שטח בין שני גרפים ושטחים מורכבים

מבוא

מטרות השיעור

לחשב שטח בין שני גרפים בעזרת $\int_{a}^{b} [עליונה - תחתונה] d x$
למצוא את נקודות החיתוך בין הגרפים כגבולות האינטגרציה
לקבוע נכון איזו פונקציה עליונה ואיזו תחתונה
לפתור שטחים מורכבים שבהם סדר הפונקציות מתחלף, ושאלות עם פרמטר אחד

הרעיון המרכזי

נוסחת השטח בין שני גרפים

אם בקטע [a, b] הגרף של f נמצא מעל הגרף של g, אז השטח הכלוא ביניהם הוא

S = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x

כאן a ו-b הן נקודות החיתוך של הגרפים, ו-f היא תמיד הפונקציה העליונה. מאחר ש- $f \geq g$ בקטע, ההפרש אי-שלילי והשטח יוצא חיובי.

בדיקה מהירה

מהי הנוסחה לשטח הכלוא בין שני גרפים, כאשר f(x) היא הפונקציה העליונה ו-g(x) התחתונה בקטע [a, b]?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

האלגוריתם המלא

נקודות חיתוך: פותרים f(x) = g(x) — אלה גבולות האינטגרל.
מי עליונה: מציבים נקודת ביניים אחת כדי לקבוע איזו פונקציה גדולה יותר בקטע.
אינטגרל ההפרש: מחשבים $\int_{a}^{b} (עליונה - תחתונה) d x$ .
תוצאה: מציבים גבולות ומקבלים את השטח.

שטחים מורכבים ופרמטר

שטח מורכב: אם הגרפים מצטלבים בנקודה פנימית והסדר (מי עליונה) מתחלף — מפצלים את השטח באותה נקודה ומחשבים כל חלק בנפרד עם הסדר הנכון.

פרמטר: בשאלות עם פרמטר אחד מבטאים את השטח כביטוי בפרמטר, משווים לערך הנתון, ופותרים. (לפי תחום היחידה — פרמטר אחד בלבד בשאלה.)

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: פרבולה וישר

שטח בין $y = x^{2}$ ל- $y = 2x$

S = \int_{0}^{2} (2 x - x^{2}) d x = [x^{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{2} = \frac{4}{3}

שלב 1 — נקודות חיתוך

x^{2} = 2x ⟹ x^{2} - 2x = 0 ⟹ x = 0, 2

תשובה מספרית

נתונים הגרפים $y = x^{2}$ ו- $y = 2x$ . נקודות החיתוך שלהם הן $x = 0$ ו- $x = 2$ . חשבו את השטח הכלוא ביניהם. רשמו כמספר עשרוני מעוגל.

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: פרבולה וישר עם גבול שלילי

שטח בין $y = x$ ל- $y = x^{2} - 2$

S = \int_{- 1}^{2} (- x^{2} + x + 2) d x = \frac{27}{6} = 4.5

שלב 1 — נקודות חיתוך

x = x^{2} - 2 ⟹ x^{2} - x - 2 = 0 ⟹ x = -1, 2

דוגמה 3: שתי פרבולות

שטח בין $y = -x^{2} + 4$ ל- $y = x^{2} - 4$

S = \int_{- 2}^{2} (- 2 x^{2} + 8) d x = \frac{64}{3}

שלב 1 — נקודות חיתוך

-x^{2} + 4 = x^{2} - 4 ⟹ 2x^{2} = 8 ⟹ x = \pm 2

תשובה מספרית

נתונים הגרפים $y = -x^{2} + 4$ ו- $y = x^{2} - 4$ . חשבו את השטח הכלוא ביניהם. רשמו כמספר עשרוני מעוגל.

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שאלה עם פרמטר אחד

הפרבולה $y = x^{2}$ והישר $y = a (a>0)$ כולאים שטח $\frac{32}{3}$ . מצאו את a.

S (a) = \frac{4}{3} a^{3/2} = \frac{32}{3} \Rightarrow a = 4

מבטאים את השטח בפרמטר, משווים לנתון ופותרים — פרמטר אחד בלבד בשאלה.

שלב 1 — נקודות חיתוך

x^{2} = a ⟹ x = \pm √a

דוגמה 5: זיהוי הפונקציה העליונה

מדוע סדר החיסור קריטי

S = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

קיבלתם שטח שלילי? סימן שהפכתם עליונה ותחתונה.

