אינטגרל מסוים ושטח בין הגרף לציר ה-x

מבוא

מטרות השיעור

להבין את האינטגרל המסוים $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ואת משפט ניוטון-לייבניץ
לחשב שטח כאשר הפונקציה חיובית בקטע
לחשב שטח כאשר הפונקציה שלילית (לקיחת ערך מוחלט)
לחשב שטח כאשר הפונקציה משנה סימן (פיצול בנקודות החיתוך עם הציר)

הרעיון המרכזי

משפט ניוטון-לייבניץ

אם F היא פונקציה קדומה של f (כלומר F'(x) = f(x)), אז

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

מציבים תחילה את הגבול העליון b ואז מחסרים את הערך בגבול התחתון a. שימו לב: קבוע האינטגרציה C מצטמצם בהפרש, ולכן לא צריך לכתוב אותו באינטגרל מסוים.

אינטגרל מול שטח — ההבדל הקריטי

שטח הוא גודל גאומטרי שתמיד אי-שלילי. ערך האינטגרל המסוים יכול להיות חיובי, שלילי או אפס.

אם $f (x) \geq 0$ בקטע: $S = \int_{a}^{b} f (x) d x$
אם $f (x) \leq 0$ בקטע: $S = \int_{a}^{b} f (x) d x$
אם f משנה סימן: מפצלים בנקודות החיתוך עם הציר, ולוקחים ערך מוחלט בכל תת-קטע בנפרד.

הכלל הזהב למשנה-סימן

לעולם אל תחשבו אינטגרל אחד על קטע שבו הפונקציה משנה סימן! השטח שמעל הציר (חיובי) והשטח שמתחת (שלילי) יבטלו זה את זה ותתקבל תשובה שגויה. תמיד פצלו בנקודות שבהן f(x) = 0.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אינטגרל מסוים בסיסי

חשבו: ∫ from 1 to 3 of 2x dx

\int_{1}^{3} 2 x d x = [x^{2}]_{1}^{3} = 9 - 1 = 8

שלב 1 — פונקציה קדומה

F(x) = x^{2}

דוגמה 2: שטח כאשר הפונקציה חיובית

שטח בין $f(x) = x^{2}$ לציר ה-x בקטע [0, 2]

S = \int_{0}^{2} x^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{2} = \frac{8}{3}

שלב 1 — סימן הפונקציה

x^{2} \ge 0

בכל הקטע, אז השטח שווה לאינטגרל

תשובה מספרית

חשבו את האינטגרל המסוים: $∫(1→3) 2x dx$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה $f(x) = x^{2}$ לבין ציר ה-x, בקטע $0 \le x \le 2$ . רשמו את התשובה כמספר עשרוני מעוגל.

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: שטח כאשר הפונקציה שלילית

שטח בין $f(x) = x - 2$ לציר ה-x בקטע [0, 2]

\int_{0}^{2} (x - 2) d x = [\frac{x ^{2}}{2} - 2 x]_{0}^{2} = - 2 \Rightarrow S = ∣ - 2∣ = 2

האינטגרל שלילי כי הגרף מתחת לציר — אבל השטח חיובי.

שלב 1 — סימן הפונקציה

x - 2 \le 0

בכל הקטע [0,2]

דוגמה 4: פונקציה שמשנה סימן

שטח בין $f(x) = x^{2} - 4$ לציר ה-x בקטע [0, 3]

S = \int_{0}^{2} (x^{2} - 4) d x + \int_{2}^{3} (x^{2} - 4) d x = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3}

שלב 1 — נקודת חיתוך עם הציר

x^{2} - 4 = 0 ⟹ x = 2 (

בקטע)

תשובה מספרית

הפונקציה $f(x) = x - 2$ שלילית בקטע $0 \le x \le 2$ . חשבו את השטח הכלוא בין הגרף לציר ה-x בקטע זה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

רוצים לחשב את השטח הכלוא בין גרף $f(x) = x^{2} - 4$ לבין ציר ה-x בקטע $0 \le x \le 3$ . מהי הדרך הנכונה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: שטח בין שתי נקודות חיתוך (פרבולה הפוכה)

שטח בין $f(x) = -x^{2} + 4$ לציר ה-x

S = \int_{- 2}^{2} (- x^{2} + 4) d x = [- \frac{x ^{3}}{3} + 4 x]_{- 2}^{2} = \frac{32}{3}

שלב 1 — נקודות חיתוך

-x^{2} + 4 = 0 ⟹ x = \pm 2

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מתייחסים לאינטגרל שלילי כשטח שלילי

טעות: "השטח הוא −2".

