מציאת פונקציה קדומה לפי הנגזרת ונקודה על הגרף

מבוא

מטרות השיעור

להבין שלנגזרת נתונה יש אינסוף פונקציות קדומות, אך נקודה אחת קובעת אותה ביחידאיות
לבצע אינטגרציה כדי לקבל את F(x) + C
להציב את הנקודה הנתונה בתוך F(x) ולפתור עבור C
לרשום את הפונקציה הקדומה היחידה המתאימה לנתונים

הרעיון המרכזי

משתי דרישות לפונקציה יחידה

כאשר נתונה רק הנגזרת f'(x), האינטגרל הלא-מסוים נותן משפחה שלמה: F(x) + C. גרפית, אלה כל ההזזות האנכיות של אותה עקומה.

נקודה אחת $(x_{0}, y_{0})$ על הגרף "נועלת" את ההזזה ובכך קובעת את C — ומכאן את הפונקציה היחידה.

האלגוריתם בשני שלבים

אינטגרציה: $F (x) = \int f^{'} (x) d x$ — וכוללים את C.
קביעת C: מציבים את הנקודה בתוך F (לא בנגזרת!): $F (x_{0}) = y_{0}$ , ופותרים עבור C.

הנקודה נמצאת על גרף הפונקציה F — ולכן מציבים אותה ב-F, ולא ב-f'.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: פולינום פשוט

נתון $f'(x) = 2x$ והגרף עובר דרך $(1, 5)$ . מצאו את F(x).

F (x) = x^{2} + 4

בדיקה: F(1) = 1 + 4 = 5 ✓ וגם F'(x) = 2x ✓

שלב 1 — אינטגרציה

F(x) = ∫2x dx = x^{2} + C

דוגמה 2: פולינום ממעלה שלישית

נתון $f'(x) = 3x^{2} - 4x$ והגרף עובר דרך $(2, 1)$ . מצאו את F(x).

F (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 1

בדיקה: F(2) = 8 - 8 + 1 = 1 ✓

שלב 1 — אינטגרציה

F(x) = x^{3} - 2x^{2} + C

בדיקה מהירה

נתון $f'(x) = 2x$ ונקודה $(1, 5)$ על גרף הפונקציה F. מהי F(x)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתון $f'(x) = 3x^{2} - 4x$ ונקודה $(2, 1)$ על גרף הפונקציה F. מהו הערך של קבוע האינטגרציה C?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: שיפוע משיק נתון

שיפוע המשיק בכל נקודה הוא $2x - 6$ , והגרף עובר דרך $(4, 1)$ . מצאו את F(x).

F (x) = x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}

"שיפוע המשיק בכל נקודה" הוא תיאור מילולי של הנגזרת.

שלב 1 — השיפוע הוא הנגזרת

f'(x) = 2x - 6

דוגמה 4: עם פונקציה רציונלית

נתון $f'(x) = \frac{4}{x + 1}^{2}$ והגרף עובר דרך $(1, 3)$ . מצאו את F(x).

F (x) = - \frac{4}{x + 1} + 5

בדיקה: $F (1) = - \frac{4}{2} + 5 = - 2 + 5 = 3$ ✓

שלב 1 — אינטגרציה $(a=1)$

F(x) = -\frac{4}{x + 1} + C

בדיקה מהירה

נתון $f'(x) = \frac{4}{x + 1}^{2}$ ונקודה $(1, 3)$ על גרף הפונקציה F. מהי F(x)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: שאלה עם פרמטר אחד

נתון $f'(x) = a \cdot x + 4$ , הגרף עובר דרך $(0, 5)$ , וגם $F(2) = 19$ . מצאו את a.

F (x) = \frac{a}{2} x^{2} + 4 x + C, a = 3

שתי המשוואות (נקודה + ערך נוסף) מאפשרות לקבוע גם את C וגם את הפרמטר a.

שלב 1 — אינטגרציה

F(x) = (\frac{a}{2})x^{2} + 4x + C

תשובה קצרה

שיפוע המשיק לגרף הפונקציה F בכל נקודה נתון על ידי $f'(x) = 2x - 6$ . ידוע שהגרף עובר דרך הנקודה $(4, 1)$ . רשמו את F(x).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מציבים את הנקודה בנגזרת במקום בפונקציה הקדומה

טעות: מציבים (1,5) ב-f'(x)=2x ומקבלים "5 = 2" — חסר משמעות.

נכון: מציבים ב- $F (x) = x^{2} + C$ : $5 = 1 + C \Rightarrow C = 4$ .

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים שהנקודה נמצאת על גרף F, לא על גרף f'.

