ל

חקירת פונקציה מלאה וסרטוט סקיצה

30%
📖שיעור
55 דקות

חקירת פונקציה מלאה וסרטוט סקיצה

בשיעור זה נלמד לבצע חקירת פונקציה מלאה: תחום, נקודות חיתוך, סימן (אי-שוויונות), עלייה/ירידה, קיצון פנימי וקיצון בקצה תחום, וסרטוט סקיצה.

חקירת פונקציה מלאה וסרטוט סקיצה

מבוא

מטרות השיעור

  • לבצע חקירה מסודרת: תחום → חיתוכים → סימן → עלייה/ירידה → קיצון → סקיצה.
  • לקבוע סימן באמצעות לוח סימנים ופתרון אי-שוויונות.
  • להבחין בין קיצון פנימי (שבו f'=0) לבין קיצון בקצה תחום.
  • לתרגם את הממצאים לסקיצה של הגרף.

הרעיון המרכזי

שלבי חקירת פונקציה

  1. תחום הגדרה: מכנה , ביטוי תחת שורש .
  2. נקודות חיתוך: עם ציר y ⟸ x=0; עם ציר x ⟸ f(x)=0 (מונה מתאפס).
  3. סימן הפונקציה: לוח סימנים — הסימן יכול להתחלף גם בנקודות אי-הגדרה, לא רק בחיתוכים.
  4. עלייה/ירידה: מסימן f'(x) — f'>0 עולה, f'<0 יורדת.
  5. קיצון: פנימי היכן ש-f'=0 ומחליפה סימן; ובנוסף בדקו את קצוות תחום ההגדרה.
  6. סקיצה: משלבים את כל הממצאים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חקירת f(x) = x + 1/x

חקרו את f(x)=x+1xf(x) = x + \frac{1}{x}

שימו לב: המקסימום (−2) נמוך מהמינימום (2) — אופייני לפונקציה זו.

1

שלב 1 — תחום

x≠0x \ne 0

דוגמה 2: נקודות חיתוך עם הצירים

מצאו חיתוכים של f(x)=x2−9x+4f(x) = \frac{x^{2}-9}{x+4}

1

שלב 1 — ציר x

x2−9=0⟸x=3,x=−3(x^{2}-9=0 ⟸ x=3, x=-3 (המכנה ≠0)⟸(3,0),(−3,0)\ne 0) ⟸ (3,0), (-3,0)

דוגמה 3: לוח סימנים ואי-שוויון

פתרו: x−1x+2>0\frac{x-1}{x+2} > 0

הסימן מתחלף גם ב-x=-2 (אי-הגדרה) וגם ב-x=1 (חיתוך).

1

שלב 1 — נקודות מעבר

מונה=0=0 ב-x=1x=1; מכנה=0=0 ב-x=−2x=-2

דוגמה 4: קיצון בקצה תחום

חקרו קיצון של f(x)=9−x2f(x) = \sqrt{9-x^{2}}

בתחום סגור חובה לבדוק גם את קצוות התחום, לא רק נקודות שבהן f'=0.

1

שלב 1 — תחום

9−x2≥0⟸−3≤x≤3(9-x^{2} \ge 0 ⟸ -3 \le x \le 3 (תחום סגור)

בדיקה מהירה

בדיקה מהירה

מהי נקודת החיתוך של גרף f(x)=x−2x+1f(x) = \frac{x-2}{x+1} עם ציר ה-x?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: בנקודת קיצון פנימית של פונקציה גזירה, הנגזרת מתאפסת.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

נתונה f(x)=x+1xf(x) = x + \frac{1}{x}. מהם שיעורי ה-x של נקודות הקיצון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: תחומי עלייה מנגזרת

מצאו תחומי עלייה של f(x)=x+4xf(x) = x + \frac{4}{x}

תחומי עלייה נקבעים מ-f'(x)>0, לא ישירות מ-f.

1

שלב 1 — נגזרת

f′(x)=1−4x2=x2−4x2f′(x) = 1 - \frac{4}{x^{2}} = \frac{x^{2}-4}{x^{2}}

בדיקה מהירה

תשובה קצרה

נתונה f(x)=x+4xf(x) = x + \frac{4}{x}. רשמו את תחומי העלייה של הפונקציה (אי-שוויונות ב-x).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתונה f(x)=9−x2f(x) = \sqrt{9-x^{2}}. מהו הערך המינימלי של הפונקציה בכל תחום ההגדרה שלה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

עבור f(x)=x−1x+2f(x) = \frac{x-1}{x+2}, באילו ערכי x מתקיים f(x)>0f(x) > 0?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: קוראים עלייה/ירידה ישירות מ-f

ל-: עולה כש-, לא לפי מבנה הביטוי.

למה זה קורה?

מנסים לקבוע מונוטוניות מהפונקציה עצמה במקום מהנגזרת.

איך מתקנים?

עלייה/ירידה נקבעות מסימן f′(x):f′>0⟸f′(x): f′>0 ⟸ עולה,f′<0⟸, f′<0 ⟸ יורדת.

טעות נפוצה: התעלמות מקיצון בקצה תחום

ל-: המינימום (0) הוא בקצוות , לא בנקודה שבה f'=0.

למה זה קורה?

בודקים רק היכן f′=0f′=0 ומפספסים קיצון בקצוות התחום.

איך מתקנים?

בתחום סגור או בקצה של שורש, בדקו תמיד את ערכי הפונקציה בקצוות.

טעות נפוצה: הסימן מתחלף רק בחיתוכי ציר x

ב- הסימן מתחלף גם ב-x=-2.

למה זה קורה?

שוכחים שהסימן יכול להתהפך גם בנקודת אי-הגדרה.

איך מתקנים?

בלוח הסימנים כללו גם את אפסי המכנה — שם הסימן עשוי להתחלף.

סיכום

מה למדנו?

  • חקירה מסודרת: תחום → חיתוכים → סימן → עלייה/ירידה → קיצון → סקיצה.
  • עלייה/ירידה מסימן f'; קיצון פנימי היכן ש-f'=0 ומחליפה סימן.
  • בתחום סגור או בקצה שורש — בדקו גם קיצון בקצה תחום.
  • בלוח הסימנים הסימן מתחלף גם בנקודות אי-הגדרה, לא רק בחיתוכים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חקירת פונקציה מלאה וסרטוט סקיצות!

חזרה ליחידה: חשבון דיפרנציאלי של פונקציה רציונלית ופונקציית שורש
תרגול