בעיות קיצון בתיבה: נפח, שטח פנים ומעטפת

מבוא

מטרות השיעור

להכיר את נוסחאות התיבה: נפח, שטח פנים ושטח מעטפת
להבחין בין תיבה סגורה (עם מכסה), תיבה פתוחה (ללא מכסה) ושטח מעטפת (דפנות בלבד)
לבטא את הגודל הנדרש כפונקציה של משתנה אחד תוך שימוש באילוץ
לגזור, למצוא את הקיצון, ולבחור את הפתרון הפנימי הנכון (לא המנוון)

הרעיון המרכזי

נוסחאות התיבה (בסיס ריבועי שצלעו x, גובה h)

נפח: $V = x^{2} h$
שטח פנים סגור (בסיס + מכסה + 4 דפנות): $S = 2 x^{2} + 4 x h$
תיבה פתוחה (בסיס + 4 דפנות, ללא מכסה): $S = x^{2} + 4 x h$
שטח מעטפת (4 דפנות צדדיות בלבד): $S_{מעטפת} = 4 x h$

חשוב לקרוא את השאלה ולזהות איזה שטח נדרש — סגור, פתוח או מעטפת.

שיטת העבודה

בוחרים משתנים (למשל צלע בסיס x, גובה h).
כותבים את האילוץ (נפח נתון או שטח פנים נתון).
מבודדים משתנה אחד מהאילוץ ומציבים בפונקציית המטרה.
גוזרים, פותרים f'(x)=0 ומסווגים בטבלת סימנים.
בוחרים את הפתרון הפנימי ההגיוני (פוסלים פתרון מנוון שמאפס נפח).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: תיבה פתוחה מגיליון ריבועי

גיליון ריבועי $12 \times 12$ . חותכים ריבוע x בכל פינה ומקפלים. מהו הנפח המקסימלי?

V (x) = x (12 - 2 x)^{2}, V^{'} (x) = (12 - 2 x) (12 - 6 x) = 0 \Rightarrow x = 2

שלב 1 — מודל

בסיס

(12 - 2x)

, גובה x; הבסיס מתקצר בפי שניים

דוגמה 2: שטח פנים מינימלי של תיבה פתוחה בנפח נתון

תיבה פתוחה בעלת בסיס ריבועי, נפח 32 סמ״ק. מהו שטח הפנים המינימלי?

S (x) = x^{2} + \frac{128}{x}, S^{'} (x) = 2 x - \frac{128}{x ^{2}} = 0 \Rightarrow x = 4

שלב 1 — נוסחה לתיבה פתוחה

S = x^{2} + 4xh (

בסיס

+ 4

דפנות)

דוגמה 3: נפח מקסימלי בשטח פנים נתון (תיבה סגורה)

תיבה סגורה בעלת בסיס ריבועי, שטח פנים 150 סמ״ר. מהו הנפח המקסימלי?

V (x) = 37.5 x - 0.5 x^{3}, V^{'} (x) = 37.5 - 1.5 x^{2} = 0 \Rightarrow x = 5

שלב 1 — אילוץ שטח פנים

2x^{2} + 4xh = 150 ⟸ h = \frac{150 - 2x^{2}}{4x}

דוגמה 4: שטח מעטפת מול שטח פנים

הבחנה בין שטח מעטפת לשטח פנים בתיבה (בסיס ריבועי x, גובה h)

S_{מעטפת} = 4 x h, S_{פתוחה} = x^{2} + 4 x h, S_{סגורה} = 2 x^{2} + 4 x h

שלב 1 — מעטפת

ארבע דפנות צדדיות בלבד: 4xh

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

תיבה פתוחה (ללא מכסה) נבנית מגיליון ריבועי שצלעו 12 ס"מ, על ידי חיתוך ריבוע שצלעו x מכל פינה וקיפול הדפנות כלפי מעלה. מהו הנפח הגדול ביותר של התיבה (בסמ"ק)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

תיבה פתוחה (ללא מכסה) בעלת בסיס ריבועי שצלעו x וגובה h, ונפחה 32 סמ"ק. מהו שטח הפנים הקטן ביותר של התיבה (בסמ"ר)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: תיבה פתוחה מגיליון מלבני

גיליון $10 \times 16$ . חותכים ריבוע x בכל פינה ומקפלים. מהו הנפח המקסימלי?

3 x^{2} - 26 x + 40 = 0 \Rightarrow x = \frac{26 \pm 14}{6} \Rightarrow x = 2

שלב 1 — מודל

בסיס

(10 - 2x)(16 - 2x)

, גובה

x; 0 < x < 5

דוגמה 6: מינימום חומר בתיבה פתוחה (נפח נתון)

תיבה פתוחה, בסיס ריבועי, נפח 500 סמ״ק. איזה x ממזער את כמות החומר?

S (x) = x^{2} + \frac{2000}{x}, S^{'} (x) = 2 x - \frac{2000}{x ^{2}} = 0 \Rightarrow x = 10

שלב 1 — נוסחה ואילוץ

S = x^{2} + 4xh; x^{2}h = 500 ⟸ h = \frac{500}{x^{2}}

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

תיבה סגורה בעלת בסיס ריבועי שצלעו x וגובה h, ושטח הפנים הכולל שלה הוא 150 סמ"ר. מהו הנפח הגדול ביותר האפשרי של התיבה (בסמ"ק)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

תיבה פתוחה נבנית מגיליון מלבני שמידותיו 10 ס"מ על 16 ס"מ, על ידי חיתוך ריבוע שצלעו x מכל פינה וקיפול הדפנות. מהו הנפח הגדול ביותר של התיבה (בסמ"ק)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין סגורה, פתוחה ומעטפת

S_{מעטפת} = 4 x h, S_{פתוחה} = x^{2} + 4 x h, S_{סגורה} = 2 x^{2} + 4 x h

למה זה קורה?

