תכונות עקומת ההתפלגות הנורמלית

מבוא

מטרות השיעור

להכיר את עקומת הפעמון ואת תכונותיה: סימטריה, שטח כולל 1, דעיכה מהירה בקצוות
להבין שבהתפלגות נורמלית הממוצע, החציון והשכיח מתלכדים
להבחין בין תפקיד הממוצע (מיקום המרכז) לתפקיד סטיית התקן (רוחב הפעמון)
להשתמש בסימטריה ובכלל 68-95-99.7 לחישוב שטחים והסתברויות

ההתפלגות הנורמלית היא צורת ההתפלגות הנפוצה ביותר בטבע: גבהים, משקלים, ציוני מבחנים, טעויות מדידה — כולם נוטים להתפלג כ"פעמון". בשיעור זה נלמד לקרוא את העקומה הזו ולהפיק ממנה מידע, עוד לפני שנשתמש בטבלה המלאה.

הרעיון המרכזי

תכונות עקומת הפעמון

סימטריה: העקומה סימטרית ביחס לקו האנכי שעובר דרך הממוצע $μ$ .
התלכדות מדדי המרכז: הממוצע = החציון = השכיח, כולם במרכז.
שטח כולל 1: השטח מתחת לכל העקומה שווה ל-1 (ההסתברות הכוללת = 100%).
חצאים שווים: הממוצע מחלק את השטח לשני חצאים — 0.5 מימין ו-0.5 משמאל.
דעיכה בקצוות: רוב הנתונים מרוכזים סביב הממוצע, והעקומה דועכת מהר לכיוון ה"זנבות".

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: בהתפלגות נורמלית הממוצע, החציון והשכיח מתלכדים (שווים זה לזה).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

הממוצע מזיז, סטיית התקן מרחיבה

הממוצע $μ$ קובע את מיקום מרכז הפעמון (ימינה או שמאלה).
סטיית התקן $σ$ קובעת את רוחב הפעמון: σ קטנה → פעמון צר וגבוה (פיזור קטן); σ גדולה → פעמון רחב ונמוך (פיזור רב). השטח הכולל נשאר 1 תמיד.

זנב ימני / זנב שמאלי: בהתפלגות לא-נורמלית, זנב ימני פירושו שמעט הנתונים גבוהים והעקומה נמשכת ימינה (רוב הנתונים נמוכים); זנב שמאלי — להפך.

כלל $68-95-99.7$

בהתפלגות נורמלית, חלקי השטח סביב הממוצע הם בקירוב:

בטווח $μ \pm σ$ : כ-68% מהנתונים
בטווח $μ \pm 2 σ$ : כ-95% מהנתונים
בטווח $μ \pm 3 σ$ : כ-99.7% מהנתונים

בזכות הסימטריה, כל חצי-טווח הוא מחצית מהאחוז: למשל בין $μ$ ל- $μ + σ$ יש $34%$ .

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שטח מימין לממוצע

מהי ההסתברות שנתון יהיה גדול מהממוצע?

P (X > μ) = 0.5

זה נכון תמיד, ללא תלות בערך σ.

שלב 1 — סימטריה

העקומה סימטרית ביחס לממוצע

בדיקה מהירה

בהתפלגות נורמלית, מהו השטח שמתחת לעקומה מימין לממוצע (כלומר ההסתברות שנתון יהיה גדול מהממוצע)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: שימוש בכלל 68-95-99.7 (חצי טווח)

$\mu =100, \sigma =15$ . מהי ההסתברות $P(X < 115)$ ?

P (X < μ + σ) = 0.5 + \frac{0.68}{2} = 0.84

שלב 1 — מזהים את הגבול

115 = \mu + \sigma = 100 + 15

תשובה מספרית

משתנה מתפלג נורמלית עם ממוצע $\mu =100$ וסטיית תקן $\sigma =15$ . לפי כלל $68-95-99.7$ , מהי ההסתברות שנתון יהיה קטן מ- $115? (115 = \mu + \sigma$ ; רמז: כ-68% מהנתונים בטווח $\mu \pm \sigma$ , ומימין לממוצע יש 0.5)

סטייה מותרת: ±0.005

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: אחוז בטווח ±2σ

$\mu =50, \sigma =10$ . איזה אחוז מהנתונים בין 30 ל-70?

P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 95%

שלב 1 — תרגום לסטיות תקן

30 = \mu -2\sigma , 70 = \mu +2\sigma

תשובה מספרית

גבהים מתפלגים נורמלית עם ממוצע $\mu =50$ ק"ג וסטיית תקן $\sigma =10$ ק"ג. לפי כלל $68-95-99.7$ , איזה אחוז מהנתונים נמצא בין 30 ל-70? (תנו תשובה באחוזים, למשל 68)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שטח של זנב

$\mu =200, \sigma =10$ . איזה אחוז מהנתונים מעל 220?

P (X > μ + 2 σ) = \frac{100% - 95%}{2} = 2.5%

שלב 1 — תרגום

220 = \mu + 2\sigma

דוגמה 5: השוואת רוחב עקומות

שלוש אוכלוסיות עם אותו $\mu : \sigma =2, \sigma =5, \sigma =10$ . סדרו מהצרה לרחבה.

כל העקומות בעלות שטח כולל 1 — ככל שרחבה יותר, כך נמוכה יותר.

