אומדן המספר π

מבוא

המספר $π$ מלווה אותנו מאז בית הספר היסודי, אך מהו בעצם? הוא מוגדר כיחס הקבוע בין היקף כל מעגל לקוטרו, והוא מספר אי-רציונלי שאי אפשר לכתוב כשבר או כעשרוני סופי. כבר לפני יותר מ-2200 שנה ידע ארכימדס לאמוד אותו בדיוק מרשים, באמצעות טריגונומטריה של מצולעים. בשיעור זה נחזור על דרכו ונבין כיצד "כולאים" את π בין שני אומדנים.

מטרות השיעור

להבין את ההגדרה של $π$ כיחס בין היקף המעגל לקוטרו
לאמוד את $π$ בעזרת שטחי מצולעים משוכללים חסומים (אומדן מלמטה) וחוסמים (אומדן מלמעלה)
להבין מדוע הגדלת מספר הצלעות משפרת את האומדן
להכיר את הרקע ההיסטורי של חישובי $π$ (שיטת ארכימדס)

הרעיון המרכזי

$\pi$ וכליאתו בין מצולעים

ההגדרה: $π = \frac{היקף המעגל}{קוטר המעגל}$ — יחס קבוע בכל מעגל.

מכאן נובע גם $π = \frac{שטח המעגל}{R ^{2}}$ , ולכן שטח מעגל שרדיוסו 1 שווה בדיוק $π$ .

רעיון האומדן (במעגל יחידה, R = 1):

מצולע משוכלל חסום (בתוך המעגל): שטחו $\frac{1}{2} n sin \frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ — אומדן מלמטה ל- $π$ .
מצולע משוכלל חוסם (מקיף את המעגל): שטחו $n tan \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ — אומדן מלמעלה ל- $π$ .

לכן בכל n מתקיים $\frac{1}{2} n sin \frac{36 0 ^{\circ}}{n} < π < n tan \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ .

ככל שמגדילים את מספר הצלעות n, המצולע החסום והמצולע החוסם מתקרבים שניהם אל המעגל, ושני האומדנים מתהדקים סביב $π$ . זוהי בדיוק שיטת ה"כליאה" של ארכימדס.

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: שטחו של מצולע משוכלל החסום בתוך מעגל (פנימי) קטן משטח המעגל.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אומדן π מהיחס היקף/קוטר

גלגל שקוטרו 0.5 מ' התגלגל ועשה סיבוב מלא שאורכו נמדד כ-1.571 מ'. אמדו את $\pi$ .

π \approx \frac{1.571}{0.5} = 3.142

זוהי הדרך הניסויית: מגלגלים גלגל ומחלקים את אורך הגלגול בקוטר.

שלב 1 — היחס

\pi ≈

היקף/קוטר

דוגמה 2: שטח משושה חסום (אומדן מלמטה)

משושה משוכלל $(n=6)$ חסום במעגל $R=1$ . מצאו את שטחו.

S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot sin 6 0^{\circ} \approx 2.598 < π

המשושה החסום קטן מהמעגל, ולכן זהו אומדן מלמטה.

שלב 1 — הנוסחה

S = \frac{1}{2} \cdot n \cdot \sin (\frac{360^{\circ}}{n})

תשובה מספרית

משושה משוכלל $(6$ צלעות) חסום במעגל שרדיוסו 1. שטחו ניתן לפי $\frac{1}{2} \cdot n \cdot \sin (\frac{360^{\circ}}{n})$ . חשבו את שטח המשושה (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה).

סטייה מותרת: ±0.005

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: שטח משושה חוסם (אומדן מלמעלה)

משושה משוכלל חוסם מעגל $R=1$ . מצאו את שטחו.

S = 6 tan 3 0^{\circ} \approx 3.464 > π

יחד עם הדוגמה הקודמת: $2.598 < π < 3.464$ .

שלב 1 — הנוסחה

S = n \cdot \tan (\frac{180^{\circ}}{n})

תשובה מספרית

משושה משוכלל החוסם מעגל שרדיוסו 1. שטחו ניתן לפי $n \cdot \tan (\frac{180^{\circ}}{n})$ . חשבו את שטח המשושה החוסם (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה).

סטייה מותרת: ±0.005

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שיפור האומדן עם 12 צלעות

מצאו את שטח המצולע המשוכלל בעל 12 צלעות החסום במעגל $R=1$ , והשוו לאומדן המשושה.

S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot sin 3 0^{\circ} = 3.000

האומדן השתפר מ-2.598 (n=6) ל-3.000 (n=12). ארכימדס הגיע עד n=96 וקיבל $3.1408 < π < 3.1429$ .

שלב 1 — מציבים $n=12$

S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \sin (30^{\circ}) = 6 \cdot 0.5

תשובה מספרית

מצולע משוכלל בעל 12 צלעות חסום במעגל שרדיוסו 1. חשבו את שטחו לפי $\frac{1}{2} \cdot n \cdot \sin (\frac{360^{\circ}}{n}) ($ עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה).

