שילוב ההתפלגות הנורמלית עם הסתברות והשוואת קבוצות

מבוא

מטרות השיעור

לתרגם הסתברות נורמלית למספר הנתונים הצפוי באוכלוסייה
לשלב את ההתפלגות הנורמלית עם איחוד וחיתוך מאורעות בלתי תלויים
לחשב הסתברות של "בדיוק אחד מתוך שניים"
להשוות בין קבוצות המתפלגות נורמלית בעזרת ציוני תקן

עכשיו, כשאנו שולטים בציוני תקן ובטבלה, נחבר אותם לכלי ההסתברות שכבר מוכרים לנו. הרעיון המרכזי: כל שטח מתחת לעקומה הוא הסתברות, ועליו אפשר להפעיל את כל חוקי ההסתברות — משלים, איחוד וחיתוך.

הרעיון המרכזי

מהסתברות למספר נתונים

אם ההסתברות של תכונה היא p והאוכלוסייה מונה N פרטים, מספר הנתונים הצפוי בעלי התכונה הוא $N \cdot p$ .

מכפילים תמיד בגודל האוכלוסייה הכוללת — לא בחלק כלשהו ממנה.

איחוד וחיתוך

חיתוך (גם וגם): למאורעות בלתי תלויים — $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$
איחוד (לפחות אחד): $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ — מחסירים את החיתוך כדי לא לספור אותו פעמיים
משלים: $P (לפחות אחד) = 1 - P (אף אחד)$

בדיוק אחד מתוך שניים והשוואת קבוצות

בדיוק אחד מתוך שניים (בלתי תלויים, הסתברות הצלחה p): יש שני סדרים אפשריים (הצלחה-כישלון וכישלון-הצלחה), ולכן $P (בדיוק אחד) = 2 p (1 - p)$ .

השוואת קבוצות: כדי להשוות הצלחה יחסית בין נבחנים מקבוצות עם μ ו-σ שונים, משווים ציוני תקן ולא ציונים גולמיים. ציון תקן גבוה יותר = מיקום יחסי טוב יותר בתוך הקבוצה.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מהסתברות למספר

$\mu =200, \sigma =10$ . כמה מתוך 1000 סוללות יפעלו יותר מ-220 שעות $? (\Phi (2)=0.9772)$

N \cdot p = 1000 \cdot (1 - Φ (2)) = 1000 \cdot 0.0228 = 22.8

שלב 1 — ציון תקן

z = \frac{220 - 200}{10} = 2

תשובה מספרית

אורך החיים של סוללות מתפלג נורמלית עם ממוצע $\mu =200$ שעות וסטיית תקן $\sigma =10$ שעות. מפעל קנה 1000 סוללות. כמה מהן צפויות לפעול יותר מ-220 שעות? (נתון $\Phi (2)=0.9772$ ; דייקו עד ספרה אחת אחרי הנקודה)

סטייה מותרת: ±0.5

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: חיתוך של מאורעות בלתי תלויים

P(עובר אנגלית) $=0.2, P($ עובר מתמטיקה) $=0.1$ , בלתי תלויים. P(עובר את שניהם)?

P (A \cap B) = 0.2 \cdot 0.1 = 0.02

שלב 1 — אי-תלות

החיתוך = מכפלת ההסתברויות

תשובה מספרית

מועמד צריך לעבור שני מבחני קבלה בלתי תלויים. ההסתברות לעבור את מבחן האנגלית היא 0.2, וההסתברות לעבור את מבחן המתמטיקה היא 0.1. מהי ההסתברות שיעבור את שני המבחנים?

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: איחוד (לפחות אחד)

P(עובר אנגלית) $=0.3, P($ עובר מתמטיקה) $=0.5$ , בלתי תלויים. P(לפחות אחד)?

