בעיות קיצון במספרים, בכלכלה ובפונקציות

מבוא

מטרות השיעור

לתרגם בעיה מילולית לפונקציית מטרה של משתנה אחד
להשתמש באילוץ (כמו סכום נתון) כדי לצמצם שני משתנים לאחד
לפתור בעיות מספרים, בעיות כלכליות (הכנסה, עלות, רווח) ובעיות פונקציה/גרף
לגזור, למצוא את הקיצון, ולאמת אותו בטבלת סימנים ובהקשר הבעיה

הרעיון המרכזי

שיטת העבודה לבעיית קיצון מילולית

מגדירים משתנה וכותבים את הגודל שרוצים למקסם/למזער כפונקציית מטרה.
אם יש שני משתנים, מנצלים את האילוץ (משוואה הקושרת ביניהם) כדי להשאיר משתנה אחד בלבד.
קובעים את תחום ההגדרה ההגיוני (למשל אורך חיובי, מספר מוצרים אי-שלילי).
גוזרים ופותרים f'(x) = 0.
מסווגים בטבלת סימני הנגזרת ומאמתים שהקיצון מתאים לבעיה.

המודל הכלכלי: הכנסה, עלות ורווח

הכנסה (Revenue): $R (x) = p \cdot x$ (מחיר ליחידה כפול הכמות).
עלות (Cost): C(x) — עלות הייצור הכוללת.
רווח (Profit): $Π (x) = R (x) - C (x)$ .

כדי למקסם רווח גוזרים את $Π (x)$ — לא את ההכנסה ולא את העלות בנפרד!

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: בעיית מספרים — מכפלה מקסימלית

סכום שני מספרים חיוביים הוא 20. מצאו את המכפלה הגדולה ביותר.

P (x) = 20 x - x^{2}, P^{'} (x) = 20 - 2 x = 0 \Rightarrow x = 10

שלב 1 — אילוץ ומשתנה אחד

המספרים: x ו-

20 - x

דוגמה 2: בעיית מספרים — סכום ריבועים מינימלי

סכום שני מספרים חיוביים הוא 12. מצאו את הערך הקטן ביותר של סכום ריבועיהם.

S (x) = x^{2} + (12 - x)^{2}, S^{'} (x) = 4 x - 24 = 0 \Rightarrow x = 6

שלב 1 — אילוץ ומשתנה אחד

המספרים: x ו-

12 - x

דוגמה 3: בעיה כלכלית — מקסום רווח

רווח (בש״ח) ממכירת x יחידות: $P(x) = -x^{2} + 80x - 700$ . כמה יחידות למכור למקסום הרווח?

P^{'} (x) = - 2 x + 80 = 0 \Rightarrow x = 40, P (40) = 900

שלב 1 — פונקציית המטרה

P(x) = -x^{2} + 80x - 700

דוגמה 4: בניית פונקציית רווח מהכנסה ועלות

מחיר ליחידה $p = 200 - 2x$ ש״ח, עלות כוללת $C(x) = 40x + 800$ . כמה יחידות למקסום הרווח?

Π (x) = - 2 x^{2} + 160 x - 800, Π^{'} (x) = - 4 x + 160 = 0 \Rightarrow x = 40

שלב 1 — הכנסה

R(x) = x \cdot p = x(200 - 2x) = 200x - 2x^{2}

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

סכום של שני מספרים חיוביים הוא 20. מהי המכפלה הגדולה ביותר האפשרית שלהם?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

רווח של מפעל (בשקלים) ממכירת x יחידות נתון על ידי $P(x) = -x^{2} + 80x - 700$ . כמה יחידות יש למכור כדי למקסם את הרווח?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: בעיית פונקציה/גרף — סכום שיעורים מינימלי

על הגרף של $y = \frac{9}{x}$ ברביע הראשון, באיזו נקודה סכום השיעורים $x + y$ מינימלי?

S (x) = x + \frac{9}{x}, S^{'} (x) = 1 - \frac{9}{x ^{2}} = 0 \Rightarrow x = 3

שלב 1 — מציבים את הקשר

y = \frac{9}{x}

, ולכן

S(x) = x + \frac{9}{x}

עבור

x > 0

דוגמה 6: עלות ממוצעת מינימלית

עלות ממוצעת ליחידה: $C(x) = x + \frac{100}{x} (x > 0)$ . מצאו את הכמות שממזערת אותה.

C^{'} (x) = 1 - \frac{100}{x ^{2}} = 0 \Rightarrow x = 10, C (10) = 20

שלב 1 — פונקציית המטרה

C(x) = x + \frac{100}{x}

בדיקה מהירה

העלות הממוצעת ליחידה (בשקלים) בייצור x יחידות נתונה על ידי $C(x) = x + \frac{100}{x}$ , עבור $x > 0$ . עבור איזו כמות x העלות הממוצעת ליחידה היא הנמוכה ביותר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חברה מוכרת מוצר במחיר של $p = 200 - 2x$ שקלים ליחידה, כאשר x הוא מספר היחידות הנמכרות. עלות הייצור הכוללת היא $C(x) = 40x + 800$ שקלים. כמה יחידות יש למכור כדי למקסם את הרווח (בשקלים)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: לא משתמשים באילוץ ונשארים עם שני משתנים

סכום נתון x + y = 20 ⟸ הציבו y = 20 - x ב-P = xy.

