קיצון בתחום פתוח ובתחום סגור

מבוא

מטרות השיעור

למצוא נקודות חשודות לקיצון על ידי פתרון המשוואה f'(x) = 0
לסווג נקודת קיצון (מקסימום / מינימום / לא קיצון) באמצעות טבלת סימנים של הנגזרת הראשונה
להבחין בין חיפוש קיצון בתחום פתוח לבין חיפוש הערך הגדול/הקטן ביותר בתחום סגור
לזכור לבדוק בתחום סגור גם את קצות התחום ולא רק את הנקודות הפנימיות

הרעיון המרכזי

תנאי לקיצון פנימי וטבלת סימנים

תנאי הכרחי: בנקודת קיצון פנימית של פונקציה גזירה מתקיים f'(x) = 0.

תנאי מספיק (סיווג): בודקים את שינוי הסימן של f'(x) סביב הנקודה החשודה:

מ-(+) ל-(-) ← הפונקציה עולה ואז יורדת ← מקסימום
מ-(-) ל-(+) ← הפונקציה יורדת ואז עולה ← מינימום
ללא שינוי סימן ← אין קיצון (לרוב נקודת פיתול אופקית)

מאחר שהנגזרת השנייה מחוץ לתוכנית 4 יח"ל, הסיווג נעשה תמיד דרך טבלת הסימנים של הנגזרת הראשונה.

תחום פתוח מול תחום סגור

בתחום פתוח (למשל x > 0): מחפשים נקודות פנימיות שבהן f'(x) = 0 ומסווגים בטבלת סימנים.

בתחום סגור [a, b]: הערך הגדול/הקטן ביותר יכול להתקבל בנקודה פנימית או באחד הקצוות. לכן מחשבים את f בכל נקודה פנימית חשודה וגם ב-a וב-b, ומשווים בין כל הערכים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מינימום בתחום פתוח (פרבולה)

מצאו את נקודת הקיצון של $f(x) = x^{2} - 6x + 5$

f^{'} (x) = 2 x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3, f (3) = - 4

שלב 1 — גוזרים

f'(x) = 2x - 6

דוגמה 2: מינימום של פונקציה רציונלית בתחום פתוח

מצאו את הערך המינימלי של $f(x) = x + \frac{4}{x}$ עבור $x > 0$

f^{'} (x) = 1 - \frac{4}{x ^{2}} = 0 \Rightarrow x = 2, f (2) = 4

שלב 1 — גוזרים

f'(x) = 1 - \frac{4}{x^{2}}

דוגמה 3: ערך גדול ביותר בתחום סגור

מצאו את הערך הגדול ביותר של $f(x) = x^{2} - 4x + 1$ בתחום [0, 3]

max {f (0), f (2), f (3)} = max {1, - 3, - 2} = 1

שלב 1 — גוזרים ומאתרים נקודה פנימית

f'(x) = 2x - 4 = 0 ⟸ x = 2 (

בתוך [0, 3])

דוגמה 4: קיצון של פונקציית שורש

היכן מתקבל המקסימום של $f(x) = \sqrt{9 - x^{2}}$ בתחום [−3, 3]?

f^{'} (x) = \frac{- x}{9 - x ^{2}} = 0 \Rightarrow x = 0, f (0) = 3

שלב 1 — גוזרים (כלל השרשרת)

f'(x) = \frac{-2x}{2\sqrt{9 - x^{2}}} = -x / \sqrt{9 - x^{2}}

בדיקה מהירה

נתונה הפונקציה $f(x) = x^{2} - 6x + 5$ . מהי נקודת הקיצון של הפונקציה וסוגה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתונה הפונקציה $f(x) = x + \frac{4}{x}$ עבור $x > 0$ . מהו הערך המינימלי של הפונקציה בתחום זה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: השוואה בין נקודה פנימית לקצוות (פונקציה רציונלית)

מצאו את הערך הגדול ביותר של $f(x) = x + \frac{9}{x}$ בתחום [1, 6]

f (1) = 10, f (3) = 6, f (6) = 7.5 \Rightarrow max = 10

שימו לב: הנקודה שבה f'(x) = 0 נתנה את המינימום — דווקא הקצה נתן את המקסימום!

שלב 1 — גוזרים

f'(x) = 1 - \frac{9}{x^{2}}

דוגמה 6: נקודה שבה f'=0 אך אין קיצון

בדקו אם $x = 0$ היא נקודת קיצון של $f(x) = x^{3}$

$f^{'} (x) = 3 x^{2} \geq 0$ לכל x — אין מעבר סימן, אין קיצון.

שלב 1 — גוזרים

f'(x) = 3x^{2}

בדיקה מהירה

בפונקציה $f(x) = x^{3}$ מתקיים $f'(0) = 0$ . מה אפשר לומר על הנקודה $x = 0$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתונה הפונקציה $f(x) = x + \frac{9}{x}$ בתחום הסגור [1, 6]. מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה בתחום זה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מניחים ש- $f'=0$ פירושו קיצון

$f (x) = x^{3}$ : מתקיים f'(0) = 0, אך זו אינה נקודת קיצון.

למה זה קורה?

תלמידים מזהים נקודה שבה הנגזרת מתאפסת ומיד קובעים שזה מקסימום או מינימום.