P (A \cup B) = 0.3 + 0.5 - 0.15 = 0.65

בדיקה דרך המשלים: $1 - 0.7 \cdot 0.5 = 1 - 0.35 = 0.65$ ✓

שלב 1 — חיתוך

P(A∩B) = 0.3 \cdot 0.5 = 0.15

תשובה מספרית

מועמד נבחן בשני מבחנים בלתי תלויים. ההסתברות שיעבור את מבחן האנגלית היא 0.3, וההסתברות שיעבור את מבחן המתמטיקה היא 0.5. מהי ההסתברות שיעבור לפחות מבחן אחד? (דייקו עד שתי ספרות אחרי הנקודה)

סטייה מותרת: ±0.005

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: בדיוק אחד מתוך שניים

$\mu =70, \sigma =10, '$ מצטיין'=מעל 80. בוחרים 2 תלמידים. P(בדיוק אחד מצטיין) $? (\Phi (1)=0.8413)$

2 p (1 - p) = 2 \cdot 0.1587 \cdot 0.8413 \approx 0.2670

אל תשכחו את הפי-2!

שלב 1 — הסתברות הצלחה

z=\frac{80-70}{10}=1, p=1-\Phi (1)=0.1587

דוגמה 5: השוואת קבוצות בעזרת ציוני תקן

רמי קיבל 82 בשני מועדים. א $': \mu =76.6, \sigma =10$ . ב $': \mu =80, \sigma =5$ . היכן הצליח יותר יחסית?

z_{א’} = 0.54, z_{ב’} = 0.40

ציון גולמי זהה, מיקום יחסי שונה — ציון התקן מכריע.

שלב 1 — מועד א'

z = \frac{82-76.6}{10} = 0.54

בדיקה מהירה

רמי ניגש למבחן בשני מועדים וקיבל בשניהם 82. במועד א' הממוצע 76.6 וסטיית התקן 10; במועד ב' הממוצע 80 וסטיית התקן 5. באיזה מועד הצליח רמי טוב יותר בהשוואה לשאר הנבחנים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: כופלים הסתברויות גם כשהמאורעות תלויים

במבחנים בלתי תלויים מותר לכפול; אם תוצאה אחת משפיעה על השנייה — לא.

למה זה קורה?

זוכרים את נוסחת החיתוך אבל שוכחים את התנאי.

איך מתקנים?

P(A∩B)=P(A) \cdot P(B)

תקף רק כאשר A ו-B בלתי תלויים. אחרת צריך הסתברות מותנית.

טעות נפוצה: מכפילים את ההסתברות במספר הלא נכון

1000 סוללות, p=0.0228 → $1000 \cdot 0.0228 = 22.8$ , לא 228 ולא 2.28.

למה זה קורה?

כופלים בחלק מהאוכלוסייה במקום בכולה.

איך מתקנים?

מספר הנתונים הצפוי

= N \cdot p

, כאשר N הוא גודל האוכלוסייה הכוללת.

טעות נפוצה: משווים ציונים גולמיים בין קבוצות

82 במבחן עם μ=76.6 נותן z=0.54 — מיקום טוב יותר מ-82 במבחן עם μ=80 (z=0.4).

למה זה קורה?

נדמה שהמספר הגדול יותר מצביע על הצלחה יחסית טובה יותר.

איך מתקנים?

בקבוצות עם

\mu

ו-

\sigma

שונים רק ציון התקן מודד מיקום יחסי. השוו z.

טעות נפוצה: שוכחים להחסיר את החיתוך באיחוד

0.3 + 0.5 = 0.8 (שגוי); הנכון: 0.8 - 0.15 = 0.65.

למה זה קורה?

כותבים

P(A∪B)=P(A)+P(B)

ולכן סופרים את החפיפה פעמיים.

איך מתקנים?

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

. תמיד מחסירים את החיתוך.

טעות נפוצה: שוכחים את הפי-2 ב'בדיוק אחד'

טעות: 0.1587·0.8413 ≈ 0.1335.

נכון: $2 \cdot 0.1587 \cdot 0.8413 \approx 0.2670$ .

