שטח לפי סינוס הזווית הכלואה

מבוא

הנוסחה המוכרת לשטח משולש היא ½·בסיס·גובה. אבל בהרבה מקרים לא נתון הגובה, אלא שתי צלעות והזווית שביניהן. בעזרת הסינוס נוכל לחשב את הגובה "בתוך הנוסחה" ולקבל ביטוי אלגנטי לשטח, שעובד גם למקביליות ולצורות מורכבות.

מטרות השיעור

לחשב שטח משולש לפי $S = \frac{1}{2} ab sin C$
לחשב שטח מקבילית לפי $S = ab sin θ$
לזהות מהי הזווית הכלואה בין שתי צלעות
לחשב שטחים מורכבים בחיבור וחיסור של משולשים

הרעיון המרכזי

נוסחאות השטח

שטח משולש: מחצית מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית הכלואה ביניהן:

S_{△} = \frac{1}{2} a b sin C

שטח מקבילית: מכפלת שתי צלעות סמוכות בסינוס הזווית ביניהן:

S_{□} = a b sin θ

למה הנוסחה עובדת? הגובה מהקודקוד אל הצלע a שווה $b sin C$ , ולכן $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (b sin C)$ . במקבילית יש שני משולשים כאלה, ולכן אין מקדם $\frac{1}{2}$ .

זווית כלואה = הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שאת מכפלתן אנו לוקחים.

חשוב לזכור: $sin θ$ של זווית בין 0° ל-180° הוא תמיד חיובי, ולכן השטח תמיד יוצא חיובי — גם כשהזווית הכלואה קהה.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שטח משולש בסיסי

במשולש $a = 6, b = 8$ , והזווית הכלואה $C = 30^{\circ}$ . מצאו את השטח.

S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot sin 3 0^{\circ} = 12

שלב 1 — בודקים שהזווית כלואה

C נמצאת בין הצלעות a ו-b. מצוין.

תשובה מספרית

במשולש ABC נתון $a = 6, b = 8$ והזווית הכלואה $C = 30^{\circ}$ . חשבו את שטח המשולש.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: זווית כלואה קהה

במשולש $a = 12, b = 16$ , והזווית הכלואה $150^{\circ}$ . מצאו את השטח.

S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 \cdot sin 15 0^{\circ} = 48

הסינוס של זווית קהה חיובי, ולכן השטח חיובי.

שלב 1 — סינוס של זווית קהה

\sin 150^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 150^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = 0.5 (

חיובי!)

דוגמה 3: שטח מקבילית

במקבילית צלעות סמוכות 7 ו-10, והזווית ביניהן $30^{\circ}$ . מצאו את השטח.

S = a b sin θ = 7 \cdot 10 \cdot sin 3 0^{\circ} = 35

שימו לב: במקבילית אין מקדם $\frac{1}{2}$ .

שלב 1 — נוסחת המקבילית

S = a \cdot b \cdot \sin \theta (

ללא

\frac{1}{2})

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: שטח מקבילית שאורכי צלעותיה הסמוכות 7 ו-10 והזווית ביניהן $30^{\circ}$ שווה ל-35.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

במעוין (מקבילית שכל צלעותיה שוות) אורך הצלע 8 וזווית אחת $70^{\circ}$ . חשבו את שטח המעוין (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

סטייה מותרת: ±0.2

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שטח מורכב — חיבור משולשים

מרובע ABCD מחולק באלכסון AC. במשולש $ABC: AB=10, BC=8, B=50^{\circ}$ . במשולש $ACD: CD=9, DA=7, D=65^{\circ}$ . מצאו את שטח המרובע.

S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 sin 5 0^{\circ} + \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 7 sin 6 5^{\circ} \approx 59.19

מפרקים צורה מורכבת למשולשים, מחשבים כל אחד ומחברים.

שלב 1 — שטח משולש ABC

S_{1} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 \cdot \sin 50^{\circ} = 40 \cdot 0.7660 ≈ 30.64

תשובה מספרית

מרובע ABCD מחולק על ידי האלכסון AC לשני משולשים. במשולש $ABC: AB = 10, BC = 8$ , הזווית $B = 50^{\circ}$ . במשולש $ACD: CD = 9, DA = 7$ , הזווית $D = 65^{\circ}$ . חשבו את שטח המרובע (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

סטייה מותרת: ±0.2

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: שטח מורכב — חיסור

ממשולש ששטחו 60 גוזרים משולש פנימי ששתי צלעותיו 5 ו-9 והזווית ביניהן $40^{\circ}$ . מהו שטח החלק שנותר?

S = 60 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 9 sin 4 0^{\circ} \approx 45.54

לחישוב שטח של "טבעת" או חלק שנותר משתמשים בחיסור.

שלב 1 — שטח המשולש הנגזר

S_in = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 9 \cdot \sin 40^{\circ} = 22.5 \cdot 0.6428 ≈ 14.46

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משתמשים בזווית שאינה כלואה

ב- $S = \frac{1}{2} ab sin C$ , הזווית C כלואה בין a ו-b.