איך מתקנים?

f'(x)=0

הוא תנאי הכרחי בלבד. חובה לבדוק שינוי סימן בטבלת הסימנים. אם הנגזרת אינה מחליפה סימן — אין קיצון.

טעות נפוצה: שוכחים את הקצוות בתחום סגור

ב-f(x) = x + 9/x בתחום [1, 6], המקסימום מתקבל בקצה x = 1 ולא בנקודה הפנימית.

למה זה קורה?

תלמידים מחפשים רק נקודות פנימיות שבהן

f'(x)=0

ועוצרים שם.

איך מתקנים?

בתחום סגור [a, b] הערך הגדול/הקטן ביותר יכול להתקבל בקצה. תמיד חשבו את f(a) ו-f(b) והשוו לנקודות הפנימיות.

טעות נפוצה: מתעלמים מתחום ההגדרה של פונקציית השורש

ב- $f (x) = 9 - x^{2}$ התחום הוא [-3, 3] — מחוצה לו הפונקציה אינה מוגדרת.

למה זה קורה?

גוזרים ופותרים

f'(x)=0

בלי לשים לב שחלק מהפתרונות אינם בתחום ההגדרה.

איך מתקנים?

בפונקציית שורש

\sqrt{g(x})

מוודאים ש-

g(x) \ge 0

. נקודה חשודה שמחוץ לתחום ההגדרה נפסלת, וקצות תחום ההגדרה הם מועמדים לקיצון.

טעות נפוצה: מבלבלים בין כיוון מעבר הסימן

מעבר $(+) \to (-)$ ⟸ מקסימום; מעבר $(-) \to (+)$ ⟸ מינימום.

למה זה קורה?

תלמידים מתבלבלים איזה מעבר נותן מקסימום ואיזה מינימום.

איך מתקנים?

עולה ואז יורדת (+ ל-−) = מקסימום (פסגה). יורדת ואז עולה (− ל-+) = מינימום (גיא). דמיינו את צורת הגרף.

סיכום

מה למדנו?

מציאת קיצון — צעד אחר צעד:

גוזרים את הפונקציה.
פותרים f'(x) = 0 ומאתרים נקודות חשודות (בתוך תחום ההגדרה).
מסווגים בטבלת סימנים של הנגזרת הראשונה: $(+) \to (-)$ מקסימום, $(-) \to (+)$ מינימום, ללא מעבר — אין קיצון.
בתחום סגור [a, b]: משווים את ערכי הנקודות הפנימיות לערכי הקצוות f(a) ו-f(b).

זכרו: הנגזרת השנייה מחוץ לתוכנית 4 יח"ל — הסיווג נעשה תמיד בטבלת סימני הנגזרת הראשונה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מציאת קיצון בתחום פתוח ובתחום סגור!

קיצון בתחום פתוח ובתחום סגור

קיצון בתחום פתוח ובתחום סגור

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מינימום בתחום פתוח (פרבולה)

מצאו את נקודת הקיצון של f(x)=x2−6x+5f(x) = x^{2} - 6x + 5f(x)=x2−6x+5

דוגמה 2: מינימום של פונקציה רציונלית בתחום פתוח

מצאו את הערך המינימלי של f(x)=x+4xf(x) = x + \frac{4}{x}f(x)=x+x4​ עבור x>0x > 0x>0

דוגמה 3: ערך גדול ביותר בתחום סגור

מצאו את הערך הגדול ביותר של f(x)=x2−4x+1f(x) = x^{2} - 4x + 1f(x)=x2−4x+1 בתחום [0, 3]

דוגמה 4: קיצון של פונקציית שורש

היכן מתקבל המקסימום של f(x)=9−x2f(x) = \sqrt{9 - x^{2}}f(x)=9−x2​ בתחום [−3, 3]?

בדיקה מהירה

דוגמה 5: השוואה בין נקודה פנימית לקצוות (פונקציה רציונלית)

מצאו את הערך הגדול ביותר של f(x)=x+9xf(x) = x + \frac{9}{x}f(x)=x+x9​ בתחום [1, 6]

דוגמה 6: נקודה שבה f'=0 אך אין קיצון

בדקו אם x=0x = 0x=0 היא נקודת קיצון של f(x)=x3f(x) = x^{3}f(x)=x3

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מניחים ש-f′=0f'=0f′=0 פירושו קיצון

טעות נפוצה: שוכחים את הקצוות בתחום סגור

טעות נפוצה: מתעלמים מתחום ההגדרה של פונקציית השורש

טעות נפוצה: מבלבלים בין כיוון מעבר הסימן

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את נקודת הקיצון של $f(x) = x^{2} - 6x + 5$

מצאו את הערך המינימלי של $f(x) = x + \frac{4}{x}$ עבור $x > 0$

מצאו את הערך הגדול ביותר של $f(x) = x^{2} - 4x + 1$ בתחום [0, 3]

היכן מתקבל המקסימום של $f(x) = \sqrt{9 - x^{2}}$ בתחום [−3, 3]?

מצאו את הערך הגדול ביותר של $f(x) = x + \frac{9}{x}$ בתחום [1, 6]

בדקו אם $x = 0$ היא נקודת קיצון של $f(x) = x^{3}$

טעות נפוצה: מניחים ש- $f'=0$ פירושו קיצון