למה זה קורה?

מחשבים רק סדר אחד: הצלחה ואז כישלון.

איך מתקנים?

'בדיוק אחד מתוך שניים' כולל שני סדרים, ולכן

P = 2 \cdot p \cdot (1-p)

סיכום

מה למדנו?

מהסתברות למספר: מספר צפוי = $N \cdot p$ (כפל בגודל האוכלוסייה הכוללת).

חיתוך (בלתי תלויים): $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ .

איחוד: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ — תמיד מחסירים את החיתוך.

בדיוק אחד מתוך שניים: 2p(1-p).

השוואת קבוצות: משווים ציוני תקן z, לא ציונים גולמיים.

סיימתם את יחידת ההתפלגות הנורמלית — כלי מרכזי בסטטיסטיקה ובמדעים. כל הכבוד!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על שילוב ההתפלגות הנורמלית עם הסתברות!

שילוב ההתפלגות הנורמלית עם הסתברות והשוואת קבוצות

שילוב ההתפלגות הנורמלית עם הסתברות והשוואת קבוצות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מהסתברות למספר

μ=200,σ=10\mu =200, \sigma =10μ=200,σ=10. כמה מתוך 1000 סוללות יפעלו יותר מ-220 שעות?(Φ(2)=0.9772)? (\Phi (2)=0.9772)?(Φ(2)=0.9772)

דוגמה 2: חיתוך של מאורעות בלתי תלויים

P(עובר אנגלית)=0.2,P(=0.2, P(=0.2,P(עובר מתמטיקה)=0.1=0.1=0.1, בלתי תלויים. P(עובר את שניהם)?

דוגמה 3: איחוד (לפחות אחד)

P(עובר אנגלית)=0.3,P(=0.3, P(=0.3,P(עובר מתמטיקה)=0.5=0.5=0.5, בלתי תלויים. P(לפחות אחד)?

דוגמה 4: בדיוק אחד מתוך שניים

μ=70,σ=10,′\mu =70, \sigma =10, 'μ=70,σ=10,′מצטיין'=מעל 80. בוחרים 2 תלמידים. P(בדיוק אחד מצטיין)?(Φ(1)=0.8413)? (\Phi (1)=0.8413)?(Φ(1)=0.8413)

דוגמה 5: השוואת קבוצות בעזרת ציוני תקן

רמי קיבל 82 בשני מועדים. א′:μ=76.6,σ=10': \mu =76.6, \sigma =10′:μ=76.6,σ=10. ב′:μ=80,σ=5': \mu =80, \sigma =5′:μ=80,σ=5. היכן הצליח יותר יחסית?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: כופלים הסתברויות גם כשהמאורעות תלויים

טעות נפוצה: מכפילים את ההסתברות במספר הלא נכון

טעות נפוצה: משווים ציונים גולמיים בין קבוצות

טעות נפוצה: שוכחים להחסיר את החיתוך באיחוד

טעות נפוצה: שוכחים את הפי-2 ב'בדיוק אחד'

סיכום

תרגול נוסף

$\mu =200, \sigma =10$ . כמה מתוך 1000 סוללות יפעלו יותר מ-220 שעות $? (\Phi (2)=0.9772)$

P(עובר אנגלית) $=0.2, P($ עובר מתמטיקה) $=0.1$ , בלתי תלויים. P(עובר את שניהם)?

P(עובר אנגלית) $=0.3, P($ עובר מתמטיקה) $=0.5$ , בלתי תלויים. P(לפחות אחד)?

$\mu =70, \sigma =10, '$ מצטיין'=מעל 80. בוחרים 2 תלמידים. P(בדיוק אחד מצטיין) $? (\Phi (1)=0.8413)$

רמי קיבל 82 בשני מועדים. א $': \mu =76.6, \sigma =10$ . ב $': \mu =80, \sigma =5$ . היכן הצליח יותר יחסית?