שימוש דו-כיווני בטבלת ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית

מבוא

מטרות השיעור

להבין שהטבלה המצטברת נותנת את $Φ (z) = P (Z < z)$ — השטח משמאל ל-z
לחשב הסתברויות של זנבות וטווחים אמצעיים בעזרת המשלים והסימטריה
לעבוד בכיוון ההפוך: מהסתברות נתונה למצוא את ציון התקן z
מתוך הסתברות נתונה למצוא את הממוצע μ או את סטיית התקן σ

עד כה ידענו לחשב שטחים רק לטווחים "נחמדים" (±1σ, ±2σ). הטבלה הסטנדרטית מאפשרת לקבל כל שטח שנרצה. כל בעיה נורמלית מתורגמת תחילה לציון תקן $z = \frac{x - μ}{σ}$ , ואז קוראים מהטבלה.

הרעיון המרכזי

מה נותנת הטבלה

הטבלה היא מצטברת: עבור ציון תקן z היא מחזירה $Φ (z) = P (Z < z)$ — את השטח מתחת לעקומה משמאל ל-z.

ערכי ייחוס שכדאי להכיר: $Φ (0) = 0.5, Φ (1) \approx 0.8413, Φ (1.5) \approx 0.9332, Φ (2) \approx 0.9772$

תשובה מספרית

נתון ש- $\Phi (1)=0.8413$ . מהי ההסתברות $P(Z < 1)$ בהתפלגות הנורמלית הסטנדרטית? (דייקו עד ארבע ספרות אחרי הנקודה)

סטייה מותרת: ±0.0005

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

שלושת הכללים לקריאת שטחים

שטח שמאלי: $P (Z < z) = Φ (z)$ (ישירות מהטבלה)
שטח ימני (זנב): $P (Z > z) = 1 - Φ (z)$
טווח אמצעי: $P (a < Z < b) = Φ (b) - Φ (a)$ — מחסרים הסתברויות, לא ציוני תקן
z שלילי (סימטריה): $Φ (- z) = 1 - Φ (z)$

הכיוון ההפוך

כשנתונה הסתברות ומבקשים z, מחפשים בתוך גוף הטבלה את הערך הקרוב להסתברות וקוראים את ה-z המתאים. דוגמאות שכדאי לזכור:

Φ (z) = 0.90 \Rightarrow z \approx 1.28, Φ (z) = 0.975 \Rightarrow z \approx 1.96

לאחר שמצאנו את z, מציבים בקשר $x = μ + z σ$ כדי למצוא את μ או את σ.

שימו לב: אם נתון אחוז עליון (למשל "10% גבוהים מ-x"), קודם הופכים אותו לשטח מצטבר משמאל (1-0.10=0.90) ורק אז מחפשים z.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שטח ימני (זנב)

נתון $\Phi (1)=0.8413$ . חשבו $P(Z > 1)$ .

P (Z > 1) = 1 - Φ (1) = 0.1587

שלב 1 — הטבלה נותנת שמאל

\Phi (1) = P(Z<1) = 0.8413

תשובה מספרית

נתון $\Phi (1)=0.8413$ . מהי ההסתברות $P(Z > 1)? ($ דייקו עד ארבע ספרות אחרי הנקודה)

סטייה מותרת: ±0.0005

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: z שלילי בעזרת סימטריה

נתון $\Phi (1)=0.8413$ . חשבו $P(Z < -1)$ .

Φ (- 1) = 1 - Φ (1) = 0.1587

השטח משמאל ל-−1 שווה לשטח מימין ל-+1.

שלב 1 — אין z שלילי בטבלה

הטבלה מתחילה ב-0

דוגמה 3: טווח אמצעי

נתון $\Phi (0)=0.5, \Phi (1.5)=0.9332$ . חשבו $P(0 < Z < 1.5)$ .

P (0 < Z < 1.5) = Φ (1.5) - Φ (0) = 0.4332

מחסירים הסתברויות — לא את ציוני התקן!

שלב 1 — נוסחת טווח

P(a<Z<b) = \Phi (b) - \Phi (a)

תשובה מספרית

נתון $\Phi (0)=0.5$ ו- $\Phi (1.5)=0.9332$ . חשבו את $P(0 < Z < 1.5). ($ דייקו עד ארבע ספרות אחרי הנקודה)

סטייה מותרת: ±0.0005

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: כיוון הפוך — מציאת ממוצע

$\sigma =25, 90\%$ גולשים פחות מ-180 דקות $, z(0.90)=1.28$ . מצאו את $\mu$ .

1.28 = \frac{180 - μ}{25} \Rightarrow μ = 180 - 32 = 148

שלב 1 — מהסתברות ל-z

\Phi (z)=0.90 → z=1.28

תשובה מספרית

פרקי הזמן שתלמידים גולשים באינטרנט מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן $\sigma =25$ דקות. ידוע ש-90% מהתלמידים גולשים פחות מ-180 דקות. נתון שציון התקן שמתאים להסתברות מצטברת 0.90 הוא $z=1.28$ . מצאו את הממוצע $\mu ($ בדקות).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: כיוון הפוך — מציאת סטיית תקן

$\mu =100, 84.13\%$ נמוך מ- $112, \Phi (1)=0.8413$ . מצאו את $\sigma$ .

1 = \frac{112 - 100}{σ} \Rightarrow σ = 12

שלב 1 — מהסתברות ל-z

\Phi (z)=0.8413 → z=1

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים ש- $\Phi (z)$ נותן את הזנב הימני

$P (Z > 1) = 1 - Φ (1) = 0.1587$ , ולא 0.8413.

