בעיות קיצון גאומטריות במישור

מבוא

מטרות השיעור

לבטא שטח או היקף של צורה במישור כפונקציה של משתנה אחד
לזהות את האילוץ הגאומטרי (היקף נתון, נקודה על ישר, אורך גדר) ולהשתמש בו
לגזור, למצוא את הקיצון, ולאמת אותו בטבלת סימנים
להתמודד עם בעיות שבהן מופיע שורש, כולל גזירת מכפלה של פולינום בשורש

הרעיון המרכזי

איך פותרים בעיית קיצון גאומטרית

ציור של הצורה וסימון הגדלים במשתנים.
כתיבת הגודל לאופטימיזציה (בדרך כלל שטח או היקף).
שימוש באילוץ הגאומטרי לצמצום למשתנה אחד.
גזירה, פתרון f'(x) = 0 וסיווג בטבלת סימנים.
בדיקה שהפתרון נמצא בתחום ההגיוני (אורכים חיוביים).

עקרונות שימושיים

מבין כל המלבנים בעלי היקף נתון — לריבוע השטח הגדול ביותר.
מבין כל המלבנים בעלי שטח נתון — לריבוע ההיקף הקטן ביותר.
כשמופיע אורך אלכסון או מרחק, מקבלים שורש — גוזרים בכלל המכפלה והשרשרת.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שטח מקסימלי בהיקף נתון

היקף מלבן הוא 40 ס״מ. מצאו את השטח הגדול ביותר.

A (x) = 20 x - x^{2}, A^{'} (x) = 20 - 2 x = 0 \Rightarrow x = 10

שלב 1 — אילוץ

סכום צלעות סמוכות

= 20

. צלעות: x ו-

20 - x

דוגמה 2: גדר הנשענת על קיר

60 מ' גדר, מכלאה צמודה לקיר (הקיר $=$ צלע אחת). מהו השטח הגדול ביותר?

A (x) = 60 x - 2 x^{2}, A^{'} (x) = 60 - 4 x = 0 \Rightarrow x = 15

שלב 1 — ציור ומשתנים

x =

שתי הצלעות הניצבות לקיר

, y =

הצלע המקבילה לקיר

דוגמה 3: מלבן תחת ישר

מלבן ברביע הראשון, צלעותיו על הצירים וקודקודו על הישר $y = -2x + 12$ . מהו השטח הגדול ביותר?

A (x) = - 2 x^{2} + 12 x, A^{'} (x) = - 4 x + 12 = 0 \Rightarrow x = 3

שלב 1 — צלעות המלבן

צלע אופקית x, צלע אנכית y; הקודקוד על הישר:

y = -2x + 12

דוגמה 4: בעיה עם שורש — גזירת מכפלה של פולינום בשורש

מלבן חסום במעגל שרדיוסו 5 (האלכסון $=$ קוטר $= 10)$ . מצאו את השטח הגדול ביותר.

A (x) = 4 x 25 - x^{2}, A^{'} (x) = \frac{4 ( 25 - 2 x ^{2} )}{25 - x ^{2}} = 0 \Rightarrow x^{2} = 12.5

שלב 1 — משתנים ואילוץ

חצי רוחב x, חצי גובה y; הקודקוד על המעגל:

x^{2} + y^{2} = 25 ⟸ y = \sqrt{25 - x^{2}}

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

היקף מלבן הוא 40 ס"מ. מהו השטח הגדול ביותר האפשרי של המלבן (בסמ"ר)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חקלאי גודר מכלאה מלבנית הצמודה לקיר ישר וארוך. הקיר משמש כצלע אחת ואין צורך לגדר אותה. ברשותו 60 מטר גדר עבור שלוש הצלעות הנותרות. מהו השטח הגדול ביותר (במ"ר) שניתן לגדר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: היקף מינימלי בשטח נתון

מלבן ששטחו 36 סמ״ר. אילו מידות נותנות את ההיקף הקטן ביותר?

P (x) = 2 (x + \frac{36}{x}), P^{'} (x) = 2 (1 - \frac{36}{x ^{2}}) = 0 \Rightarrow x = 6

שלב 1 — אילוץ

x \cdot y = 36 ⟸ y = \frac{36}{x}

דוגמה 6: מכלאה מחולקת למחיצות

60 מ' גדר, מלבן המחולק לשתי מכלאות $(3$ צלעות x ו-2 צלעות y). מהו השטח הכולל הגדול ביותר?

A (x) = 30 x - 1.5 x^{2}, A^{'} (x) = 30 - 3 x = 0 \Rightarrow x = 10

שלב 1 — אילוץ

3x + 2y = 60 ⟸ y = 30 - 1.5x

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

מלבן ממוקם ברביע הראשון כך ששתי צלעותיו על הצירים וקודקודו (x, y) נמצא על הישר $y = -2x + 12$ . מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

מלבן חסום במעגל שרדיוסו 5 (כך שאלכסון המלבן הוא קוטר המעגל, באורך 10). מהו השטח הגדול ביותר האפשרי של המלבן? כתבו את הערך המספרי של השטח.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין הגודל לאופטימיזציה לבין האילוץ

היקף נתון = אילוץ; שטח = פונקציית המטרה (או להפך, לפי השאלה).