למה זה קורה?

לוקחים את הסינוס של זווית שאינה נמצאת בין שתי הצלעות הנתונות.

איך מתקנים?

הזווית בנוסחה חייבת להיות בין שתי הצלעות שאת מכפלתן לקחתם. אם נתונה זווית אחרת — מצאו תחילה את הכלואה.

טעות נפוצה: מבלבלים בין נוסחת המשולש לנוסחת המקבילית

משולש: $S = \frac{1}{2} ab sin θ$

מקבילית: $S = ab sin θ$

למה זה קורה?

מוסיפים

\frac{1}{2}

למקבילית או שוכחים אותו במשולש.

איך מתקנים?

משולש:

\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \theta

. מקבילית:

a \cdot b \cdot \sin \theta (

פי שניים מהמשולש, ללא

\frac{1}{2})

טעות נפוצה: חושבים שסינוס של זווית קהה שלילי

$sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = 0.5 > 0$ — השטח חיובי.

למה זה קורה?

מבלבלים בין סינוס לקוסינוס. הקוסינוס שלילי בזווית קהה, אך הסינוס חיובי.

איך מתקנים?

לכל זווית בין

0^{\circ}

ל-

180^{\circ}

הסינוס חיובי, ולכן השטח תמיד חיובי

. \sin 150^{\circ} = \sin 30^{\circ} = 0.5

טעות נפוצה: מנסים לחשב שטח מורכב בנוסחה אחת

שטח מרובע = שטח שני המשולשים שנוצרים מהאלכסון.

למה זה קורה?

מחפשים נוסחה ישירה למרובע כללי במקום לפרק אותו.

איך מתקנים?

פרקו צורה מורכבת למשולשים (לרוב באלכסון), חשבו כל אחד וחברו או חסרו.

סיכום

מה למדנו?

נוסחאות השטח:

משולש: $S = \frac{1}{2} ab sin C$
מקבילית: $S = ab sin θ$

נקודות מפתח:

הזווית חייבת להיות כלואה בין שתי הצלעות.
במקבילית אין מקדם ½ (כפול מהמשולש).
סינוס של כל זווית במשולש חיובי → שטח חיובי, גם בזווית קהה.
שטח מורכב = חיבור/חיסור שטחי משולשים.

עכשיו אתם יכולים לחשב שטח של כל משולש, מקבילית או צורה מורכבת — גם בלי לדעת את הגובה!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישובי שטח לפי סינוס הזווית הכלואה.

שטח לפי סינוס הזווית הכלואה

שטח לפי סינוס הזווית הכלואה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שטח משולש בסיסי

במשולש a=6,b=8a = 6, b = 8a=6,b=8, והזווית הכלואה C=30∘C = 30^{\circ}C=30∘. מצאו את השטח.

דוגמה 2: זווית כלואה קהה

במשולש a=12,b=16a = 12, b = 16a=12,b=16, והזווית הכלואה 150∘150^{\circ}150∘. מצאו את השטח.

דוגמה 3: שטח מקבילית

במקבילית צלעות סמוכות 7 ו-10, והזווית ביניהן 30∘30^{\circ}30∘. מצאו את השטח.

דוגמה 4: שטח מורכב — חיבור משולשים

מרובע ABCD מחולק באלכסון AC. במשולש ABC:AB=10,BC=8,B=50∘ABC: AB=10, BC=8, B=50^{\circ}ABC:AB=10,BC=8,B=50∘. במשולש ACD:CD=9,DA=7,D=65∘ACD: CD=9, DA=7, D=65^{\circ}ACD:CD=9,DA=7,D=65∘. מצאו את שטח המרובע.

דוגמה 5: שטח מורכב — חיסור

ממשולש ששטחו 60 גוזרים משולש פנימי ששתי צלעותיו 5 ו-9 והזווית ביניהן 40∘40^{\circ}40∘. מהו שטח החלק שנותר?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משתמשים בזווית שאינה כלואה

טעות נפוצה: מבלבלים בין נוסחת המשולש לנוסחת המקבילית

טעות נפוצה: חושבים שסינוס של זווית קהה שלילי

טעות נפוצה: מנסים לחשב שטח מורכב בנוסחה אחת

סיכום

תרגול נוסף

במשולש $a = 6, b = 8$ , והזווית הכלואה $C = 30^{\circ}$ . מצאו את השטח.

במשולש $a = 12, b = 16$ , והזווית הכלואה $150^{\circ}$ . מצאו את השטח.

במקבילית צלעות סמוכות 7 ו-10, והזווית ביניהן $30^{\circ}$ . מצאו את השטח.

מרובע ABCD מחולק באלכסון AC. במשולש $ABC: AB=10, BC=8, B=50^{\circ}$ . במשולש $ACD: CD=9, DA=7, D=65^{\circ}$ . מצאו את שטח המרובע.

ממשולש ששטחו 60 גוזרים משולש פנימי ששתי צלעותיו 5 ו-9 והזווית ביניהן $40^{\circ}$ . מהו שטח החלק שנותר?