האינטגרל הלא-מסוים ומציאת פונקציה קדומה

מבוא

מטרות השיעור

להבין את האינטגרל הלא-מסוים כפעולה ההפוכה לגזירה
ליישם את כלל האינטגרציה לחזקה: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$
למצוא פונקציה קדומה של פולינום איבר-איבר
למצוא פונקציה קדומה של פונקציה רציונלית מהצורה $\frac{c}{( a x + b ) ^{2}}$
להבין את משמעות קבוע האינטגרציה C

הרעיון המרכזי

מהי פונקציה קדומה?

פונקציה F(x) נקראת פונקציה קדומה של f(x) אם מתקיים F'(x) = f(x).

האינטגרל הלא-מסוים הוא בדיוק חיפוש כל הפונקציות הקדומות:

\int f (x) d x = F (x) + C ⟺ F^{'} (x) = f (x)

כלומר, אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. אם גזירה לוקחת אותנו מ-F ל-f, אינטגרציה מחזירה אותנו מ-f ל-F.

למה מוסיפים תמיד C?

הנגזרת של קבוע היא אפס, לכן אם F'(x) = f(x) אז גם (F(x) + 5)' = f(x) ו-(F(x) - 100)' = f(x). יש אינסוף פונקציות קדומות, וכולן נבדלות זו מזו רק בקבוע. לכן כותבים תמיד את קבוע האינטגרציה C — הוא מייצג את כל המשפחה.

הנוסחאות המרכזיות ביחידה

כלל החזקה: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq = - 1)$

מקדם קבוע יוצא החוצה: $\int k \cdot f (x) d x = k \int f (x) d x$

אינטגרל של סכום: $\int (f (x) + g (x)) d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$

הפונקציה הרציונלית היחידה ביחידה זו: $\int \frac{c}{( a x + b ) ^{2}} d x = - \frac{c}{a ( a x + b )} + C$

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: כלל החזקה

חשבו: $∫ x^{5} dx$

\int x^{5} d x = \frac{x ^{6}}{6} + C

בדיקה בגזירה: $(\frac{1}{6} x^{6})^{'} = \frac{1}{6} \cdot 6 x^{5} = x^{5}$ ✓

שלב 1 — מזהים את החזקה

n = 5

בדיקה מהירה

מהי הפונקציה הקדומה הכללית של $f(x) = x^{3}$ ? כלומר, חשבו את $∫x^{3} dx$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: פונקציה קדומה של פולינום

חשבו: $∫ (6x^{2} - 4x + 5) dx$

\int (6 x^{2} - 4 x + 5) d x = 2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + C

בדיקה בגזירה: $(2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x)^{'} = 6 x^{2} - 4 x + 5$ ✓

שלב 1 — מפצלים לאיברים

∫6x^{2} dx - ∫4x dx + ∫5 dx

בדיקה מהירה

חשבו את האינטגרל הלא-מסוים: $∫(6x^{2} - 4x + 5) dx$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: הפונקציה הרציונלית c/(ax+b)²

חשבו: $∫ \frac{12}{2x + 1}^{2} dx$

\int \frac{12}{( 2 x + 1 ) ^{2}} d x = - \frac{6}{2 x + 1} + C

בדיקה בגזירה: $[- 6 (2 x + 1)^{- 1}]^{'} = - 6 \cdot (- 1) (2 x + 1)^{- 2} \cdot 2 = \frac{12}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$ ✓

שימו לב: החלוקה ב-a=2 חיונית — היא מפצה על המקדם שמופיע בגזירת הפונקציה הפנימית.

שלב 1 — מזהים את הצורה

c = 12, a = 2, b = 1

בדיקה מהירה

חשבו את האינטגרל: $∫ \frac{5}{x - 2}^{2} dx$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: למה מוסיפים C — משפחת פונקציות

מצאו את כל הפונקציות הקדומות של $f(x) = 2x$

\int 2 x d x = x^{2} + C

הקבוע C מייצג את כל המשפחה האינסופית של פונקציות קדומות, שכולן נבדלות רק בהזזה אנכית.

שלב 1 — מחפשים F כך ש- $F'(x) = 2x$

ברור ש-

(x^{2})' = 2x

תשובה קצרה

חשבו את האינטגרל $∫ \frac{12}{2x + 1}^{2} dx$ ורשמו את הפונקציה הקדומה הכללית (כולל C).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: שילוב פולינום עם פונקציה רציונלית

חשבו: $∫ (x^{2} - \frac{6}{3x - 1}^{2}) dx$

\int (x^{2} - \frac{6}{( 3 x - 1 ) ^{2}}) d x = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{2}{3 x - 1} + C

בדיקה: $(\frac{x ^{3}}{3})^{'} = x^{2}$ ו- $[2 (3 x - 1)^{- 1}]^{'} = - \frac{6}{( 3 x - 1 ) ^{2}}$ ✓

שלב 1 — מפצלים

∫x^{2} dx - ∫\frac{6}{3x-1}^{2} dx

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את קבוע האינטגרציה C

טעות: $\int 2 x d x = x^{2}$

נכון: $\int 2 x d x = x^{2} + C$

למה זה קורה?