שלב 1 — מה קובע רוחב

סטיית התקן קובעת את רוחב הפעמון

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שחצי העקומה שטחו 1

P (X > μ) = 0.5, P (X < μ) = 0.5, סך הכל = 1

למה זה קורה?

מתבלבלים בין השטח הכולל לשטח של צד אחד.

איך מתקנים?

השטח הכולל מתחת לכל העקומה הוא 1. כל חצי (מימין או משמאל לממוצע) הוא בדיוק 0.5.

טעות נפוצה: מבלבלים בין הממוצע לסטיית התקן

שתי עקומות עם אותו μ ושונה σ — אותו מרכז, רוחב שונה. שתיים עם אותו σ ושונה μ — אותו רוחב, מרכז שונה.

למה זה קורה?

לא מבחינים בין מיקום מרכז העקומה לרוחבה.

איך מתקנים?

הממוצע מזיז את הפעמון ימינה/שמאלה; סטיית התקן קובעת אם הוא צר או רחב.

טעות נפוצה: מניחים שתמיד ממוצע=חציון=שכיח

בהתפלגות עם זנב ימני הממוצע נמשך לכיוון הזנב ולכן גדול מהחציון.

למה זה קורה?

מכלילים תכונה של ההתפלגות הנורמלית לכל ההתפלגויות.

איך מתקנים?

ההתלכדות נכונה רק בהתפלגות סימטרית (כמו הנורמלית). בהתפלגות עם זנב הם נפרדים.

טעות נפוצה: טועים בכיוון הזנב

מבחן קשה (רוב הציונים נמוכים, מעט גבוהים) → זנב ימני.

למה זה קורה?

חושבים ש'זנב ימני' = רוב הנתונים גבוהים.

איך מתקנים?

זנב ימני = מעט הנתונים גבוהים והעקומה נמשכת ימינה; רוב הנתונים בצד הנמוך.

טעות נפוצה: מיישמים את כלל $68-95-99.7$ על טווחים לא-סימטריים

68% נכון ל- $μ \pm σ$ , אבל לא לטווח כמו $(μ, μ + 2 σ)$ — שם צריך לחשב לחוד.

למה זה קורה?

מנסים להשתמש בכלל לכל טווח שהוא.

איך מתקנים?

הכלל נכון רק לטווחים סימטריים

\mu \pm \sigma , \mu \pm 2\sigma , \mu \pm 3\sigma

. לטווחים אחרים צריך את הטבלה.

סיכום

מה למדנו?

תכונות הפעמון: סימטריה ביחס ל-μ, ממוצע=חציון=שכיח, שטח כולל 1, חצאים שווים (0.5 כל אחד).

ממוצע מול סטיית תקן: μ מזיז את המרכז, σ קובע את הרוחב (קטנה → צר וגבוה).

כלל 68-95-99.7: μ±σ ≈ 68%, μ±2σ ≈ 95%, μ±3σ ≈ 99.7%. סימטריה מאפשרת לחשב חצאי-טווחים וזנבות.

עכשיו, כשאנו מבינים את צורת העקומה, נעבור ללמוד כיצד לקרוא ממנה כל שטח שנרצה — באמצעות הטבלה הסטנדרטית.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על תכונות העקומה וכלל 68-95-99.7!

תכונות עקומת ההתפלגות הנורמלית

תכונות עקומת ההתפלגות הנורמלית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שטח מימין לממוצע

מהי ההסתברות שנתון יהיה גדול מהממוצע?

דוגמה 2: שימוש בכלל 68-95-99.7 (חצי טווח)

μ=100,σ=15\mu =100, \sigma =15μ=100,σ=15. מהי ההסתברות P(X<115)P(X < 115)P(X<115)?

דוגמה 3: אחוז בטווח ±2σ

μ=50,σ=10\mu =50, \sigma =10μ=50,σ=10. איזה אחוז מהנתונים בין 30 ל-70?

דוגמה 4: שטח של זנב

μ=200,σ=10\mu =200, \sigma =10μ=200,σ=10. איזה אחוז מהנתונים מעל 220?

דוגמה 5: השוואת רוחב עקומות

שלוש אוכלוסיות עם אותו μ:σ=2,σ=5,σ=10\mu : \sigma =2, \sigma =5, \sigma =10μ:σ=2,σ=5,σ=10. סדרו מהצרה לרחבה.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שחצי העקומה שטחו 1

טעות נפוצה: מבלבלים בין הממוצע לסטיית התקן

טעות נפוצה: מניחים שתמיד ממוצע=חציון=שכיח

טעות נפוצה: טועים בכיוון הזנב

טעות נפוצה: מיישמים את כלל 68−95−99.768-95-99.768−95−99.7 על טווחים לא-סימטריים

סיכום

תרגול נוסף

$\mu =100, \sigma =15$ . מהי ההסתברות $P(X < 115)$ ?

$\mu =50, \sigma =10$ . איזה אחוז מהנתונים בין 30 ל-70?

$\mu =200, \sigma =10$ . איזה אחוז מהנתונים מעל 220?

שלוש אוכלוסיות עם אותו $\mu : \sigma =2, \sigma =5, \sigma =10$ . סדרו מהצרה לרחבה.

טעות נפוצה: מיישמים את כלל $68-95-99.7$ על טווחים לא-סימטריים