למה זה קורה?

תלמידים בונים פונקציה מהגודל הנתון (למשל היקף) במקום מהגודל שצריך למקסם (שטח).

איך מתקנים?

זהו תחילה מה רוצים למקסם/למזער — זו פונקציית המטרה. הגודל הנתון משמש כאילוץ לצמצום למשתנה אחד.

טעות נפוצה: סופרים את כל הצלעות בגדר הנשענת על קיר

מכלאה צמודה לקיר: 2x + y = 60, לא 2x + 2y.

למה זה קורה?

תלמידים כותבים אילוץ

2x + 2y

במקום

2x + y

איך מתקנים?

הקיר משמש כצלע אחת ואין צורך לגדר אותה. האילוץ מתייחס רק לצלעות שדורשות גדר.

טעות נפוצה: מתקשים לגזור מכפלה של פולינום בשורש

(x 25 - x^{2})^{'} = 25 - x^{2} - \frac{x ^{2}}{25 - x ^{2}}

למה זה קורה?

כשמופיע

\sqrt{25 - x^{2}}

תלמידים שוכחים את כלל המכפלה או את כלל השרשרת.

איך מתקנים?

(u \cdot v)' = u'v + uv'

, והנגזרת של

√g

היא

g'/(2√g)

. שלבו את שני הכללים בזהירות.

טעות נפוצה: מתעלמים מהתחום ההגיוני של המשתנה

ב- $25 - x^{2}$ חייבים 0 < x < 5.

למה זה קורה?

תלמידים מקבלים פתרון שלילי או גדול מדי לאורך.

איך מתקנים?

אורכים חייבים להיות חיוביים, ולעיתים חסומים מלמעלה (למשל

x < 5

כשהרדיוס 5). פסלו פתרונות מחוץ לתחום.

סיכום

מה למדנו?

בעיית קיצון גאומטרית — שלבי הפתרון:

ציור וסימון במשתנים.
פונקציית מטרה: הגודל למקסום/מזעור (שטח, היקף, מרחק).
אילוץ: צמצום למשתנה אחד.
גזירה, פתרון f'(x) = 0 וסיווג בטבלת סימנים.
בדיקת תחום הגיוני (אורכים חיוביים).

זכרו: ריבוע ממקסם שטח בהיקף נתון וממזער היקף בשטח נתון. כשמופיע שורש — גוזרים מכפלה של פולינום בשורש בעזרת כלל המכפלה והשרשרת.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על בעיות קיצון גאומטריות במישור!

בעיות קיצון גאומטריות במישור

בעיות קיצון גאומטריות במישור

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שטח מקסימלי בהיקף נתון

היקף מלבן הוא 40 ס״מ. מצאו את השטח הגדול ביותר.

דוגמה 2: גדר הנשענת על קיר

60 מ' גדר, מכלאה צמודה לקיר (הקיר === צלע אחת). מהו השטח הגדול ביותר?

דוגמה 3: מלבן תחת ישר

מלבן ברביע הראשון, צלעותיו על הצירים וקודקודו על הישר y=−2x+12y = -2x + 12y=−2x+12. מהו השטח הגדול ביותר?

דוגמה 4: בעיה עם שורש — גזירת מכפלה של פולינום בשורש

מלבן חסום במעגל שרדיוסו 5 (האלכסון === קוטר =10)= 10)=10). מצאו את השטח הגדול ביותר.

בדיקה מהירה

דוגמה 5: היקף מינימלי בשטח נתון

מלבן ששטחו 36 סמ״ר. אילו מידות נותנות את ההיקף הקטן ביותר?

דוגמה 6: מכלאה מחולקת למחיצות

60 מ' גדר, מלבן המחולק לשתי מכלאות (3(3(3 צלעות x ו-2 צלעות y). מהו השטח הכולל הגדול ביותר?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין הגודל לאופטימיזציה לבין האילוץ

טעות נפוצה: סופרים את כל הצלעות בגדר הנשענת על קיר

טעות נפוצה: מתקשים לגזור מכפלה של פולינום בשורש

טעות נפוצה: מתעלמים מהתחום ההגיוני של המשתנה

סיכום

תרגול נוסף

60 מ' גדר, מכלאה צמודה לקיר (הקיר $=$ צלע אחת). מהו השטח הגדול ביותר?

מלבן ברביע הראשון, צלעותיו על הצירים וקודקודו על הישר $y = -2x + 12$ . מהו השטח הגדול ביותר?

מלבן חסום במעגל שרדיוסו 5 (האלכסון $=$ קוטר $= 10)$ . מצאו את השטח הגדול ביותר.

60 מ' גדר, מלבן המחולק לשתי מכלאות $(3$ צלעות x ו-2 צלעות y). מהו השטח הכולל הגדול ביותר?