תלמידים מתייחסים לפונקציה הקדומה כאל תשובה יחידה, ולא כמשפחה.

איך מתקנים?

כל אינטגרל לא-מסוים מסתיים ב-

+ C

. בלי C התשובה חלקית בלבד.

טעות נפוצה: מורידים את החזקה במקום להעלות אותה

טעות: $\int x^{3} d x = 3 x^{2} + C$

נכון: $\int x^{3} d x = \frac{x ^{4}}{4} + C$

למה זה קורה?

מבלבלים בין כלל הגזירה לכלל האינטגרציה.

איך מתקנים?

בגזירה מורידים את החזקה; באינטגרציה מעלים אותה ב-1 ומחלקים במעריך החדש.

טעות נפוצה: שוכחים לחלק במקדם הפנימי a

טעות: $\int \frac{9}{( 3 x + 2 ) ^{2}} d x = - \frac{9}{3 x + 2} + C$

נכון: $\int \frac{9}{( 3 x + 2 ) ^{2}} d x = - \frac{9}{3 ( 3 x + 2 )} + C = - \frac{3}{3 x + 2} + C$

למה זה קורה?

לא מתחשבים בכך שגזירת

(ax+b)

מוסיפה מקדם a.

איך מתקנים?

בנוסחה

∫\frac{c}{ax+b}^{2} dx = -c/(a(ax+b)) + C

מופיע a במכנה דווקא בגלל הגזירה הפנימית.

טעות נפוצה: לא מאמתים בגזירה

אחרי כל אינטגרל, גזרו את התשובה. למשל: $(2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x)^{'} = 6 x^{2} - 4 x + 5$ — בדיוק האינטגרנד ✓

למה זה קורה?

מסיימים את האינטגרל בלי לבדוק את התוצאה.

איך מתקנים?

תמיד גזרו את הפונקציה הקדומה — אם קיבלתם בחזרה את האינטגרנד, הפתרון נכון.

סיכום

מה למדנו?

אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה: $\int f (x) d x = F (x) + C$ כאשר F'(x) = f(x).

הכלים המרכזיים:

כלל החזקה: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$
אינטגרציה איבר-איבר של פולינום
הפונקציה הרציונלית היחידה: $\int \frac{c}{( a x + b ) ^{2}} d x = - \frac{c}{a ( a x + b )} + C$

זכרו תמיד:

להוסיף את קבוע האינטגרציה C
לחלק במקדם הפנימי a בפונקציה הרציונלית
לאמת בגזירה

בשיעור הבא נלמד כיצד הנקודה הנתונה על הגרף קובעת את הערך המדויק של C.

האינטגרל הלא-מסוים ומציאת פונקציה קדומה

האינטגרל הלא-מסוים ומציאת פונקציה קדומה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: כלל החזקה

חשבו: ∫x5dx∫ x^{5} dx∫x5dx

דוגמה 2: פונקציה קדומה של פולינום

חשבו: ∫(6x2−4x+5)dx∫ (6x^{2} - 4x + 5) dx∫(6x2−4x+5)dx

דוגמה 3: הפונקציה הרציונלית c/(ax+b)²

חשבו: ∫122x+12dx∫ \frac{12}{2x + 1}^{2} dx∫2x+112​2dx

דוגמה 4: למה מוסיפים C — משפחת פונקציות

מצאו את כל הפונקציות הקדומות של f(x)=2xf(x) = 2xf(x)=2x

דוגמה 5: שילוב פולינום עם פונקציה רציונלית

חשבו: ∫(x2−63x−12)dx∫ (x^{2} - \frac{6}{3x - 1}^{2}) dx∫(x2−3x−16​2)dx

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את קבוע האינטגרציה C

טעות נפוצה: מורידים את החזקה במקום להעלות אותה

טעות נפוצה: שוכחים לחלק במקדם הפנימי a

טעות נפוצה: לא מאמתים בגזירה

סיכום

חשבו: $∫ x^{5} dx$

חשבו: $∫ (6x^{2} - 4x + 5) dx$

חשבו: $∫ \frac{12}{2x + 1}^{2} dx$

מצאו את כל הפונקציות הקדומות של $f(x) = 2x$

חשבו: $∫ (x^{2} - \frac{6}{3x - 1}^{2}) dx$