סטייה מותרת: ±0.005

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

רקע היסטורי

קצת היסטוריה

אומדן $π$ העסיק תרבויות רבות. במצרים העתיקה ובבבל השתמשו בקירובים כמו 3 ו- $\frac{256}{81} \approx 3.16$ . ארכימדס (המאה ה-3 לפנה"ס) פיתח את שיטת המצולעים החסומים והחוסמים, הגיע למצולעים בעלי 96 צלעות, והוכיח כי $3 \frac{10}{71} < π < 3 \frac{1}{7}$ , כלומר בערך $3.1408 < π < 3.1429$ . הקירוב $\frac{22}{7}$ שמוכר לכולנו מקורו בגבול העליון של ארכימדס.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שהמצולע החסום נותן אומדן גדול מ- $\pi$

חסום 2.598 < π < חוסם 3.464

למה זה קורה?

מבלבלים בין 'חסום' (פנימי) ל'חוסם' (חיצוני).

איך מתקנים?

מצולע חסום נמצא בתוך המעגל → שטחו קטן → אומדן מלמטה. מצולע חוסם מקיף → שטחו גדול → אומדן מלמעלה.

טעות נפוצה: חושבים ש- $\pi$ שווה בדיוק 3.14 או $\frac{22}{7}$

$π = 3.14159 \dots$ (אינסופי ולא מחזורי), בעוד $\frac{22}{7} \approx 3.142857$ .

למה זה קורה?

משתמשים בקירוב כאילו הוא ערך מדויק.

איך מתקנים?

\pi

הוא מספר אי-רציונלי. 3.14 ו-

\frac{22}{7}

הם קירובים בלבד:

\frac{22}{7} ≈ 3.142857

, וזה כבר שונה מ-

\pi = 3.14159

טעות נפוצה: מבלבלים בין שטח להיקף בנוסחאות המצולע

חסום (שטח): $\frac{1}{2} n sin \frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ . חוסם (שטח): $n tan \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ .

למה זה קורה?

לא זוכרים מתי משתמשים ב-

\sin

ומתי ב-

\tan

, ובאיזה גורם.

איך מתקנים?

שטח מצולע חסום:

\frac{1}{2} \cdot n \cdot \sin (\frac{360^{\circ}}{n})

. שטח מצולע חוסם:

n \cdot \tan (\frac{180^{\circ}}{n})

. שמרו על מבנה הנוסחה.

סיכום

מה למדנו?

המספר π:

מוגדר כיחס היקף/קוטר, קבוע בכל מעגל.
שטח מעגל ברדיוס 1 שווה בדיוק $π$ .

אומדן בעזרת מצולעים (R = 1):

חסום: $\frac{1}{2} n sin \frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ — מלמטה.
חוסם: $n tan \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ — מלמעלה.
יותר צלעות → אומדן מדויק יותר.

היסטוריה: ארכימדס כלא את $π$ בין $3 \frac{10}{71}$ ל- $3 \frac{1}{7}$ בעזרת מצולעים בני 96 צלעות.

עכשיו אתם מבינים מאיפה מגיע המספר π — ולא רק את הקירוב 3.14!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על אומדן המספר π בעזרת מצולעים והיחס היקף/קוטר.

אומדן המספר π

אומדן המספר π

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אומדן π מהיחס היקף/קוטר

גלגל שקוטרו 0.5 מ' התגלגל ועשה סיבוב מלא שאורכו נמדד כ-1.571 מ'. אמדו את π\piπ.

דוגמה 2: שטח משושה חסום (אומדן מלמטה)

משושה משוכלל (n=6)(n=6)(n=6) חסום במעגל R=1R=1R=1. מצאו את שטחו.

דוגמה 3: שטח משושה חוסם (אומדן מלמעלה)

משושה משוכלל חוסם מעגל R=1R=1R=1. מצאו את שטחו.

דוגמה 4: שיפור האומדן עם 12 צלעות

מצאו את שטח המצולע המשוכלל בעל 12 צלעות החסום במעגל R=1R=1R=1, והשוו לאומדן המשושה.

רקע היסטורי

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שהמצולע החסום נותן אומדן גדול מ-π\piπ

טעות נפוצה: חושבים ש-π\piπ שווה בדיוק 3.14 או 227\frac{22}{7}722​

טעות נפוצה: מבלבלים בין שטח להיקף בנוסחאות המצולע

סיכום

תרגול נוסף

גלגל שקוטרו 0.5 מ' התגלגל ועשה סיבוב מלא שאורכו נמדד כ-1.571 מ'. אמדו את $\pi$ .

משושה משוכלל $(n=6)$ חסום במעגל $R=1$ . מצאו את שטחו.

משושה משוכלל חוסם מעגל $R=1$ . מצאו את שטחו.

מצאו את שטח המצולע המשוכלל בעל 12 צלעות החסום במעגל $R=1$ , והשוו לאומדן המשושה.

טעות נפוצה: חושבים שהמצולע החסום נותן אומדן גדול מ- $\pi$

טעות נפוצה: חושבים ש- $\pi$ שווה בדיוק 3.14 או $\frac{22}{7}$