ל

הקשר גרף-נגזרת, זוגיות ומציאת פרמטר

30%
📖שיעור
55 דקות

הקשר גרף-נגזרת, זוגיות ומציאת פרמטר

בשיעור זה נלמד לקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת, לקבוע זוגיות ואי-זוגיות, ולמצוא ערך של פרמטר אחד מתוך נתון.

הקשר גרף-נגזרת, זוגיות ומציאת פרמטר

מבוא

מטרות השיעור

  • לתרגם תכונות של f (עלייה, ירידה, קיצון) לסימן ולאפסים של f'.
  • לקבוע זוגיות/אי-זוגיות באופן אלגברי וגרפי.
  • למצוא ערך של פרמטר אחד מתוך נתון (נקודה, שיפוע, או קיצון).

הרעיון המרכזי

קשרים מרכזיים

גרף הפונקציה ⟷ גרף הנגזרת:

  • f עולה ⟺ f'>0 (גרף f' מעל ציר ה-x).
  • f יורדת ⟺ f'<0 (גרף f' מתחת לציר ה-x).
  • קיצון פנימי של f ⟺ אפס של f' (לא קיצון של f'!).

זוגיות:

  • זוגית: f(-x)=f(x) — סימטריה ביחס לציר ה-y.
  • אי-זוגית: f(-x)=-f(x) — סימטריה ביחס לראשית.

פרמטר אחד: מתרגמים את הנתון למשוואה אחת (ב-f או ב-f') ופותרים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מתכונות f לסימן f′

f עולה ב-(−∞,0), מקסימום ב-0, יורדת ב-(0,∞)(0,\infty ) — תארו את f′

קיצון של f הוא אפס של f', לא קיצון שלה.

1

שלב 1 — עלייה

x<0⟸f′>0(x<0 ⟸ f′>0 (חיובית)

דוגמה 2: זוגיות אלגברית

קבעו זוגיות של f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^{2}+1}

1

שלב 1 — מציבים −x

f(−x)=(−x)/((−x)2+1)f(-x) = (-x)/((-x)^{2}+1)

דוגמה 3: זוגיות של פונקציה רציונלית

קבעו זוגיות של f(x)=1x2−4f(x) = \frac{1}{x^{2}-4}

, ולכן המכנה אינו משתנה.

1

שלב 1 — מציבים −x

f(−x)=1/((−x)2−4)=1x2−4f(-x) = 1/((-x)^{2}-4) = \frac{1}{x^{2}-4}

דוגמה 4: מציאת פרמטר מתנאי קיצון

ל-f(x)=a⋅x+1xf(x) = a \cdot x + \frac{1}{x} יש קיצון ב-x=1x=1. מצאו a

תנאי קיצון פנימי מתורגם ל-f'(1)=0.

1

שלב 1 — נגזרת

f′(x)=a−1x2f′(x) = a - \frac{1}{x^{2}}

בדיקה מהירה

בדיקה מהירה

בקטע שבו f′(x)>0f′(x) > 0, כיצד מתנהג גרף הפונקציה f?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הפונקציה f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} היא אי-זוגית.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהי הזוגיות של הפונקציה f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^{2}+1}?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: פרמטר מתנאי משיק אופקי

המשיק ל-f(x)=x2x+af(x) = \frac{x^{2}}{x+a} ב-x=2x=2 אופקי. מצאו a

משיק אופקי ⟺ f'=0 ⟺ המונה של הנגזרת מתאפס.

1

שלב 1 — נגזרת (כלל המנה)

f′(x)=x2+2axx+a2f′(x) = \frac{x^{2}+2ax}{x+a}^{2}

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

נתונה f(x)=a⋅x+1xf(x) = a \cdot x + \frac{1}{x}. ידוע שלפונקציה יש נקודת קיצון ב-x=1x = 1. מהו ערך הפרמטר a?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתונה f(x)=x2x+af(x) = \frac{x^{2}}{x+a}. ידוע שהמשיק לגרף בנקודה שבה x=2x = 2 הוא אופקי. מהו ערך הפרמטר a?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

פונקציה f עולה בקטע (−∞, 0), יש לה מקסימום ב-x=0x = 0, ויורדת בקטע (0,∞)(0, \infty ). איזה תיאור מתאים לגרף הנגזרת f′?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בלבול בין גרף f לגרף f′

מקסימום של f ⟺ f' מחליפה סימן מ-+ ל--.

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שנקודת קיצון של f היא נקודת קיצון של f′.

איך מתקנים?

קיצון פנימי של f הוא אפס של f′ (f′ חוצה את ציר ה-x), לא קיצון של f′.

טעות נפוצה: בלבול בין זוגית לאי-זוגית

זוגית ; אי-זוגית.

למה זה קורה?

מתבלבלים בין סימטריה לציר y לסימטריה לראשית.

איך מתקנים?

זוגית: f(−x)=f(x)f(-x)=f(x), סימטריה לציר y. אי-זוגית: f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x), סימטריה לראשית.

טעות נפוצה: הצבת הנתון במשוואה שגויה

"קיצון ב-x=1" מתורגם ל-f'(1)=0, ולא ל-f(1)=0.

למה זה קורה?

כשהנתון הוא על השיפוע/קיצון, מציבים בתנאי על f במקום על f′.

איך מתקנים?

תנאי על נקודה ⟸f(x0)=…⟸ f(x_{0})=\ldots; תנאי על שיפוע/קיצון/משיק אופקי ⟸f′(x0)=…⟸ f′(x_{0})=\ldots.

סיכום

מה למדנו?

  • f עולה ⟺ f'>0; יורדת ⟺ f'<0; קיצון פנימי ⟺ אפס של f'.
  • זוגית: f(-x)=f(x) (ציר y); אי-זוגית: f(-x)=-f(x) (ראשית).
  • פרמטר אחד: תרגמו את הנתון למשוואה אחת (ב-f או ב-f') ופתרו — ובדקו תקפות (מכנה ≠ 0).

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הקשר גרף-נגזרת, זוגיות ומציאת פרמטר!

חזרה ליחידה: חשבון דיפרנציאלי של פונקציה רציונלית ופונקציית שורש
תרגול