נכון: S = |-2| = 2.

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים ששטח הוא גודל גאומטרי אי-שלילי.

איך מתקנים?

כשהפונקציה מתחת לציר האינטגרל שלילי — קחו ערך מוחלט כדי לקבל את השטח.

טעות נפוצה: לא מפצלים כשהפונקציה משנה סימן

טעות: $\int_{0}^{3} (x^{2} - 4) d x = - 3$ ו"השטח הוא 3".

נכון: מפצלים ב-x=2: $S = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3}$ .

למה זה קורה?

מחשבים אינטגרל אחד על כל הקטע, והחלקים מבטלים זה את זה.

איך מתקנים?

מצאו היכן

f(x)=0

, פצלו שם, וקחו ערך מוחלט בכל תת-קטע בנפרד.

טעות נפוצה: מחליפים את סדר הגבולות

טעות: F(a) - F(b) (סימן הפוך).

נכון: $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ .

למה זה קורה?

מציבים את הגבול התחתון לפני העליון.

איך מתקנים?

ניוטון-לייבניץ:

F(b) - F(a)

. הגבול העליון תמיד ראשון.

טעות נפוצה: שוכחים למצוא את נקודות החיתוך עם הציר

תמיד בדקו: האם הגרף חוצה את הציר בתוך הקטע? אם כן — חובה לפצל.

למה זה קורה?

מניחים שהפונקציה שומרת סימן בכל הקטע.

איך מתקנים?

לפני חישוב שטח, פתרו

f(x)=0

ובדקו אם יש חיתוך בתוך הקטע.

סיכום

מה למדנו?

אינטגרל מסוים מחושב ב- $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ (ניוטון-לייבניץ).

שטח בין הגרף לציר ה-x:

$f \geq 0$ : השטח = האינטגרל
$f \leq 0$ : השטח = ערך מוחלט של האינטגרל
f משנה סימן: פצלו בנקודות החיתוך, ערך מוחלט בכל תת-קטע, וחברו

זכרו:

שטח תמיד אי-שלילי
הגבול העליון ראשון בניוטון-לייבניץ
לפני הכול — מצאו היכן f(x) = 0

בשיעור הבא נחשב שטח הכלוא בין שני גרפים ושטחים מורכבים.

אינטגרל מסוים ושטח בין הגרף לציר ה-x

אינטגרל מסוים ושטח בין הגרף לציר ה-x

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אינטגרל מסוים בסיסי

חשבו: ∫ from 1 to 3 of 2x dx

דוגמה 2: שטח כאשר הפונקציה חיובית

שטח בין f(x)=x2f(x) = x^{2}f(x)=x2 לציר ה-x בקטע [0, 2]

דוגמה 3: שטח כאשר הפונקציה שלילית

שטח בין f(x)=x−2f(x) = x - 2f(x)=x−2 לציר ה-x בקטע [0, 2]

דוגמה 4: פונקציה שמשנה סימן

שטח בין f(x)=x2−4f(x) = x^{2} - 4f(x)=x2−4 לציר ה-x בקטע [0, 3]

דוגמה 5: שטח בין שתי נקודות חיתוך (פרבולה הפוכה)

שטח בין f(x)=−x2+4f(x) = -x^{2} + 4f(x)=−x2+4 לציר ה-x

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מתייחסים לאינטגרל שלילי כשטח שלילי

טעות נפוצה: לא מפצלים כשהפונקציה משנה סימן

טעות נפוצה: מחליפים את סדר הגבולות

טעות נפוצה: שוכחים למצוא את נקודות החיתוך עם הציר

סיכום

שטח בין $f(x) = x^{2}$ לציר ה-x בקטע [0, 2]

שטח בין $f(x) = x - 2$ לציר ה-x בקטע [0, 2]

שטח בין $f(x) = x^{2} - 4$ לציר ה-x בקטע [0, 3]

שטח בין $f(x) = -x^{2} + 4$ לציר ה-x