למה זה קורה?

מבלבלים בין 'מצטבר' (שמאל) ל'זנב' (ימין).

איך מתקנים?

הטבלה המצטברת נותנת תמיד את השטח משמאל:

\Phi (z)=P(Z<z)

. לזנב הימני:

1-\Phi (z)

טעות נפוצה: מחפשים z שלילי בטבלה

Φ (- 1) = 1 - Φ (1) = 0.1587

למה זה קורה?

הטבלה מתחילה ב-

z=0

ואין בה ערכים שליליים.

איך מתקנים?

משתמשים בסימטריה:

\Phi (-z) = 1 - \Phi (z)

טעות נפוצה: מחסירים את ציוני התקן במקום את ההסתברויות

טעות: P(0<Z<1.5) = 1.5 − 0 = 1.5 (בלתי אפשרי!).

נכון: $Φ (1.5) - Φ (0) = 0.4332$ .

למה זה קורה?

חושבים ש-

P(a<Z<b) = z_b - z_a

איך מתקנים?

חייבים לתרגם כל גבול להסתברות ורק אז לחסר:

P(a<Z<b) = \Phi (b) - \Phi (a)

טעות נפוצה: בכיוון ההפוך מחפשים בעמודת ה-z

Φ(z)=0.90 → מאתרים 0.90 בגוף הטבלה → $z \approx 1.28$ .

למה זה קורה?

מתבלבלים מי הקלט ומי הפלט.

איך מתקנים?

כשנתונה הסתברות, מחפשים אותה בתוך גוף הטבלה וקוראים את ה-z המתאים — לא להפך.

טעות נפוצה: שוכחים להפוך 'אחוז עליון' לשטח מצטבר

"10% גבוהים מ-x" → $Φ (z) = 0.90$ → $z \approx 1.28$ .

למה זה קורה?

מחפשים z עבור האחוז העליון ישירות.

איך מתקנים?

אם 10% גבוהים מ-x, השטח משמאל ל-x הוא 0.90. את 0.90 מחפשים בטבלה.

סיכום

מה למדנו?

הטבלה מצטברת: $Φ (z) = P (Z < z)$ — שטח משמאל.

ארבעת הכללים: שמאל = Φ(z); ימין = 1−Φ(z); אמצע = Φ(b)−Φ(a); שלילי = 1−Φ(z).

כיוון הפוך: מאתרים הסתברות בגוף הטבלה → z → מציבים ב- $x = μ + z σ$ כדי למצוא μ או σ.

זהירות: אחוז עליון הופכים לשטח מצטבר (1 − האחוז) לפני שמחפשים z.

עכשיו, כשאנו שולטים בטבלה, נשלב אותה עם נושאי הסתברות והשוואת קבוצות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על שימוש דו-כיווני בטבלה!

שימוש דו-כיווני בטבלת ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית

שימוש דו-כיווני בטבלת ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שטח ימני (זנב)

נתון Φ(1)=0.8413\Phi (1)=0.8413Φ(1)=0.8413. חשבו P(Z>1)P(Z > 1)P(Z>1).

דוגמה 2: z שלילי בעזרת סימטריה

נתון Φ(1)=0.8413\Phi (1)=0.8413Φ(1)=0.8413. חשבו P(Z<−1)P(Z < -1)P(Z<−1).

דוגמה 3: טווח אמצעי

נתון Φ(0)=0.5,Φ(1.5)=0.9332\Phi (0)=0.5, \Phi (1.5)=0.9332Φ(0)=0.5,Φ(1.5)=0.9332. חשבו P(0<Z<1.5)P(0 < Z < 1.5)P(0<Z<1.5).

דוגמה 4: כיוון הפוך — מציאת ממוצע

σ=25,90%\sigma =25, 90\%σ=25,90% גולשים פחות מ-180 דקות,z(0.90)=1.28, z(0.90)=1.28,z(0.90)=1.28. מצאו את μ\muμ.

דוגמה 5: כיוון הפוך — מציאת סטיית תקן

μ=100,84.13%\mu =100, 84.13\%μ=100,84.13% נמוך מ-112,Φ(1)=0.8413112, \Phi (1)=0.8413112,Φ(1)=0.8413. מצאו את σ\sigmaσ.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים ש-Φ(z)\Phi (z)Φ(z) נותן את הזנב הימני

טעות נפוצה: מחפשים z שלילי בטבלה

טעות נפוצה: מחסירים את ציוני התקן במקום את ההסתברויות

טעות נפוצה: בכיוון ההפוך מחפשים בעמודת ה-z

טעות נפוצה: שוכחים להפוך 'אחוז עליון' לשטח מצטבר

סיכום

תרגול נוסף

נתון $\Phi (1)=0.8413$ . חשבו $P(Z > 1)$ .

נתון $\Phi (1)=0.8413$ . חשבו $P(Z < -1)$ .

נתון $\Phi (0)=0.5, \Phi (1.5)=0.9332$ . חשבו $P(0 < Z < 1.5)$ .

$\sigma =25, 90\%$ גולשים פחות מ-180 דקות $, z(0.90)=1.28$ . מצאו את $\mu$ .

$\mu =100, 84.13\%$ נמוך מ- $112, \Phi (1)=0.8413$ . מצאו את $\sigma$ .

טעות נפוצה: חושבים ש- $\Phi (z)$ נותן את הזנב הימני