תלמידים משתמשים בנוסחת שטח פנים לא נכונה ביחס למה שהשאלה מבקשת.

איך מתקנים?

מעטפת

= 4xh (

דפנות בלבד); תיבה פתוחה

= x^{2} + 4xh (

ללא מכסה); תיבה סגורה

= 2x^{2} + 4xh

. קראו היטב מה נדרש.

טעות נפוצה: שוכחים שהבסיס מתקצר בפי שניים בקיפול

מגיליון $12 \times 12$ מקבלים בסיס (12 - 2x) וגובה x.

למה זה קורה?

כשחותכים ריבוע x בכל פינה, נחתך x משני צידי הצלע.

איך מתקנים?

אורך הבסיס הוא (צלע הגיליון − 2x), לא (צלע − x). למשל מגיליון 12 מקבלים בסיס

(12 - 2x)

טעות נפוצה: בוחרים את הפתרון המנוון

ב- $V = x (12 - 2 x)^{2}$ השורש x = 6 נותן נפח אפס — בוחרים x = 2.

למה זה קורה?

המשוואה

f'(x)=0

נותנת לעיתים שורש שמאפס את הנפח (כמו

x =

חצי צלע הגיליון).

איך מתקנים?

פסלו פתרון שיוצא מחוץ לתחום ההגיוני או שמאפס את הגודל. בחרו את השורש הפנימי שנותן את הקיצון האמיתי.

טעות נפוצה: גוזרים בלי לבודד משתנה דרך האילוץ

מ- $2 x^{2} + 4 x h = 150$ מבודדים $h = \frac{150 - 2 x ^{2}}{4 x}$ .

למה זה קורה?

תלמיד מנסה לגזור

V = x^{2}h

כפונקציה של שני משתנים.

איך מתקנים?

השתמשו באילוץ (נפח נתון או שטח פנים נתון) כדי לבטא את h באמצעות x, והציבו לפני הגזירה.

סיכום

מה למדנו?

בעיות קיצון בתיבה — צעד אחר צעד:

נוסחאות: נפח $V = x^{2} h$ ; שטח פנים סגור $2 x^{2} + 4 x h$ ; תיבה פתוחה $x^{2} + 4 x h$ ; מעטפת 4xh.
אילוץ: נפח נתון או שטח פנים נתון — לבידוד משתנה אחד.
גזירה, פתרון f'(x)=0 וסיווג בטבלת סימנים.
בחירת הפתרון הפנימי ההגיוני (פסילת פתרון מנוון).

זכרו: קראו אם מדובר בתיבה סגורה, פתוחה או במעטפת — זה קובע את הנוסחה. הנושא מוגבל לתיבה בלבד בתוכנית 4 יח"ל.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על בעיות קיצון בתיבה: נפח, שטח פנים ומעטפת!

בעיות קיצון בתיבה: נפח, שטח פנים ומעטפת

בעיות קיצון בתיבה: נפח, שטח פנים ומעטפת

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: תיבה פתוחה מגיליון ריבועי

גיליון ריבועי 12×1212 \times 1212×12. חותכים ריבוע x בכל פינה ומקפלים. מהו הנפח המקסימלי?

דוגמה 2: שטח פנים מינימלי של תיבה פתוחה בנפח נתון

תיבה פתוחה בעלת בסיס ריבועי, נפח 32 סמ״ק. מהו שטח הפנים המינימלי?

דוגמה 3: נפח מקסימלי בשטח פנים נתון (תיבה סגורה)

תיבה סגורה בעלת בסיס ריבועי, שטח פנים 150 סמ״ר. מהו הנפח המקסימלי?

דוגמה 4: שטח מעטפת מול שטח פנים

הבחנה בין שטח מעטפת לשטח פנים בתיבה (בסיס ריבועי x, גובה h)

בדיקה מהירה

דוגמה 5: תיבה פתוחה מגיליון מלבני

גיליון 10×1610 \times 1610×16. חותכים ריבוע x בכל פינה ומקפלים. מהו הנפח המקסימלי?

דוגמה 6: מינימום חומר בתיבה פתוחה (נפח נתון)

תיבה פתוחה, בסיס ריבועי, נפח 500 סמ״ק. איזה x ממזער את כמות החומר?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין סגורה, פתוחה ומעטפת

טעות נפוצה: שוכחים שהבסיס מתקצר בפי שניים בקיפול

טעות נפוצה: בוחרים את הפתרון המנוון

טעות נפוצה: גוזרים בלי לבודד משתנה דרך האילוץ

סיכום

תרגול נוסף

גיליון ריבועי $12 \times 12$ . חותכים ריבוע x בכל פינה ומקפלים. מהו הנפח המקסימלי?

גיליון $10 \times 16$ . חותכים ריבוע x בכל פינה ומקפלים. מהו הנפח המקסימלי?