה $f(x) = \frac{x^{2}}{x+2}$ . חשבו את $f′(2)$ .

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתונה $f(x) = \frac{x^{2}-1}{x+2}$ . חשבו את $f′(0)$ .

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: היפוך הסדר במונה של כלל המנה

טעוי: $\frac{( 2 x + 1 ) \cdot 1 - 2 \cdot ( x - 3 )}{( x - 3 ) ^{2}} = \frac{7}{( x - 3 ) ^{2}}$

נכון: $\frac{2 \cdot ( x - 3 ) - ( 2 x + 1 ) \cdot 1}{( x - 3 ) ^{2}} = \frac{- 7}{( x - 3 ) ^{2}}$

למה זה קורה?

תלמידים כותבים (uv′ − u′v) במקום

(u′v - uv′)

, מה שמהפך את כל סימן הנגזרת.

איך מתקנים?

זכרו: קודם נגזרת המונה כפול המכנה, ורק אז מחסירים. הסדר הוא

u′v - uv′

טעות נפוצה: שכחת כלל השרשרת בגזירת שורש

טעוי: $(x^{2} + 1)^{'} = \frac{1}{2 x ^{2} + 1}$

נכון: $(x^{2} + 1)^{'} = \frac{2 x}{2 x ^{2} + 1} = \frac{x}{x ^{2} + 1}$

למה זה קורה?

גוזרים

√u

כ-

\frac{1}{2√u}

ושוכחים להכפיל ב-u′.

איך מתקנים?

הנוסחה המלאה היא

u′/(2√u)

. אם u אינו פשוט x, חובה להכפיל ב-u′.

טעות נפוצה: התעלמות מתחום ההגדרה

ב- $f (x) = \frac{1}{x - 5}$ הנקודה x=5 אינה בתחום.

ב- $f (x) = x - 4$ התחום הוא $x \geq 4$ בלבד.

למה זה קורה?

כותבים נגזרת בלי לבדוק היכן המכנה מתאפס או היכן הביטוי תחת השורש שלילי.

איך מתקנים?

לפני כל גזירה רשמו את התחום:

v(x) \ne 0

ברציונלית, ו-

u(x) \ge 0

תחת שורש.

סיכום

מה למדנו?

כלל המנה: $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ — שימו לב לסדר במונה.
כלל השרשרת לשורש: $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ .
תחום הגדרה: מכנה $\neq = 0$ וביטוי תחת שורש $\geq 0$ .
לעיתים פירוק (כמו $\frac{x ^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x}$ ) פשוט יותר מכלל המנה.
הנגזרת לא בהכרח מוגדרת בכל תחום הפונקציה (למשל משיק אנכי בקצה שורש).

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על גזירת פונקציות רציונליות ושורש ומציאת תחומי ההגדרה!

נגזרות של פונקציות רציונליות ושורש ותחומי ההגדרה

נגזרות של פונקציות רציונליות ושורש ותחומי ההגדרה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: גזירת מנה בסיסית

גזרו: f(x)=2x+1x−3f(x) = \frac{2x+1}{x-3}f(x)=x−32x+1​

דוגמה 2: פירוק לפני גזירה

גזרו: f(x)=x2+1xf(x) = \frac{x^{2}+1}{x}f(x)=xx2+1​

דוגמה 3: גזירת שורש בעזרת כלל השרשרת

גזרו: f(x)=x2+1f(x) = \sqrt{x^{2}+1}f(x)=x2+1​

דוגמה 4: שורש עם תחום מוגבל

מצאו תחום הגדרה ונגזרת של f(x)=x−4f(x) = \sqrt{x-4}f(x)=x−4​

בדיקה מהירה

דוגמה 5: כלל המנה עם מונה ממעלה שנייה

גזרו: f(x)=x2x+2f(x) = \frac{x^{2}}{x+2}f(x)=x+2x2​

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: היפוך הסדר במונה של כלל המנה

טעות נפוצה: שכחת כלל השרשרת בגזירת שורש

טעות נפוצה: התעלמות מתחום ההגדרה

סיכום

תרגול נוסף

גזרו: $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$

גזרו: $f(x) = \frac{x^{2}+1}{x}$

גזרו: $f(x) = \sqrt{x^{2}+1}$

מצאו תחום הגדרה ונגזרת של $f(x) = \sqrt{x-4}$

גזרו: $f(x) = \frac{x^{2}}{x+2}$