איך מתקנים?

מציבים את

(x_{0}, y_{0})

בתוך F(x), ופותרים את המשוואה

F(x_{0}) = y_{0}

עבור C.

טעות נפוצה: שוכחים את קבוע האינטגרציה C

טעות: $F (x) = x^{2}$ (ללא C) — אז אי אפשר להתאים לנקודה.

נכון: $F (x) = x^{2} + C$ , ואז קובעים את C.

למה זה קורה?

בלי C אין משתנה לקבוע מהנקודה.

איך מתקנים?

הקפידו לכתוב

+ C

מיד אחרי האינטגרציה — זה בדיוק מה שהנקודה תקבע.

טעות נפוצה: עוצרים אחרי האינטגרציה ולא מוצאים את C

לא שלם: $F (x) = x^{3} - 2 x^{2} + C$

שלם: אחרי הצבת (2,1): $F (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 1$

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שהתשובה היא הביטוי עם C.

איך מתקנים?

כשנתונה נקודה, התשובה היא פונקציה יחידה — חובה למצוא את הערך של C.

טעות נפוצה: שגיאות חישוב בהצבה

בהצבת (4,1) ב- $x^{2} - 6 x + C$ : 16 - 24 + C = -8 + C = 1, לכן C = 9.

למה זה קורה?

טעות סימן או סדר פעולות בעת הצבת הנקודה.

איך מתקנים?

הציבו בזהירות איבר-איבר, ובסוף בדקו:

F(x_{0})

צריך לצאת בדיוק

y_{0}

סיכום

מה למדנו?

נקודה אחת קובעת פונקציה קדומה יחידה. האלגוריתם:

אינטגרציה של f'(x) → F(x) + C
הצבת הנקודה $(x_{0}, y_{0})$ בתוך F → משוואה ב-C
פתרון עבור C → הפונקציה היחידה

זכרו:

מציבים את הנקודה ב-F, לא בנגזרת
אל תשכחו את C — בלעדיו אין מה לקבוע
אמתו בסוף: $F (x_{0}) = y_{0}$ ו-F'(x) = f'(x)

בשיעור הבא נעבור לאינטגרל המסוים ולחישוב שטחים.

מציאת פונקציה קדומה לפי הנגזרת ונקודה על הגרף

מציאת פונקציה קדומה לפי הנגזרת ונקודה על הגרף

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: פולינום פשוט

נתון f′(x)=2xf'(x) = 2xf′(x)=2x והגרף עובר דרך (1,5)(1, 5)(1,5). מצאו את F(x).

דוגמה 2: פולינום ממעלה שלישית

נתון f′(x)=3x2−4xf'(x) = 3x^{2} - 4xf′(x)=3x2−4x והגרף עובר דרך (2,1)(2, 1)(2,1). מצאו את F(x).

דוגמה 3: שיפוע משיק נתון

שיפוע המשיק בכל נקודה הוא 2x−62x - 62x−6, והגרף עובר דרך (4,1)(4, 1)(4,1). מצאו את F(x).

דוגמה 4: עם פונקציה רציונלית

נתון f′(x)=4x+12f'(x) = \frac{4}{x + 1}^{2}f′(x)=x+14​2 והגרף עובר דרך (1,3)(1, 3)(1,3). מצאו את F(x).

דוגמה 5: שאלה עם פרמטר אחד

נתון f′(x)=a⋅x+4f'(x) = a \cdot x + 4f′(x)=a⋅x+4, הגרף עובר דרך (0,5)(0, 5)(0,5), וגם F(2)=19F(2) = 19F(2)=19. מצאו את a.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מציבים את הנקודה בנגזרת במקום בפונקציה הקדומה

טעות נפוצה: שוכחים את קבוע האינטגרציה C

טעות נפוצה: עוצרים אחרי האינטגרציה ולא מוצאים את C

טעות נפוצה: שגיאות חישוב בהצבה

סיכום

נתון $f'(x) = 2x$ והגרף עובר דרך $(1, 5)$ . מצאו את F(x).

נתון $f'(x) = 3x^{2} - 4x$ והגרף עובר דרך $(2, 1)$ . מצאו את F(x).

שיפוע המשיק בכל נקודה הוא $2x - 6$ , והגרף עובר דרך $(4, 1)$ . מצאו את F(x).

נתון $f'(x) = \frac{4}{x + 1}^{2}$ והגרף עובר דרך $(1, 3)$ . מצאו את F(x).

נתון $f'(x) = a \cdot x + 4$ , הגרף עובר דרך $(0, 5)$ , וגם $F(2) = 19$ . מצאו את a.