ל

משוואת המשיק לגרף בנקודה שעליו

30%
📖שיעור
50 דקות

משוואת המשיק לגרף בנקודה שעליו

בשיעור זה נלמד למצוא את משוואת המשיק לגרף של פונקציה רציונלית או שורש בנקודה שעליו, באמצעות השיפוע f′(x0)f′(x_{0}) ושיעור ההשקה f(x0)f(x_{0}).

משוואת המשיק לגרף בנקודה שעליו

מבוא

מטרות השיעור

  • להבין שהשיפוע של המשיק לגרף בנקודה הוא .
  • לחשב את שיעור ההשקה ולכתוב את משוואת המשיק.
  • ליישם על פונקציות רציונליות ופונקציות שורש.
  • למצוא חיתוכים של המשיק עם הצירים ולפתור תנאי מקבילות לישר נתון.

הרעיון המרכזי

נוסחת המשיק

המשיק לגרף y=f(x) בנקודה שעליו, שבה :

  • השיפוע של המשיק הוא (הנגזרת בנקודה).
  • שיעור ההשקה הוא .

תהליך עבודה: 1) חשבו . 2) גזרו וחשבו . 3) הציבו בנוסחה ופשטו.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: משיק לפונקציה רציונלית פשוטה

מצאו את המשיק ל-f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} ב-x=1x = 1

1

שלב 1 — נקודת ההשקה

f(1)=11=1⟸f(1) = \frac{1}{1} = 1 ⟸ הנקודה (1,1)(1, 1)

דוגמה 2: משיק לפונקציית שורש

מצאו את המשיק ל-f(x)=√xf(x) = √x ב-x=4x = 4

1

שלב 1 — נקודת ההשקה

f(4)=4=2⟸f(4) = \sqrt{4} = 2 ⟸ הנקודה (4,2)(4, 2)

דוגמה 3: משיק עם כלל המנה

מצאו את המשיק ל-f(x)=x+1x−1f(x) = \frac{x+1}{x-1} ב-x=2x = 2

1

שלב 1 — נקודת ההשקה

f(2)=31=3⟸(2,3)f(2) = \frac{3}{1} = 3 ⟸ (2, 3)

דוגמה 4: משיק אופקי וחיתוך עם הצירים

המשיק ל-f(x)=x2x−1f(x) = \frac{x^{2}}{x-1} ב-x=2x = 2 — מצאו חיתוך עם ציר y

שיפוע אפס פירושו משיק אופקי: y=4.

1

שלב 1 — נקודת ההשקה

f(2)=41=4⟸(2,4)f(2) = \frac{4}{1} = 4 ⟸ (2, 4)

בדיקה מהירה

בדיקה מהירה

מהי משוואת המשיק לגרף f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} בנקודה שבה x=1x = 1?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה x0x_{0} שווה ל-f′(x0)f′(x_{0}).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהי משוואת המשיק לגרף f(x)=x+1x−1f(x) = \frac{x+1}{x-1} בנקודה שבה x=2x = 2?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: מציאת נקודות לפי שיפוע נתון

באילו נקודות על f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} המשיק מקביל ל-y=−4xy = -4x?

ישרים מקבילים ⟺ שיפועיהם שווים: f'(x)=-4.

1

שלב 1 — תנאי מקבילות

שיפועים שווים ⟸f′(x)=−4⟸ f′(x) = -4

בדיקה מהירה

תשובה קצרה

רשמו את משוואת המשיק לגרף f(x)=2x+1f(x) = \sqrt{2x+1} בנקודה שבה x=4(x = 4 (בצורה y=mx+n)y = mx + n).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתונה f(x)=2x−3x+1f(x) = \frac{2x-3}{x+1}. מעבירים משיק לגרף בנקודת החיתוך שלו עם ציר ה-y. מהו שיעור ה-x של נקודת חיתוך המשיק עם ציר ה-x?

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שימוש ב-f(x0)f(x_{0}) כשיפוע

ב-f(x)=1/x ב-x=1: השיפוע הוא f'(1)=-1, לא f(1)=1.

למה זה קורה?

תלמידים מבלבלים בין ערך הפונקציה לבין הנגזרת ומציבים את f(x0)f(x_{0}) כשיפוע.

איך מתקנים?

השיפוע הוא f′(x0)(f′(x_{0}) (הנגזרת). הערך f(x0)f(x_{0}) הוא רק שיעור ה-y של נקודת ההשקה.

טעות נפוצה: שכחת שיעור ה-y של נקודת ההשקה

ב- צריך גם את f(2) וגם את f'(2).

למה זה קורה?

מציבים רק את x0x_{0} ושוכחים לחשב f(x0)f(x_{0}).

איך מתקנים?

נקודת ההשקה היא (x0,f(x0))(x_{0}, f(x_{0})). חשבו את שני השיעורים לפני ההצבה בנוסחה.

טעות נפוצה: בלבול בין נקודת ההשקה לחיתוך עם הצירים

המשיק y=5x-3 חותך את ציר ה-x ב-x=0.6, ולא בנקודת ההשקה.

למה זה קורה?

כשמבקשים חיתוך עם ציר, תלמידים נותנים את נקודת ההשקה.

איך מתקנים?

לאחר שכתבתם את משוואת המשיק, הציבו x=0x=0 לחיתוך עם ציר y, או y=0y=0 לחיתוך עם ציר x.

סיכום

מה למדנו?

  • משוואת המשיק: .
  • השיפוע הוא ; נקודת ההשקה היא .
  • מקבילות לישר ⟺ שיפוע שווה ⟸ פתרון f'(x)=m.
  • לחיתוך עם הצירים: הציבו x=0 או y=0 במשוואת המשיק.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מציאת משוואות משיקים לגרפים של פונקציות רציונליות ושורש!

חזרה ליחידה: חשבון דיפרנציאלי של פונקציה רציונלית ופונקציית שורש
תרגול