למה זה קורה?

תלמידים מגדירים x ו-y ומנסים לגזור פונקציה של שני משתנים.

איך מתקנים?

כל בעיית מספרים/גאומטריה כוללת אילוץ. השתמשו בו (למשל

y = 20 - x)

כדי לקבל פונקציה של משתנה אחד בלבד לפני הגזירה.

טעות נפוצה: מבלבלים בין הכנסה, עלות ורווח

$Π (x) = R (x) - C (x)$ — גוזרים את ההפרש כולו.

למה זה קורה?

תלמידים גוזרים את ההכנסה או את העלות במקום את הרווח.

איך מתקנים?

רווח = הכנסה פחות עלות:

\Pi (x) = R(x) - C(x)

. כדי למקסם רווח, גוזרים את

\Pi

, לא את R או C בנפרד.

טעות נפוצה: מתעלמים מתחום ההגדרה ההגיוני

מספר יחידות חייב לקיים $x \geq 0$ ; שורש שלילי נפסל.

למה זה קורה?

תלמידים מקבלים פתרון שלילי או לא הגיוני (למשל מספר מוצרים שלילי).

איך מתקנים?

הגדירו את התחום מתוך הבעיה (למשל

x > 0

או

x \ge 0)

. פתרון מחוץ לתחום נפסל, וייתכן שהקיצון נמצא בקצה התחום.

טעות נפוצה: עוצרים אחרי $f'(x)=0$ בלי לאמת ובלי לחשב את הערך המבוקש

אם מבקשים את המכפלה — החזירו את P(10) = 100, לא את x = 10.

למה זה קורה?

תלמידים מוצאים את x ומסיימים, או מדווחים את x במקום את הערך המבוקש.

איך מתקנים?

קראו את השאלה: לעיתים מבקשים את ה-x ולעיתים את הערך המקסימלי/מינימלי עצמו. תמיד אמתו בטבלת סימנים והציבו בחזרה לפי הצורך.

סיכום

מה למדנו?

בעיית קיצון מילולית — חמשת הצעדים:

מגדירים משתנה וכותבים את פונקציית המטרה.
מנצלים אילוץ לצמצום למשתנה אחד.
קובעים תחום הגיוני למשתנה.
גוזרים ופותרים f'(x) = 0.
מסווגים בטבלת סימנים, מאמתים ומחזירים את הערך המבוקש.

מודל כלכלי: $R = p \cdot x$ , רווח $Π = R - C$ — תמיד גוזרים את הרווח כולו.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על בעיות קיצון במספרים, בכלכלה ובפונקציות!

בעיות קיצון במספרים, בכלכלה ובפונקציות

בעיות קיצון במספרים, בכלכלה ובפונקציות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: בעיית מספרים — מכפלה מקסימלית

סכום שני מספרים חיוביים הוא 20. מצאו את המכפלה הגדולה ביותר.

דוגמה 2: בעיית מספרים — סכום ריבועים מינימלי

סכום שני מספרים חיוביים הוא 12. מצאו את הערך הקטן ביותר של סכום ריבועיהם.

דוגמה 3: בעיה כלכלית — מקסום רווח

רווח (בש״ח) ממכירת x יחידות: P(x)=−x2+80x−700P(x) = -x^{2} + 80x - 700P(x)=−x2+80x−700. כמה יחידות למכור למקסום הרווח?

דוגמה 4: בניית פונקציית רווח מהכנסה ועלות

מחיר ליחידה p=200−2xp = 200 - 2xp=200−2x ש״ח, עלות כוללת C(x)=40x+800C(x) = 40x + 800C(x)=40x+800. כמה יחידות למקסום הרווח?

בדיקה מהירה

דוגמה 5: בעיית פונקציה/גרף — סכום שיעורים מינימלי

על הגרף של y=9xy = \frac{9}{x}y=x9​ ברביע הראשון, באיזו נקודה סכום השיעורים x+yx + yx+y מינימלי?

דוגמה 6: עלות ממוצעת מינימלית

עלות ממוצעת ליחידה: C(x)=x+100x(x>0)C(x) = x + \frac{100}{x} (x > 0)C(x)=x+x100​(x>0). מצאו את הכמות שממזערת אותה.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: לא משתמשים באילוץ ונשארים עם שני משתנים

טעות נפוצה: מבלבלים בין הכנסה, עלות ורווח

טעות נפוצה: מתעלמים מתחום ההגדרה ההגיוני

טעות נפוצה: עוצרים אחרי f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 בלי לאמת ובלי לחשב את הערך המבוקש

סיכום

תרגול נוסף

רווח (בש״ח) ממכירת x יחידות: $P(x) = -x^{2} + 80x - 700$ . כמה יחידות למכור למקסום הרווח?

מחיר ליחידה $p = 200 - 2x$ ש״ח, עלות כוללת $C(x) = 40x + 800$ . כמה יחידות למקסום הרווח?

על הגרף של $y = \frac{9}{x}$ ברביע הראשון, באיזו נקודה סכום השיעורים $x + y$ מינימלי?

עלות ממוצעת ליחידה: $C(x) = x + \frac{100}{x} (x > 0)$ . מצאו את הכמות שממזערת אותה.

טעות נפוצה: עוצרים אחרי $f'(x)=0$ בלי לאמת ובלי לחשב את הערך המבוקש