שלב 1 — בעיה

מחשבים שטח בין

y=x (

עליון) ל-

y=x^{2}

בקטע [0,1]

תשובה מספרית

נתונים הגרפים $y = x^{2}$ ו- $y = x$ . חשבו את השטח הכלוא ביניהם. רשמו כמספר עשרוני מעוגל.

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחשבים תחתונה פחות עליונה

טעות: $\int_{0}^{1} (x^{2} - x) d x = - \frac{1}{6}$

נכון: $\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = \frac{1}{6}$

למה זה קורה?

לא בודקים איזו פונקציה גבוהה יותר בקטע.

איך מתקנים?

הציבו נקודת ביניים כדי לקבוע מי עליונה. אם קיבלתם שטח שלילי — הפכתם את הסדר.

טעות נפוצה: שוכחים למצוא את נקודות החיתוך

לפני האינטגרל: פתרו f(x) = g(x) וקבלו את a ו-b.

למה זה קורה?

משתמשים בגבולות שרירותיים במקום בנקודות המפגש.

איך מתקנים?

פתרו תמיד

f(x)=g(x)

תחילה — הפתרונות הם גבולות האינטגרל.

טעות נפוצה: לא מפצלים כשהסדר מתחלף

אם הגרפים נחתכים בנקודה פנימית — חשבו שני אינטגרלים נפרדים, כל אחד עם העליונה הנכונה שלו.

למה זה קורה?

הגרפים מצטלבים בתוך הקטע והעליונה הופכת לתחתונה.

איך מתקנים?

אם יש חיתוך פנימי, פצלו את השטח בנקודה זו וחשבו כל חלק עם הסדר הנכון.

טעות נפוצה: טעות בהצבת גבול שלילי

ב-x = -1: $- \frac{( - 1 ) ^{3}}{3} = - \frac{- 1}{3} = + \frac{1}{3}$ .

למה זה קורה?

שגיאת סימן בהצבת גבול תחתון שלילי בפונקציה הקדומה.

איך מתקנים?

הציבו בזהירות; שימו לב ש-

(-1)^{3} = -1

ולכן

-\frac{x^{3}}{3}

ב-

x=-1

שווה

+\frac{1}{3}

סיכום

מה למדנו?

שטח בין שני גרפים: $S = \int_{a}^{b} (עליונה - תחתונה) d x$ , כש-a, b הן נקודות החיתוך.

האלגוריתם:

נקודות חיתוך: פתרו f(x) = g(x)
קבעו מי עליונה (הצבת נקודת ביניים)
חשבו את אינטגרל ההפרש
שטחים מורכבים: פצלו היכן הסדר מתחלף

פרמטר: בטאו את השטח כפונקציה של הפרמטר, השוו לנתון ופתרו — פרמטר אחד בלבד.

זכרו: שטח שלילי = הפכתם עליונה ותחתונה. כל הכבוד — סיימתם את יחידת החשבון האינטגרלי!

שטח בין שני גרפים ושטחים מורכבים

שטח בין שני גרפים ושטחים מורכבים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: פרבולה וישר

שטח בין y=x2y = x^{2}y=x2 ל-y=2xy = 2xy=2x

דוגמה 2: פרבולה וישר עם גבול שלילי

שטח בין y=xy = xy=x ל-y=x2−2y = x^{2} - 2y=x2−2

דוגמה 3: שתי פרבולות

שטח בין y=−x2+4y = -x^{2} + 4y=−x2+4 ל-y=x2−4y = x^{2} - 4y=x2−4

דוגמה 4: שאלה עם פרמטר אחד

הפרבולה y=x2y = x^{2}y=x2 והישר y=a(a>0)y = a (a>0)y=a(a>0) כולאים שטח 323\frac{32}{3}332​. מצאו את a.

דוגמה 5: זיהוי הפונקציה העליונה

מדוע סדר החיסור קריטי

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחשבים תחתונה פחות עליונה

טעות נפוצה: שוכחים למצוא את נקודות החיתוך

טעות נפוצה: לא מפצלים כשהסדר מתחלף

טעות נפוצה: טעות בהצבת גבול שלילי

סיכום

שטח בין $y = x^{2}$ ל- $y = 2x$

שטח בין $y = x$ ל- $y = x^{2} - 2$

שטח בין $y = -x^{2} + 4$ ל- $y = x^{2} - 4$

הפרבולה $y = x^{2}$ והישר $y = a (a>0)$ כולאים שטח $\frac{32}{3}$ . מצאו את a.